Совет 1: Как найти высоту в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один из углов равен 90°. Очевидно, что катеты прямоугольного треугольника являются двумя его высотами. Найдем третью высоту, опущенную из вершины прямого угла к гипотенузе.
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике
Вам понадобится
  • чистый лист бумаги;
  • карандаш;
  • линейка;
  • учебник по геометрии.
Инструкция
1
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠ABC = 90°. Опустим из этого угла высоту h на гипотенузу AC, точку пересечения высоты с гипотенузой обозначим D.
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике
2
Треугольник ADB подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠ADB = 90°, ∠BAD - общий. Из подобия треугольников получаем соотношение сторон: AD/AB = BD/BC = AB/AC. Берем первое и последнее соотношение пропорции и получаем, что AD = AB²/AC.
3
Поскольку треугольник ADB прямоугольный, для него справедлива теорема Пифагора: AB² = AD² + BD². Подставляем в это равенство AD. Получается, что BD² = AB² - (AB²/AC)². Или, что то же, BD² = AB²(AC²-AB²)/AC². Так как треугольник ABC прямоугольный, то AC² - AB² = BC², тогда получим BD² = AB²BC²/AC² или, извлекая корень из обеих частей равенства, BD = AB*BC/AC.
4
С другой стороны, треугольник BDC также подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠BDC = 90°, ∠DCB - общий. Из подобия этих треугольников получаем соотношение сторон: BD/AB = DC/BC = BC/AC. Из этой пропорции выражаем DC через стороны изначального прямоугольного треугольника. Для этого рассматриваем второе равенство в пропорции и получаем, что DC = BC²/AC.
5
Из соотношения, полученного в шаге 2, имеем, что AB² = AD*AC. Из шага 4 имеем, что BC² = DC*AC. Тогда BD² = (AB*BC/AC)² = AD*AC*DC*AC/AC² = AD*DC. Таким образом, высота BD равна корню из произведения AD и DC или, как говорят, среднему геометрическому частей, на которые эта высота разбивает гипотенузу треугольника.
Видео по теме
Обратите внимание
Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу.
Полезный совет
В прямоугольном треугольнике оба катета выступают в роли непосредственно самих высот.
Источники:
  • Прямоугольный треугольник
  • найдите высоту проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника

Совет 2: Как построить высоту треугольника

Высотой треугольника называется прямая, опущенная из одной из его вершин, перпендикулярно на прямую, содержащую сторону треугольника, противолежащую этой вершине треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты.
Как построить высоту треугольника
Инструкция
1
Для того, чтобы построить высоту остроугольного треугольника, проведите из его вершины прямую, перпендикулярную противолежащей стороне. Отрезок, соединяющий точку пересечения перпендикулярных прямых и вершину, и будет являться вершиной треугольника, опущенной из заданной высоты. При этом все три высоты остроугольного треугольника должны лежать внутри треугольника.
2
В случае тупоугольного треугольника, для того, чтобы построить высоты, опущенные из двух его острых углов, необходимо продолжить прямые, содержащие стороны, прилегающие к тупому углу. Высота, опущенная из острого угла тупоугольного треугольника, лежит на продолжении противолежащей вершине стороны, за пределами треугольника.
3
Если один из углов треугольника прямой, то стороны треугольника, прилегающие к прямому углу (катеты) уже являются его высотами (совпадают с высотами треугольника). Третья высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, лежит внутри пределов сторон треугольника.
4
Для того чтобы построить высоту любого треугольника возьмите циркуль и начертите окружности из двух его вершин, радиусом, равным прилегающей стороне треугольника. Окружности буду иметь две точки пересечения, соединив которые, вы получите прямую, содержащую высоту треугольника, проведенную к его третьей вершине.
Полезный совет
Все три прямые, содержащие высоты любого треугольника имеют общую точку – точку пересечения. Данная точка называется ортоцентром треугольника. В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника и лежит на отрезках, являющихся высотами треугольника. В прямоугольном треугольнике ортоцентром треугольника является одна из его вершин - вершина прямого угла треугольника. В тупоугольном треугольнике точка пересечения его высот лежит за пределами треугольника, вне отрезков, соединяющих соответствующие вершины треугольников с точками пересечения высоты треугольника и прямой содержащей его противолежащую сторону.
Источники:
  • высоты остроугольного треугольника

Совет 3: Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют сторону в прямоугольном треугольнике, лежащую напротив прямого угла. Гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Остальные стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.
Гипотенузой называют сторону в прямоугольном треугольнике, лежащую напротив прямого угла.
Вам понадобится
  • Базовые знания геометрии.
Инструкция
1
Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, чтобы найти квадрат длины гипотенузы, необходимо возвести в квадрат длины катетов и сложить.
2
Длина гипотенузы равна корню квадратному из квадрата ее длины. Чтобы найти ее длину, извлечем квадратный корень из числа, равного сумме квадратов катетов. Полученное число и будет длиной гипотенузы.
Видео по теме
Обратите внимание
Длина гипотенузы величина положительная, поэтому при извлечении корня, подкоренное выражение должно быть больше нуля.
Полезный совет
В равнобедренном прямоугольном треугольнике длину гипотенузы можно вычислить умножив катет на корень из двух.
Источники:
  • как вычислить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Совет 4: Как найти третий угол в треугольнике

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную тремя отрезками прямых (стороны треугольника), имеющих попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Углы треугольника можно найти по Теореме о сумме углов треугольника.
Как найти третий угол в треугольнике
Инструкция
1
Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма углов треугольника составляет 180°. Рассмотрим несколько примеров задач с разными заданными параметрами. Во-первых, пусть заданы два угла α = 30°, β = 63°. Необходимо найти третий угол γ. Находим его непосредственно из теоремы о сумме углов треугольника: α + β + γ = 180° => γ = 180° - α - β = 180° - 30° - 63° = 87°.
2
Теперь рассмотрим задачу нахождения третьего угла треугольника более общего вида. Пусть нам известны три стороны треугольника |AB| = a, |BC| = b, |AC| = c. И необходимо найти три угла α, β и γ. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла β. Согласно теореме косинусов квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Т.е. в наших обозначениях c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β => cos β = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 *a * b).
3
Далее воспользуемся теоремой синусов для нахождения угла α. Согласно этой теореме стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Выразим из этого соотношения синус угла α: a/sin α = b/sin β => sin α = b * sin β / a. Третий угол находим по уже известной нам теореме о сумме углов треугольника по формуле γ = 180° - (α + β).
4
Приведем пример решения подобной задачи. Пусть даны стороны треугольника a = 4, b = 4 * √2, c = 4. Из условия мы видим, что это равнобедренный прямоугольный треугольник. Т.е. в результате мы должны получить углы 90°, 45° и 45°. Посчитаем эти углы по приведенному выше способу. По теореме косинусов находим угол β: cos β = (16 + 32 - 16) / (2 * 16 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2 => β = 45°. Далее находим угол α по теореме синусов: sin α = 4 * √2 * √2 / (2 * 4) = 1 => α = 90°. И наконец, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем угол γ = 180° - 45° - 90° = 45°.
Обратите внимание
Заметим, что в треугольнике не менее двух углов должны быть острыми (т.е. меньше 90°). Поэтому посчитав третий угол проверьте, удовлетворяют ли углы треугольника заданному условию. Если нет – вы допустили ошибку в вычислениях. В любом случаем будет полезно сложить все три угла еще раз и убедиться, что получается 180°.
Полезный совет
Для нахождения величин углов по значениям их тригонометрических функций удобно пользоваться таблицами Брадиса.
Источники:
  • Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций в 2018
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500