Совет 1: Как найти количество делителей

В самом общем случае, количество возможных делителей произвольного числа бесконечно. Фактически, это все не равные нулю числа. Но если речь идет о натуральных числах, то под делителем числа N подразумевается такое натуральное число, на которое нацело делится число N. Количество таких делителей всегда ограничено, а найти их можно с помощью специальных алгоритмов. Также существуют простые делители числа, которые представляют собой простые числа.
Вам понадобится
  • - таблица простых чисел;
  • - признаки делимости чисел;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Чаще всего, нужно разложить число на простые множители. Это числа, которые делят исходное число без остатка, и при этом сами могут делиться без остатка только на само себя и единицу (к таким числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Причем, никакой закономерности в ряду простых чисел не найдено. Возьмите их из специальной таблицы или найдите при помощи алгоритма, который называется «решето Эратосфена».
2
Начинайте подбирать простые числа, на которые делится данное число. Частное снова делите на простое число и продолжаете этот процесс до тех пор, пока в качестве частного не останется простое число. Затем просто посчитайте количество простых делителей, прибавьте к нему число 1 (которое учитывает последнее частное). Результатом будет количество простых делителей, которые при умножении дадут искомое число.
3
Например, количество простых делителей числа 364 найдите таким образом:

364/2=182
182/2=91
91/7=13

Получите числа 2, 2, 7, 13, которые являются простыми натуральными делителями числа 364. Их количество равно 3 (если считать повторяющиеся делители за один).
4
Если же нужно найти общее количество всех возможных натуральных делителей числа, воспользуйтесь его каноническим разложением. Для этого по описанной выше методике разложите число на простые множители. Затем запишите число как произведение таких множителей. Повторяющиеся числа возведите в степени, например, если трижды получали делитель 5, то запишите его как 5³.
5
Записывайте произведение от наименьших множителей к наибольшим. Такое произведение и называется каноническим разложением числа. Каждый множитель этого разложения имеет степень, представленную натуральным числом (1, 2, 3, 4 и т.д.). Обозначьте показатели степени при множителях а1, а2, а3, и т.д. Тогда общее количество делителей будет равно произведению (a1 + 1)∙(a2 + 1)∙(a3+1)∙…
6
Например, возьмите то же число 364: его каноническое разложение 364=2²∙7∙13. Получите а1=2, а2=1, а3=1, тогда количество натуральных делителей этого числа будет равно (2+1)∙(1+1)∙(1+1)=3∙2∙2=12.

Совет 2: Как найти все делители числа

Число b называется делителем целого числа a, если существует такое целое число q, что bq = a. Обычно рассматривается делимость натуральных чисел. Само делимое a будет называться кратным числа b. Поиск всех делителей числа осуществляется по определенным правилам.
Вам понадобится
  • Признаки делимости
Инструкция
1
Для начала убедимся, что любое натуральное число, большее единицы, имеет по крайней мере два делителя - единицу и само себя. Действительно, a:1 = a, a:a = 1. Числа, имеющие только два делителя, называются простыми. Единственный делитель единицы - это, очевидно, единица. То есть единица не является простым числом (и не является составным, как мы увидим далее).
2
Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Какие же числа могут быть составными?
Так как четные числа делятся на 2 нацело, то все четные числа, кроме числа 2, будут составными. Действительно, при делении 2:2 двойка делится саму на себя, то есть имеет только два делителя (1 и 2) и является простым числом.
3
Посмотрим, есть ли у четного числа еще каки-либо делители. Разделим его сначала на 2. Из коммутативности операции умножения очевидно, что получившееся частное также будет делителем числа. Затем, если получившееся частное будет целым, разделим опять на 2 уже это частное. Тогда получившееся в результате новое частное y = (x:2):2 = x:4 тоже будет делителем исходного числа. Аналогично, и 4 будет делителем исходного числа.
4
Продолжая эту цепочку, обобщим правило: последовательно делим сначала четное число а потом получившееся частные на 2 до тех пор, пока какое-либо частное не станет равно нечетному числу. При этом все получившиеся частные будут делителями этого числа. Кроме этого делителями этого числа будут и числа 2^k где k = 1...n, где n - число шагов этой цепочки.Пример: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 - нечетное число. Следовательно, 12, 6 и 3 - делители числа 24. В этой цепочке 3 шага, следовательно, делителями числа 24 будут также числа 2^1 = 2 (уже известно из четности числа 24), 2^2 = 4 и 2^3 = 8. Таким образом, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 будут делителями числа 24.
5
Однако не для всех четных чисел эта схема может дать все делители числа. Рассмотрим, например, число 42. 42:2 = 21. Однако, как известно, числа 3, 6 и 7 также будут делителями числа 42.
Существуют признаки делимости на определенные числа. Рассмотрим важнейшие из них:
Признак делимости на 3: когда сумма цифр числа делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 5: когда последняя цифра числа 5 или 0.
Признак делимости на 7: когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Признак делимости на 9: когда сумма цифр числа делится на 9 без остатка.
Признак делимости на 11: когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Существуют также признаки делимости на 13, 17, 19, 23 и другие числа.
6
Как для четных, так и для нечетных чисел нужно использовать признаки деления на то или иное число. Разделив число, следует определить делители получившегося частного и.т.д. (цепочка аналогична цепочки четных чисел при делении их на 2, описанной выше).
Источники:
  • Признаки делимости

