Совет 1: Как найти площадь разностороннего треугольника

Разносторонним треугольником называется такой треугольник, длины сторон которого не равны между собой. При этом подразумевается, что не равны также никакие две стороны (иначе треугольник получился бы равнобедренным). Для вычисления площади разностороннего треугольника используется несколько разных формул. Рассмотрены все основные варианты, которые могут встретиться на практике и при решении геометрических задач.
Как найти площадь разностороннего треугольника
Вам понадобится
  • - калькулятор;
  • - транспортир;
  • - линейка.
Инструкция
1
Чтобы найти площадь треугольника, умножьте длину его стороны на высоту (перпендикуляр, опущенный на эту сторону из противоположной вершины) и разделите полученное произведение на два. В виде формулы данное правило выглядит следующим образом:

S = ½ * а * h,

где:
S – площадь треугольника,
а – длина его стороны,
h – высота, опущенной на эту сторону.

Длина стороны и высота должны быть представлены в одинаковых единицах измерения. При этом площадь треугольника получится в соответствующих «квадратных» единицах.
2
Пример.
На одну из сторон разностороннего треугольника длиной 20 см, опущен перпендикуляр из противоположной вершины длиной 10 см.
Требуется определить площадь треугольника.
Решение.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).
3
Если известны длины двух любых сторон разностороннего треугольника и угол между ними, то воспользуйтесь формулой:

S = ½ * а * b * sinγ,

где: а, b – длины двух произвольных сторон, а γ – величина угла между ними.
4
На практике, например, при измерении площади земельных участков, использование вышеприведенных формул иногда бывает затруднительно, так как требует дополнительных построений и измерения углов.

Если вам известны длины всех трех сторон разностороннего треугольника, то воспользуйтесь формулой Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

где:

a, b, c – длины сторон треугольника,
р – полупериметр: p = (a+b+c)/2.
5
Если кроме длин всех сторон известен радиус вписанной в треугольник окружности, то воспользуйтесь следующей компактной формулой:

S = p * r,

где: r – радиус вписанной окружности (р – полупериметр).
6
Для вычисления площади разностороннего треугольника через радиус описанной окружности и длины его сторон, используйте формулу:

S = abc/4R,

где: R – радиус описанной окружности.
7
Если известна длина одной из сторон треугольника и величины трех углов (в принципе, достаточно двух – величина третьего вычисляется из равенства суммы трех углов треугольника - 180º), то воспользуйтесь формулой:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

где α – величина противолежащего стороне а угла;
β, γ – величины остальных двух углов треугольника.

Совет 2 : Как посчитать площадь треугольника

По определению из геометрии, треугольником называется фигура, состоящая из трёх вершин и трёх попарно соединяющих их отрезков. Существует большое количество формул для расчёта площади треугольников, для каждого вида треугольников можно использовать специальную формулу.
Как посчитать площадь треугольника
Инструкция
1
Площадь любого треугольника можно посчитать, зная длины его сторон по формуле Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где a ,b , c – стороны треугольника, p = (a + b + c)/2 – полупериметр.
Как посчитать площадь треугольника
2
Площадь прямоугольного треугольника можно рассчитать несколькими способами:

1. По двум катетам S = a * b/2, a, b – катеты,

2. По катету и противолежащему ему углу S = a²/2tg∠α,

3. По катету и прилежащему ему углу S = (a² * tg∠β)/2,

4. По катету и гипотенузе S = a * √(c² - a²)/2, где c – гипотенуза, a – катет,

5. По гипотенузе и прилежащим к ней углам

S = (c² * sin∠α * cos∠α)/2 или S = (c² * sin∠α * sin∠β)/2
Как посчитать площадь треугольника
4
Если в произвольном треугольнике известна одна сторона и два прилежащих к ней угла, то её площадь вычисляется по формулам

S = c²/(2 * (ctg∠α * ctg∠β)) или S = (c² * sin∠α * sin∠β)/2 * sin(∠α + ∠β)
Как посчитать площадь треугольника
Видео по теме

