Совет 1: Как найти точку пересечения высот треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. Точка пересечения трех высот носит название "ортоцентр". Понятие и свойства ортоцентра бывают полезны при решении задач на геометрические построения.
Как найти точку пересечения высот треугольника
Вам понадобится
  • треугольник, линейка, ручка, карандаш координаты вершин треугольника
Инструкция
1
Определитесь с видом имеющегося треугольника. Самый простой случай - прямоугольный треугольник, поскольку его катеты одновременно служат и двумя высотами. Третья высота такого треугольника располагается на гипотенузе. При этом ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
2
В случае остроугольного треугольника точка пересечения высот будет находиться внутри фигуры. Проведите из каждой вершины треугольника линию, перпендикулярную стороне, находящейся напротив данной вершины. Все эти линии пересекутся в одной точке. Это и будет искомый ортоцентр.
3
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника будет находиться вне фигуры. Прежде чем проводить перпендикуляры-высоты из вершин, вам необходимо сначала продолжить линии, образующие тупой угол треугольника. Перпендикуляр в данном случае опускается не на сторону треугольника, а на линию, содержащую данную сторону. Далее опускаются высоты и находится их точка пересечения, как описано выше.
4
Если известны координаты вершин треугольника на плоскости или в пространстве, нетрудно найти координаты точки пересечения высот. Если А, B, C - обозначения углов, O - ортоцентра, то отрезок AО перпендикулярен отрезку BС, а BО перпендикулярен AC, таким образом, получаете уравнения AО-BC=0, BО-AC=0. Этой системы линейных уравнений достаточно для нахождения координат точки О на плоскости. Вычислите координаты векторов BC и AC, вычитая из координат второй точки соответствующие координаты первой точки. Принимаете, что точка О имеет координаты x и y (О(x,y)), далее решите систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Если задача дана в пространстве, то в систему следует добавить уравнения AО-a=0, где вектор a=AB*AC.
Видео по теме
Обратите внимание
Не перепутайте точку пересечения высот (ортоцентр) с точкой пересечения медиан (центроидом), биссектрис или серединных перпендикуляров (проведенных через середину каждой стороны треугольника).
Полезный совет
Для определения ортоцентра достаточно найти точку пересечения двух высот из трех, поскольку высоты любого треугольника всегда пересекаются в одной точке.
Источники:
  • Интерактивный справочник формул.
  • пересечение высот

Совет 2 : Как найти точку пересечения медиан

Медианой треугольника называется линия, которая проведена из его угла и делит пополам противолежащую сторону. Все медианы пересекаются в одной точке. Найти эту точку необходимо, если нужно знать, где находится центр тяжести детали, имеющей треугольную форму. Это можно сделать с помощью геометрических построений.
Как найти точку пересечения медиан
Вам понадобится
  • - треугольник с заданными параметрами;
  • - карандаш;
  • - транспортир;
  • - линейка;
  • - компьютер с программой AutoCAD.
Инструкция
1
Вычисления начните с геометрических построений. Постройте треугольник согласно имеющимся у вас данным. Это могут быть три стороны, сторона и два прилежащих к ней угла либо же две стороны и угол между ними. Для определения точки пересечения медиан вам необходимо знать размеры всех трех сторон, поэтому обозначьте на чертеже то, что вам известно и найдите остальные размеры.
2
Обозначьте треугольник как АВС. Стороны, противолежащие углам, будут соответственно, a, b и с. Проведите медианы и обозначьте их как m1, m2 и m3, а точку их пересечения — как О.
3
Вспомните свойство медиан. Точка пересечения отсекает от каждой из них отрезки в соотношении 2:1. Больший отрезок — тот, который ограничен вершиной угла и точкой О. Это важно, поскольку вам необходимо определить расстояние этой точки от каждого из углов.
4
Длину медианы, принадлежащей той или иной стороне, вычислите по формуле Стюарта. Она равна квадратному корню из дроби, числитель которой представляет собой сумму удвоенных квадратов сторон, не принадлежащих данной медиане, за вычетом из нее квадрата третьей стороны. В знаменателе подкоренного выражения стоит число 4. То есть m1 = √(2*a2+2*b2-c2)/4. Вычислите таким же образом две остальные медианы.
5
Обозначьте отрезки, на которые делит медиану точка пересечения, как L1 и L2. Отрезок L1 в два раза больше отрезка L2. При этом L2 = m1/3. Найдите расстояние L2. Оно равно 2*L1, то есть L2 = 2*m/3. Таким же образом найдите расстояния точки пересечения от остальных углов треугольника и его сторон.
6
Для определения точки пересечения медиан в AutoCAD постройте треугольник, определив координаты его вершин. Обозначьте треугольник как АBC. Найдите координату точки О по оси х. Она будет равна сумме координат х всех вершин треугольника, деленной на 3. Точно так же найдите и координату y. Для более точных расчетов пользуйтесь встроенным калькулятором.
Видео по теме
Полезный совет
В AutoCAD можно поступить и другим способом. Найдите координаты медиан. Для этого сложите одноименные координаты двух углов, принадлежащих одной стороне. Полученную сумму поделите на 2. Таким же образом найдите вторую координату. Для определения точки пересечения достаточно вспомнить свойство медианы делиться в точке пересечения в соотношении 2:1. Зная координаты угла и точки пересечения медианы со стороной, найдите эту точку. Сложите одноименные координаты и разделите их сумму на 3, поступив точно так же со второй парой.

Совет 3 : Как найти точку пересечения медиан треугольника

Треугольник – одна из самых распространенных геометрических фигур. Из вершин треугольника выстраиваются биссектрисы, высоты и медианы. Если вырезать треугольник, например, из картона, то точка пересечения медиан будет центром тяжести этой фигуры.
Как найти точку пересечения медиан треугольника
Вам понадобится
  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - циркуль.
Инструкция
1
Как известно, медиана – это луч, исходящий из угла треугольника и делящий противоположную сторону пополам. В любом треугольнике их может быть до трех. Чтобы определить точку пересечения медиан треугольника, необходимо сначала выстроить эти медианы. Для этого вычертите требуемый треугольник и разделите все три его стороны строго пополам. Чтобы разделить отрезок, представляющий собой сторону треугольника, на две равные части, воспользуйтесь циркулем. Примените так называемый метод засечек.
2
Итак возьмите циркуль и поставьте его иглу в один конец отрезка-стороны. Разверните ножки циркуля на расстояние больше половины отрезка и проведите дугу таким образом, чтобы ее концы заходили за центр отрезка. Теперь переставьте ножку циркуля в противоположный конец стороны треугольника и вновь прочертите дугу – сделайте засечки. У вас по обе стороны отрезка получится по два пересечения дуг.
3
Следующим действием возьмите линейку и соедините эти точки пересечения. Линия пройдет точно через центр стороны треугольника. Проделайте то же самое с остальными двумя сторонами треугольника, то есть обозначьте их середины. Ненужные теперь нарисованные карандашные дуги можно вытереть стиральной резинкой, чтобы они не мешали дальнейшим построениям.
4
Теперь проведите медианы. Для этого возьмите снова линейку и прочертите отрезки, соединяющие отмеченные середины сторон с вершинами противоположных углов. В результате вы получите точку пересечения трех медиан треугольника.
Видео по теме
Полезный совет
В точке пересечения медианы делятся в отношении строго 2:1, считая от вершин.

Эта геометрическая точка, как уже было отмечено выше, будет центром тяжести рассматриваемого треугольника или центроидом.

Одна медиана делит треугольник на два одинаковых по площади треугольника.

Три медианы разбивают треугольник на шесть абсолютно равновеликих.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500