Совет 3: Как найти частное чисел

Из четырех основных математических действий наиболее ресурсоемкой операцией является деление. Его можно осуществлять вручную (столбиком), на калькуляторах различных конструкций, а также при помощи логарифмической линейки.
Инструкция
1
Чтобы поделить одно число на другое столбиком, запишите вначале делимое, затем делитель. Между ними расположите вертикальную линию. Под делителем проведите горизонтальную линию. Последовательно как бы удаляя у делимого младшие разряды, получите наименьшее число, которое больше делителя. Последовательно умножая цифры от 0 до 9 на делитель, найдите наибольшее из чисел, меньших полученного на предыдущем этапе. Запишите эту цифру как первый разряд частного. Результат умножения этой цифры на делитель запишите под делимым со сдвигом на один разряд вправо. Произведите вычитание, а с его результатом осуществите те же действия, пока не найдете все разряды частного. Расположение запятой определите, вычтя порядок делителя из порядка делимого.
2
Если числа не делятся друг на друга, возможны две ситуации. В первой из них одна цифра или сочетание из нескольких цифр будет повторяться бесконечно. Тогда продолжать вычисление бессмысленно - достаточно взять эту цифру или цепочку из цифр в период. Во второй ситуации какой-либо закономерности в младших разрядах частного обнаружить не удастся. Тогда прекратите деление, добившись желаемой точности результата, а последний округлите.
3
Для деления одного числа на другое с использованием калькулятора с арифметической записью (как простейшего, так и инженерного) нажмите кнопку сброса, введите делимое, нажмите кнопку деления, введите делитель, а затем нажмите кнопку со знаком равенства. На калькуляторе с формульной записью производите деление аналогичным образом, с учетом того, что клавиша со знаком равенства может носить другое название, например, Enter или Exe. Современные приборы этого типа являются двухстрочными: формула набирается в верхней строке, а результат отображается в нижней более крупными цифрами. Используя клавишу Ans, этот результат можно использовать в следующем вычислении. Во всех случаях результат автоматически округляется в пределах разрядной сетки калькулятора.
4
На калькуляторе с обратной польской записью вначале нажмите кнопку сброса, затем введите делимое и нажмите клавишу Enter (вместо этой надписи на ней может быть стрелка, направленная вверх). Число окажется в ячейке стека. Теперь введите делитель и нажмите клавишу со знаком деления. Произойдет деление числа из стека на число, которое отображалось до этого на индикаторе.
5
Логарифмическую линейку используйте в тех случаях, когда точность требуется небольшая. Уберите из обоих чисел запятые, а затем от каждого из них возьмите по два старших разряда. На шкале A найдите делитель, а затем совместите его с делимым на шкале B. Затем найдите на последней единицу - прямо над ней на шкале A будет расположено частное. Местоположение запятой в нем определите тем же способом, что и при делении столбиком.
Источники:
  • Порядок деления столбиком
  • частные числа это

Совет 4: Как найти наименьшее общее кратное чисел

Школьники часто встречают среди заданий по математике такую формулировку: "найдите наименьшее общее кратное чисел". Этому обязательно нужно научиться делать, чтобы выполнять различные действия с дробями с неодинаковыми знаменателями.

Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Общее кратное натуральных чисел - это такое число, которое делится на них без остатка.

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}

К (6) = {12, 18, 24,  ...}

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

НОК (4, 6) = 24

Если числа большие, или нужно найти наименьшее общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.

Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.

Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.

В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.

Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.

50 = 2 * 5 * 5

20 = 2 * 5 * 2

В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители,  которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.

Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.

Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.

В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).

Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.

Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.

Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.

Например, НОК (10, 11) = 110.

Видео по теме

Совет 5: Как найти простое число

Самые известные способы найти список простых чисел вплоть до некоторого значения-- это решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина. Для того, чтобы проверить, является ли данное число простым, существуют тесты простоты
Вам понадобится
  • Калькулятор, лист бумаги и карандаш (ручка)
Инструкция
1
Способ 1. Решето Эратосфена.
По этому методу, чтобы найти все простые числа не больше определенного значения Х, необходимо выписать подряд все целые числа от одного до Х. Возьмем число 2 как первое простое число. Вычеркнем из списка все числа, делящиеся на 2. Затем возьмем следующее после двойки, не вычеркнутое число, и вычеркнем из списка все числа, делящиеся на взятое нами число. И далее каждый раз будем брать следующее не вычеркнутое число и вычеркивать из списка все числа, делящиеся на взятое нами число. И так до тех пор пока выбранное нами число не станет больше, чем Х/2. Все оставшиеся в списке не вычеркнутые числа являются простыми
2
Способ 2. Решето Сундарама.
Из ряда натуральных чисел от 1 до N исключаются все числа вида
х + у + 2ху,
где индексы х (не больший у) пробегают все натуральные значения, для которых х+у+2ху не больше N, а именно значения х=1, 2,...,((2N+1)1/2-1)/2 и х=у, х+1,...,(N-х)/(2х+1)ю. Затем каждое из оставшихся чисел умножается на 2 и увеличивается на 1. Полученная в результате последовательность представляет собой все нечётные простые числа в ряду от одного до 2N+1.
3
Способ 3. Решето Аткина.
Решето Аткина представляет собой сложный современный алгоритм нахождения всех простых чисел до заданного значения Х. Основная суть алгоритма состоит в представлении простых чисел как целых с нечетным числом представлений в данных квадратных формах. Отдельный этап алгоритма отсеивает числа, кратные квадратам простых чисел в интервале от 5 до Х.
4
Тесты простоты.
Тесты простоты-- это алгоритмы, позволяющие определить, является ли конкретное число Х простым.
Один из самых простых, но и трудоемких тестов-- это перебор делителей. Он состоит в преборе всех целых чисел от 2 до квадратного корня из Х и в вычислении остатка от деления Х на каждое из этих чисел. Если остаток от деления числа Х на некоторое число (больше 1 и меньше Х) равен нулю, то число Х является составным. Если выявляется, что число Х невозможно сократить без остатка ни на одно из чисел, кроме единицы и самого себя, то число Х простое.
Кроме этого способа существует также большое количество других тестов для тестирования простоты числа. Большинство этих тестов являются вероятностными и используются в криптографии. Единственный тест, гарантирующий получение ответа (тест AKS) очень сложен в вычислении, что затрудняет его практическое применение