Совет 3 : Как найти площадь правильного треугольника

Правильным треугольником называют треугольник с тремя равными сторонами. Он обладает следующими свойствами: все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60 градусам. Правильный треугольник является равнобедренным.
Как найти площадь правильного треугольника
Вам понадобится
  • Знания по геометрии.
Инструкция
1
Пусть дана сторона правильного треугольника с длиной a=7. Зная сторону такого треугольника можно легко вычислить его площадь. Для этого используется следующая формула: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Подставим в это формулу значение а=7 и получим следующее: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Таким образом получили, что площадь равностороннего треугольника со стороной а=7 равна S=20,82.
2
Если дан радиус вписанной в треугольник окружности, то формула площади через радиус будет выглядеть следующим образом:
S = 3*3^(1/2)*r^2, где r - радиус вписанной окружности. Пусть радиус вписанной окружности r=4. Подставим его в написанную ранее формулу и получим следующее выражение: S = 3*1,7*4*4 = 81,6. То есть при радиусе вписанной окружности равного 4 площадь равностороннего треугольника будет равна 81,6.
3
При известном радиусе описанной окружности формула площади треугольника выглядит так: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, где R - радиус описанной окружности. Допустим, что R=5, подставим это значение в формулу: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Получается, что при радиусе описанной окружности равного 5 площадь треугольника равна 31,9.
Обратите внимание
Площадь треугольника всегда величина положительная, также как и длина стороны треугольника и радиусы вписанной и описанной окружностей.
Полезный совет
Радиус вписанной и описанной окружности в равностороннем треугольнике отличается в два раза, зная это, можно запомнить только одну формулу, например через радиус вписанной окружности, а вторую выводить, зная это утверждение.

Совет 4 : Как найти площадь по стороне и двум углам

Если известны длина одной из сторон треугольника и величины прилегающих к ней углов, его площадь можно вычислить несколькими способами. Каждая из формул вычисления предполагает использование тригонометрических функций, но это не должно пугать - для их расчета достаточно иметь доступ в интернет, не говоря уже о наличии в операционной системе встроенного калькулятора.
Как найти площадь по стороне и двум углам
Инструкция
1
Первый вариант формулы вычисления площади треугольника (S) по известной длине одной из сторон (A) и величинам прилегающих к ней углов (α и β) предполагает вычисление котангенсов этих углов. Площадь в этом случае будет равна квадрату длины известной стороны, разделенному на удвоенную сумму котангенсов известных углов: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Например, если длина известной стороны равна 15 см, а величины прилегающих к ней углов равны 40° и 60°, то расчет площади будет выглядеть так: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60))) = 225/(2*(-0.895082918+3.12460562)) = 225/4.4590454 = 50.4592305 квадратных сантиметров.
2
Второй вариант вычисления площади вместо котангенсов использует синусы известных углов. В этом варианте площадь равна квадрату длины известной стороны, умноженному на синусы каждого из углов и разделенному на удвоенный синус суммы этих углов: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2*sin(α + β)). Например, для того же треугольника с известной стороной в 15 см, и прилегающими к ней углами в 40° и 60°, расчет площади будет выглядеть так: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621)/(2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 квадратных сантиметров.
3
В третьем варианте вычисления площади треугольника задействованы тангенсы углов. Площадь будет равна квадрату длины известной стороны, умноженному на тангенсы каждого из углов и деленному на удвоенную сумму тангенсов этих углов: S = A*A*tg(α)*tg(β)/2(tg(α)+tg(β)). Например, для использованного в предыдущих шагах треугольника со стороной в 15 см и прилегающими углами в 40° и 60°, расчет площади будет выглядеть так: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 квадратных сантиметров.
4
Практические расчеты можно производить, например, с помощью калькулятора поисковой системы Google. Для этого достаточно подставить в формулы числовые значения и ввести их в поле поискового запроса.

Совет 5 : Как найти площади треугольника и прямоугольника

Треугольник и прямоугольник - две простейшие плоские геометрические фигуры в Евклидовой геометрии. Внутри периметров, образованных сторонами этих многоугольников, заключен некоторый участок плоскости, площадь которого можно определить многими способами. Выбор способа в каждом конкретном случае будет зависеть от известных параметров фигур.
Как найти площади треугольника и прямоугольника
Инструкция
1
Применяйте для нахождения площади треугольника одну из формул, использующих тригонометрические функции, если известны величины одного или нескольких углов в треугольнике. Например, при известной величине угла (α) и длинам сторон, его составляющих (В и С), площадь (S) можно определить по формуле S=В*С*sin(α)/2. А при известных величинах всех углов (α, β и γ) и длине одной стороны в придачу (А) можно использовать формулу S=А²*sin(β)*sin(γ)/(2*sin(α)). Если кроме всех углов известен радиус (R) описанной окружности, то воспользуйтесь формулой S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).
2
Если величины углов не известны, то для нахождения площади треугольника можно использовать формулы без тригонометрических функций. Например, если известна высота (Н), проведенная из стороны, длина которой тоже известна (А), то воспользуйтесь формулой S=А*H/2. А если даны длины каждой из сторон (А, В и С), то сначала найдите полупериметр p=(А+В+С)/2, а затем вычислите площадь треугольника по формуле S=√(p*(p-А)*(p-В)*(p-С)). Если кроме длин сторон (А, В и С) известен радиус (R) описанной окружности, то применяйте формулу S=А*В*С/(4*R).
3
Для нахождения площади прямоугольника тоже можно задействовать тригонометрические функции - например, если известна длина его диагонали (С) и величина угла, который она составляет с одной из сторон (α). В этом случае воспользуйтесь формулой S=С²*sin(α)*cos(α). А если известны длины диагоналей (С) и величина угла, который они составляют (α), то применяйте формулу S=С²*sin(α)/2.
4
Без тригонометрических функций при нахождении площади прямоугольника можно обойтись, если известны длины его перпендикулярных сторон (А и В) - можно применить формулу S=А*В. А если дана длина периметра (P) и одной стороны (А), то воспользуйтесь формулой S=А*(P-2*А)/2.
Видео по теме

