Совет 1: Как найти количество делителей

В самом общем случае, количество возможных делителей произвольного числа бесконечно. Фактически, это все не равные нулю числа. Но если речь идет о натуральных числах, то под делителем числа N подразумевается такое натуральное число, на которое нацело делится число N. Количество таких делителей всегда ограничено, а найти их можно с помощью специальных алгоритмов. Также существуют простые делители числа, которые представляют собой простые числа.
Как найти количество делителей
Вам понадобится
  • - таблица простых чисел;
  • - признаки делимости чисел;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Чаще всего, нужно разложить число на простые множители. Это числа, которые делят исходное число без остатка, и при этом сами могут делиться без остатка только на само себя и единицу (к таким числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Причем, никакой закономерности в ряду простых чисел не найдено. Возьмите их из специальной таблицы или найдите при помощи алгоритма, который называется «решето Эратосфена».
2
Начинайте подбирать простые числа, на которые делится данное число. Частное снова делите на простое число и продолжаете этот процесс до тех пор, пока в качестве частного не останется простое число. Затем просто посчитайте количество простых делителей, прибавьте к нему число 1 (которое учитывает последнее частное). Результатом будет количество простых делителей, которые при умножении дадут искомое число.
3
Например, количество простых делителей числа 364 найдите таким образом:

364/2=182
182/2=91
91/7=13

Получите числа 2, 2, 7, 13, которые являются простыми натуральными делителями числа 364. Их количество равно 3 (если считать повторяющиеся делители за один).
4
Если же нужно найти общее количество всех возможных натуральных делителей числа, воспользуйтесь его каноническим разложением. Для этого по описанной выше методике разложите число на простые множители. Затем запишите число как произведение таких множителей. Повторяющиеся числа возведите в степени, например, если трижды получали делитель 5, то запишите его как 5³.
5
Записывайте произведение от наименьших множителей к наибольшим. Такое произведение и называется каноническим разложением числа. Каждый множитель этого разложения имеет степень, представленную натуральным числом (1, 2, 3, 4 и т.д.). Обозначьте показатели степени при множителях а1, а2, а3, и т.д. Тогда общее количество делителей будет равно произведению (a1 + 1)∙(a2 + 1)∙(a3+1)∙…
6
Например, возьмите то же число 364: его каноническое разложение 364=2²∙7∙13. Получите а1=2, а2=1, а3=1, тогда количество натуральных делителей этого числа будет равно (2+1)∙(1+1)∙(1+1)=3∙2∙2=12.
Источники:
  • Число и сумма натуральных делителей натурального числа

Совет 2 : Как найти все делители числа

Число b называется делителем целого числа a, если существует такое целое число q, что bq = a. Обычно рассматривается делимость натуральных чисел. Само делимое a будет называться кратным числа b. Поиск всех делителей числа осуществляется по определенным правилам.
Как найти все делители числа
Вам понадобится
  • Признаки делимости
Инструкция
1
Для начала убедимся, что любое натуральное число, большее единицы, имеет по крайней мере два делителя - единицу и само себя. Действительно, a:1 = a, a:a = 1. Числа, имеющие только два делителя, называются простыми. Единственный делитель единицы - это, очевидно, единица. То есть единица не является простым числом (и не является составным, как мы увидим далее).
2
Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Какие же числа могут быть составными?
Так как четные числа делятся на 2 нацело, то все четные числа, кроме числа 2, будут составными. Действительно, при делении 2:2 двойка делится саму на себя, то есть имеет только два делителя (1 и 2) и является простым числом.
3
Посмотрим, есть ли у четного числа еще каки-либо делители. Разделим его сначала на 2. Из коммутативности операции умножения очевидно, что получившееся частное также будет делителем числа. Затем, если получившееся частное будет целым, разделим опять на 2 уже это частное. Тогда получившееся в результате новое частное y = (x:2):2 = x:4 тоже будет делителем исходного числа. Аналогично, и 4 будет делителем исходного числа.
4
Продолжая эту цепочку, обобщим правило: последовательно делим сначала четное число а потом получившееся частные на 2 до тех пор, пока какое-либо частное не станет равно нечетному числу. При этом все получившиеся частные будут делителями этого числа. Кроме этого делителями этого числа будут и числа 2^k где k = 1...n, где n - число шагов этой цепочки.Пример: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 - нечетное число. Следовательно, 12, 6 и 3 - делители числа 24. В этой цепочке 3 шага, следовательно, делителями числа 24 будут также числа 2^1 = 2 (уже известно из четности числа 24), 2^2 = 4 и 2^3 = 8. Таким образом, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 будут делителями числа 24.
5
Однако не для всех четных чисел эта схема может дать все делители числа. Рассмотрим, например, число 42. 42:2 = 21. Однако, как известно, числа 3, 6 и 7 также будут делителями числа 42.
Существуют признаки делимости на определенные числа. Рассмотрим важнейшие из них:
Признак делимости на 3: когда сумма цифр числа делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 5: когда последняя цифра числа 5 или 0.
Признак делимости на 7: когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Признак делимости на 9: когда сумма цифр числа делится на 9 без остатка.
Признак делимости на 11: когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Существуют также признаки делимости на 13, 17, 19, 23 и другие числа.
6
Как для четных, так и для нечетных чисел нужно использовать признаки деления на то или иное число. Разделив число, следует определить делители получившегося частного и.т.д. (цепочка аналогична цепочки четных чисел при делении их на 2, описанной выше).
Источники:
  • Признаки делимости
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500