Совет 6: Как найти наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель - это максимальное число, на которое может делиться каждое из предлагаемых чисел. Часто этот термин используется для сокращения сложных дробей, где и числитель и знаменатель надо разделить на одинаковое число. Иногда можно определить наибольший общий делитель на глаз, однако в большинстве случаев, что того, чтобы его найти потребуется провести ряд математических операций.
Вам понадобится
  • Для этого вам понадобится листок бумаги или калькулятор.
Инструкция
1
Разложите каждое сложное число на произведение простых чисел или множителей. Например, 60 и 80, где 60 - равно 2*2*3*5, а 80 - 2*2*2*2*5, проще это можно записать с помощью степеней. В данном случае первый пример будет выглядеть как два во второй степени, умноженное на пять и три, а второй - произведение двух в четвертой степени и пяти.
2
Теперь выпишите общие для обоих чисел множители. В нашем варианте - это два и пять. Однако в других случаях это число может быть одно, два или три цифры и даже больше. Далее нужно поработать со степенями. Выберите наименьшую степень у каждого из множителей. В примере это два во второй степени и пять в первой.
3
В завершении просто нужно перемножить получившиеся цифры. В нашем случае все предельно просто: два в квадрате, умноженное на пять, равно 20. Таким образом, число 20 можно назвать наибольшим общим делителем для 60 и 80.
Видео по теме
Обратите внимание
Помните, что простым множителем является число, которое имеет только 2 делителя: единица и само это число.
Полезный совет
Кроме данного метода можно также пользоваться алгоритмом Евклида. Полное его описание, представленное в геометрической форме, можно найти в книге Евклида "Начала".
Как найти наибольший общий делитель чисел
Связанная статья
Как найти наибольший общий делитель чисел

Совет 7: Как найти неизвестный делитель

Нередко можно встретить такие уравнения, в которых неизвестен делитель. Например 350 : Х = 50, где 350 - делимое, Х - делитель, а 50 - частное. Для решения этих примеров необходимо произвести определенный набор действий с теми числами, которые известны.
Вам понадобится
  • - карандаш или ручка;
  • - лист бумаги или тетрадь.
Инструкция
1
Представьте, что одна женщина имела некоторое количество детей. В магазине она приобрела 30 конфет. Вернувшись домой, дама разделила сладости поровну между детьми. Таким образом каждый ребенок получил на десерт по 5 конфет. Вопрос: Сколько детей было у женщины?
2
Составьте простое уравнение, где неизвестное, т.е. Х - это количество детей, 5 - это число конфет, полученных каждым ребенком, а 30 - это количество сладостей, которое было куплено. Таким образом вы должны получить пример: 30 : Х = 5. В этом математическом выражении 30 называется делимым, Х - делителем, а получившееся частное равно 5.
3
Теперь приступайте к решению. Известно: чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. Получается:Х = 30 : 5;30 : 5 = 6;Х = 6.
4
Сделайте проверку, подставив в уравнение получившееся число. Итак, 30 : Х = 5, вы нашли неизвестный делитель, т.е. Х = 6, таким образом: 30 : 6 = 5. Выражение верно, а из этого следует, что уравнение решено правильно. Разумеется, при решении примеров, в которых фигурируют простые числа, проверку выполнять необязательно. Но когда уравнения состоят из двузначных, трехзначных, четырехзначных и т.д. чисел, обязательно проверяйте себя. Ведь это не отнимает много времени, но дает абсолютную уверенность в полученном результате.
Обратите внимание
Простые линейные уравнения можно решить путем сведения их к эквивалентным уравнениям, из которых видно значение неизвестного. Например, уравнение Х + 5 = 8 можно свести к уравнению эквивалентному Х = 3. Шаги, которые необходимо совершить при выполнении этого действия, основаны на четырех аксиомах:
- если величины, которые равны, увеличить на одно и то же число, то и результаты будут равны;
- если из величин, которые равны, вычесть одно и то же число, то и результаты будут равны;
- если величины, которые равны, умножить на одно и то же число, то и результаты будут равны;
- если величины, которые равны, разделить на одно и то же число, то и результаты будут равны.
Полезный совет
В подобных уравнениях неизвестным может оказаться не только делитель, но и делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное. Например вам нужно найти решение такого математического выражения: Х : 10 = 7 (в этом примере Х - неизвестное делимое, 10 - делитель, а 7 - частное).
Решение:
Х : 10 = 7;
Х = 10 * 7;
10 * 7 = 70;
Х = 70.
Проверка:
Х : 10 = 7;
Х = 70;
70 : 10 = 7.