Совет 6 : Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Как видно на рисунке, равнобедренным является треугольник, две боковые стороны которого равны. Найти площадь равнобедренного треугольника можно, зная длину его основания и высоты или по длине его основания и любой боковой стороны треугольника.
Как вычислить площадь равнобедренного треугольника
Вам понадобится
  • - геометрическая формула для нахождения площади равнобедренного треугольника АВС:
  • S = 1/2 х b х h, где:
  • - S - площадь треугольника АВС,
  • - b - длина его основания АС,
  • - h - длина его высоты.
Инструкция
1
Измерьте длину основания АС равнобедренного треугольника ABC, обычно длина основания треугольника дана в условиях задачи. Пусть длина основания будет равна 6 см. Измерьте высоту равнобедренного треугольника. Высота - это отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно его основанию. Пусть по условиям задачи высота h = 10 см.
2
Вычислите площадь равнобедренного треугольника по формуле. Для этого поделите длину основания АС пополам: 6/2=3 см. Итак, 1/2b=3 см. Умножьте половину длины основания АС треугольника на длину высоты h: 3 х 10=30 см. Таким образом, вы нашли площадь равнобедренного треугольника АВС по длине его основания и высоты. Если по условиям задачи длина высоты неизвестна, зато дана длина стороны треугольника, тогда сначала найдите длину высоты равнобедренного треугольника по формуле h = 1/2·√(4a2 – b2).
3
Вычислите длину высоты равнобедренного треугольника по длине его сторон и основания. Пусть а - длина любой стороны равнобедренного треугольника, по условиям задачи она равна 10 см. Подставив значения длин сторон и основания равнобедренного треугольника в формулу, найдите длину его высоты h=1/2х√(4х100 – 36) =10 см. Вычислив высоту равнобедренного треугольника, продолжите расчеты, подставив найденные значения в указанную формулу нахождения площади треугольника по его высоте и основанию.
Обратите внимание
В равнобедренном треугольнике высота является одновременно медианой и биссектрисой треугольника.

Два угла равнобедренного треугольника равны между собой.
Источники:
  • Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Совет 7 : Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам

В треугольнике, величина угла в одной из вершин которого равна 90°, длинная сторона называется гипотенузой, а остальные две - катетами. Такая фигура можно представить как половину прямоугольника, разделенного диагональю. Это значит, что и площадь его должна быть равна половине площади прямоугольника, стороны которого совпадают с катетами. Несколько более сложной задачей является вычисление площади по катетам треугольника, заданного координатами своих вершин.
Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам
Инструкция
1
Если длины катетов (a и b) прямоугольного треугольника даны в условиях задачи в явном виде, формула расчета площади (S) фигуры будет очень проста - перемножьте эти две величины, а полученный результат разделите пополам: S = ½*a*b. Например, если длины двух коротких сторон такого треугольника составляют 30 см и 50 см, его площадь должна быть равна ½*30*50 = 750 см².
2
Если же треугольник помещен в двухмерную ортогональную координатную систему и задан координатами своих вершин A(X₁,Y₁), B(X₂,Y₂) и C(X₃,Y₃), начните с вычисления длин самих катетов. Для этого рассмотрите треугольники, составленные из каждой стороны и двух ее проекции на координатные оси. То, что эти оси перпендикулярны, позволяет найти длину стороны по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой в таком вспомогательном треугольнике. Длины же проекций стороны (катетов вспомогательного треугольника) найдите вычитанием соответствующих координат точек, образующих сторону. Длины стороны должны быть равны |AB| = √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²), |BС| = √((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²), |CA| = √((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²).
3
Определите, которая пара сторон является катетами - это можно сделать по их длинам, полученным на предыдущем шаге. Катеты обязаны быть короче гипотенузы. Затем воспользуйтесь формулой из первого шага - найдите половину произведения рассчитанных величин. При условии, что катетами являются стороны AB и BC, в общем виде формулу можно записать так: S = ½ * (√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²) * √((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²).
4
Если прямоугольный треугольник помещен в трехмерную систему координат, последовательность операций не изменится. Просто добавьте в формулы расчета длин сторон третьи координаты соответствующих точек: |AB| = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), |BС| = √((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²+(Z₂-Z₃)²), |CA| = √((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²+(Z₃-Z₁)²). Окончательная формула в этом случае должна выглядеть так: S = ½ * (√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²) * √((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²+(Z₂-Z₃)²).
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500