Совет 1: Как найти высоту в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один из углов равен 90°. Очевидно, что катеты прямоугольного треугольника являются двумя его высотами. Найдем третью высоту, опущенную из вершины прямого угла к гипотенузе.
Вам понадобится
  • чистый лист бумаги;
  • карандаш;
  • линейка;
  • учебник по геометрии.
Инструкция
1
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠ABC = 90°. Опустим из этого угла высоту h на гипотенузу AC, точку пересечения высоты с гипотенузой обозначим D.
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике
2
Треугольник ADB подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠ADB = 90°, ∠BAD - общий. Из подобия треугольников получаем соотношение сторон: AD/AB = BD/BC = AB/AC. Берем первое и последнее соотношение пропорции и получаем, что AD = AB²/AC.
3
Поскольку треугольник ADB прямоугольный, для него справедлива теорема Пифагора: AB² = AD² + BD². Подставляем в это равенство AD. Получается, что BD² = AB² - (AB²/AC)². Или, что то же, BD² = AB²(AC²-AB²)/AC². Так как треугольник ABC прямоугольный, то AC² - AB² = BC², тогда получим BD² = AB²BC²/AC² или, извлекая корень из обеих частей равенства, BD = AB*BC/AC.
4
С другой стороны, треугольник BDC также подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠BDC = 90°, ∠DCB - общий. Из подобия этих треугольников получаем соотношение сторон: BD/AB = DC/BC = BC/AC. Из этой пропорции выражаем DC через стороны изначального прямоугольного треугольника. Для этого рассматриваем второе равенство в пропорции и получаем, что DC = BC²/AC.
5
Из соотношения, полученного в шаге 2, имеем, что AB² = AD*AC. Из шага 4 имеем, что BC² = DC*AC. Тогда BD² = (AB*BC/AC)² = AD*AC*DC*AC/AC² = AD*DC. Таким образом, высота BD равна корню из произведения AD и DC или, как говорят, среднему геометрическому частей, на которые эта высота разбивает гипотенузу треугольника.
Видео по теме
Обратите внимание
Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу.
Полезный совет
В прямоугольном треугольнике оба катета выступают в роли непосредственно самих высот.
Источники:
  • Прямоугольный треугольник
  • найдите высоту проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника

Совет 2: Как построить высоту треугольника

Высотой треугольника называется прямая, опущенная из одной из его вершин, перпендикулярно на прямую, содержащую сторону треугольника, противолежащую этой вершине треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты.
Инструкция
1
Для того, чтобы построить высоту остроугольного треугольника, проведите из его вершины прямую, перпендикулярную противолежащей стороне. Отрезок, соединяющий точку пересечения перпендикулярных прямых и вершину, и будет являться вершиной треугольника, опущенной из заданной высоты. При этом все три высоты остроугольного треугольника должны лежать внутри треугольника.
2
В случае тупоугольного треугольника, для того, чтобы построить высоты, опущенные из двух его острых углов, необходимо продолжить прямые, содержащие стороны, прилегающие к тупому углу. Высота, опущенная из острого угла тупоугольного треугольника, лежит на продолжении противолежащей вершине стороны, за пределами треугольника.
3
Если один из углов треугольника прямой, то стороны треугольника, прилегающие к прямому углу (катеты) уже являются его высотами (совпадают с высотами треугольника). Третья высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, лежит внутри пределов сторон треугольника.
4
Для того чтобы построить высоту любого треугольника возьмите циркуль и начертите окружности из двух его вершин, радиусом, равным прилегающей стороне треугольника. Окружности буду иметь две точки пересечения, соединив которые, вы получите прямую, содержащую высоту треугольника, проведенную к его третьей вершине.
Полезный совет
Все три прямые, содержащие высоты любого треугольника имеют общую точку – точку пересечения. Данная точка называется ортоцентром треугольника. В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника и лежит на отрезках, являющихся высотами треугольника. В прямоугольном треугольнике ортоцентром треугольника является одна из его вершин - вершина прямого угла треугольника. В тупоугольном треугольнике точка пересечения его высот лежит за пределами треугольника, вне отрезков, соединяющих соответствующие вершины треугольников с точками пересечения высоты треугольника и прямой содержащей его противолежащую сторону.
Источники:
  • высоты остроугольного треугольника

Совет 3: Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют сторону в прямоугольном треугольнике, лежащую напротив прямого угла. Гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Остальные стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.
Вам понадобится
  • Базовые знания геометрии.
Инструкция
1
Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, чтобы найти квадрат длины гипотенузы, необходимо возвести в квадрат длины катетов и сложить.
2
Длина гипотенузы равна корню квадратному из квадрата ее длины. Чтобы найти ее длину, извлечем квадратный корень из числа, равного сумме квадратов катетов. Полученное число и будет длиной гипотенузы.
Видео по теме
Обратите внимание
Длина гипотенузы величина положительная, поэтому при извлечении корня, подкоренное выражение должно быть больше нуля.
Полезный совет
В равнобедренном прямоугольном треугольнике длину гипотенузы можно вычислить умножив катет на корень из двух.
Источники:
  • как вычислить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Совет 4: Как найти третий угол в треугольнике

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную тремя отрезками прямых (стороны треугольника), имеющих попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Углы треугольника можно найти по Теореме о сумме углов треугольника.
Инструкция
1
Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма углов треугольника составляет 180°. Рассмотрим несколько примеров задач с разными заданными параметрами. Во-первых, пусть заданы два угла α = 30°, β = 63°. Необходимо найти третий угол γ. Находим его непосредственно из теоремы о сумме углов треугольника: α + β + γ = 180° => γ = 180° - α - β = 180° - 30° - 63° = 87°.
2
Теперь рассмотрим задачу нахождения третьего угла треугольника более общего вида. Пусть нам известны три стороны треугольника |AB| = a, |BC| = b, |AC| = c. И необходимо найти три угла α, β и γ. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла β. Согласно теореме косинусов квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Т.е. в наших обозначениях c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β => cos β = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 *a * b).
3
Далее воспользуемся теоремой синусов для нахождения угла α. Согласно этой теореме стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Выразим из этого соотношения синус угла α: a/sin α = b/sin β => sin α = b * sin β / a. Третий угол находим по уже известной нам теореме о сумме углов треугольника по формуле γ = 180° - (α + β).
4
Приведем пример решения подобной задачи. Пусть даны стороны треугольника a = 4, b = 4 * √2, c = 4. Из условия мы видим, что это равнобедренный прямоугольный треугольник. Т.е. в результате мы должны получить углы 90°, 45° и 45°. Посчитаем эти углы по приведенному выше способу. По теореме косинусов находим угол β: cos β = (16 + 32 - 16) / (2 * 16 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2 => β = 45°. Далее находим угол α по теореме синусов: sin α = 4 * √2 * √2 / (2 * 4) = 1 => α = 90°. И наконец, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем угол γ = 180° - 45° - 90° = 45°.
Обратите внимание
Заметим, что в треугольнике не менее двух углов должны быть острыми (т.е. меньше 90°). Поэтому посчитав третий угол проверьте, удовлетворяют ли углы треугольника заданному условию. Если нет – вы допустили ошибку в вычислениях. В любом случаем будет полезно сложить все три угла еще раз и убедиться, что получается 180°.
Полезный совет
Для нахождения величин углов по значениям их тригонометрических функций удобно пользоваться таблицами Брадиса.
Источники:
  • Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций в 2017
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500