Совет 8: Как найти дробь

Число, которое состоит из одной или многих частей одного целого, в математике и смежных с ней науках принято называть дробью. Части единицы именуют долями. Общее число долей в единице – это знаменатель дроби, а количество взятых долей – ее числитель.
Вам понадобится
  • - лист бумаги;
  • - ручка;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Перемножьте правильную (записанную, как отношение числителя к знаменателю) дробь и натуральное число: числитель дроби, или делимое, умножьте на число и результат запишите в числитель (число, которое расположено над горизонтальной чертой – разделителем дроби). Знаменатель (делитель) остается прежним.
2
Перемножьте смешанную (записанную, как правильная дробь и целое число) дробь и натуральное число: умножьте целую часть и числитель дроби на это число, а знаменатель оставьте без изменений. Смешанная дробь является суммой целой дроби и числа.
3
Перемножьте две дроби между собой: сначала перемножьте между собой числители дробей, и запишите результат в числитель, а потом, соответственно, перемножьте знаменатели и результат запишите в знаменатель.
4
Перемножьте между собой смешанные дроби: вначале запишите дроби в виде неправильных, в которых модуль числителя больше модуля знаменателя. Для этого умножьте на знаменатель целую часть дроби и прибавьте полученное произведение к числу в числителе. После преобразования перемножьте, соответственно, числители и знаменатели дробей и запишите результат в виде неправильной дроби.
5
Разделите одну дробь на другую: поменяйте местами числитель и знаменатель во второй дроби – получите обратную дробь и умножьте полученную дробь на первую так, как описано выше.
Обратите внимание
Помните, что деление на ноль не производится, поскольку результатом в таком случае будет математическая неопределенность.
Полезный совет
Сокращайте дроби при расчетах до наименьшего значения – это позволит быстрее произвести вычисление и получить результат. Получите окончательный ответ, разделив, если это возможно, и числитель, и знаменатель дроби на наибольший общий делитель.

Совет 9: Как находить наименьший общий делитель

Сложение и вычитание натуральных дробей возможно только в том случае, когда они имеют одинаковый знаменатель. Чтобы не усложнять расчеты при приведении их единому знаменателю, найдите наименьший общий делитель знаменателей и производите расчет.
Вам понадобится
  • - умение раскладывать число на простые множители;
  • - умение производить действия с дробями.
Инструкция
1
Запишите математическое действие по сложению дробей. Затем, найдите их наименьшее общее кратное. Для этого произведите следующую последовательность действий: 1. Представьте каждый из знаменателей в виде произведения простых чисел (простое число, это такое число, которое без остатка делится только на 1 и само себя, например 2, 3, 5, 7 и т.д.).2. Сгруппируйте все простые делители, которые выписаны, указав их степени. 3. Выберите наибольшие степени каждого из этих простых множителей, которые встречаются в этих числах. 4. Перемножьте выписанные степени.
2
Например, общим знаменателем для дробей со знаменателями 15, 24 и 36 будет число, которое рассчитайте таким образом: 15=3•5; 24=2^3•3;36=2^3•3^2.Впишите наибольшие степени всех простых делителей этих чисел: 2^3•3^2•5=360.
3
Поделите общий знаменатель на каждый и знаменателей складываемых дробей. На получившееся число умножьте их числители. Под общей чертой дроби напишите наименьше общее делимое, которое является одновременно наименьшим общим знаменателем. В числителе сложите числа, которые получились в результате умножения каждого числителя на частное наименьшего общего делимого на знаменатель дроби. Сумма всех числителей и поделенная на наименьший общий знаменатель и будет искомым числом.
4
Например, чтобы сложить дроби 4/15, 7/24 и 11/36 поступите так. Найдите наименьший общий знаменатель, который равен 360. Затем поделите 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Число 4, которое является числителем первой дроби, умножьте на 24 (4•24=96), число 7 на 15 (7•15=105), число 11 на 10 (11•10=110). Затем сложите эти числа (96+105+110=301). Получим результат 4/15+7/24+11/36=301/360.
Источники:
  • как найти наименьшее число
Источники:
  • Число и сумма натуральных делителей натурального числа
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500