Совет 1: Как найти высоту параллелограмма

Как определить высоту параллелограмма, зная некоторые из его остальных параметров? Таких, как площадь, длины диагоналей и сторон, величины углов.
параллелограмм
Вам понадобится
  • калькулятор
Инструкция
1
В задачах по геометрии, точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.п.

Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом определения площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:

S=a*h, где:

S - площадь параллелограмма,

а - длина основания параллелограмма,

h - длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).

Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет равняться площади, разделенной на длину основания:

h=S/a

Например,

дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание - 10 см.;

найти: высоту параллелограмма.

h=50/10=5 (см).
2
Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный треугольник, то для нахождения высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных треугольников.

Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:

h=d*sinA,

например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то

H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (см).
3
Если в условиях задачи заданы длина прилежащей к высоте h (DE) стороне параллелограмма d (AD) и длина отсекаемой высотой части основания (АЕ), то высоту параллелограмма можно найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, откуда определяем:

h=|ED|=√(|AD|^2-|AE|^2),

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей стороны и отсекаемой высотой части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 3 см, то длина высоты будет:

h=√(5^2-3^2)=4 (см).
4
Если известны длина прилежащей к высоте диагональ (DВ) параллелограмма и длина отсекаемой высотой части основания (ВЕ), то высоту параллелограмма можно также найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, откуда определяем:

h=|ED|=√(|ВD|^2-|ВE|^2),

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей диагонали и отсекаемой высотой (и диагональю) части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 4 см, то длина высоты будет:

h=√(5^2-4^2)=3 (см).
Видео по теме
Источники:
  • что такое высота параллелограмма

Совет 2 : Как найти площадь параллелограмма, если известны только его стороны

Параллелограмм считается определенным, если заданы одно из его оснований и боковая сторона, а также угол между ними. Задачу можно решить и методами векторной алгебры (тогда не потребуется даже чертежа). При этом основание и боковую сторону необходимо задать векторами и использовать геометрическую интерпретацию векторного произведения. Если же заданы лишь длины сторон – задача не имеет однозначного решения.
Как найти площадь параллелограмма, если известны только его стороны
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
параллелограмма/b, если известны только его emстороны/em" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> 1-й способ (геометрический).Дано: параллелограмм АВСD задан длиной основания AD=|a|, длиной боковой стороны AB=|b| и углом между ними ф (рис. 1). Как известно, площадь параллелограмма определяется выражением S=|a|h, причем из треугольника ABF: h=BF=ABsinф=|b|sinф. Итак, S=|a||b|sinф.Пример 1. Пусть AD=|a|=8, AB=|b|=4, ф=п/6. Тогда S=8*4*sin(1/2)=16 кв. ед.
2
2-й способ (векторный).Векторное произведение определяется как вектор ортогональный членам своего произведения и чисто геометрически (численно) совпадающий с площадью параллелограмма, построенного на его составляющих. Дано: параллелограмм задан векторами двух его сторон a и b в соответствии с рис. 1. Для совпадения данных с примером 1 – пусть в координатах a(8, 0) и b(2sqrt(3, 2)).Для вычисления векторного произведения в координатной форме, используется вектор-определитель (см. рис.2).
3
Учитывая, что a(8,0,0), b(2sqrt(3,2),0,0), т.к. ось 0z «смотрит» прямо на нас с плоскости рисунка, а сами векторы лежат в плоскости 0xy.Для того чтобы не ошибаться лишний раз, перепишите результат в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx); и в координатах:{nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.Более того, дабы не путаться с численными примерами, выпишите все по отдельности. nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. Подставив имеющиеся в условии значения, получите: nx=0, ny=0, nz=16. В данном случае S=|nz|=16 ед. кв.
Источники:
  • площадь параллелограмма если известны стороны

Совет 3 : Как найти большую высоту

Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других величину. Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма.
Как найти большую высоту
Инструкция
1
Определите, которая из высот многоугольника должна иметь наибольшую длину. В треугольнике это отрезок, опущенный на самую короткую сторону, поэтому если в исходных условиях даны размеры всех трех сторон, то гадать не придется.
2
Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена площадь (S) фигуры, формула расчета большей из высот (Hₐ) будет достаточно проста. Удвойте площадь и разделите полученное значение на длину короткой стороны - это и будет искомая высота: Hₐ = 2*S/a.
3
Не зная площади, но имея длины всех сторон треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины - полупериметра (р). Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат пополам: р = (a+b+c)/2.
4
Трижды умножьте полупериметр на разность между ним и каждой из сторон: р*(р-a)*(р-b)*(р-c). Из полученного значения извлеките квадратный корень √(р*(р-a)*(р-b)*(р-c)) и не удивляйтесь - вы использовали формулу Герона для нахождения площади треугольника. Для определения длины наибольшей высоты осталось заменить полученным выражением площадь в формуле из второго шага: Hₐ = 2*√(р*(р-a)*(р-b)*(р-c))/a.
5
Большая высота параллелограмма (Hₐ) вычисляется еще проще, если известна площадь этой фигуры (S) и длина ее короткой стороны (a). Разделите первое на второе и получите нужный результат: Hₐ = S/a.
6
Если известна величина угла (α) в какой-либо из вершин параллелограмма, а также длины сторон (a и b), образующих этот угол, найти большую из высот тоже будет не очень несложно. Для этого величину длинной стороны умножьте на синус известного угла, а результат разделите на длину короткой стороны: Hₐ = b*sin(α)/a.
Источники:
  • как найти меньшую высоту параллелограмма

Совет 4 : Как найти большую диагональ параллелограмма

Диагонали четырехугольника соединяют противоположные его вершины, деля фигуру на пару треугольников. Чтобы найти большую диагональ параллелограмма, нужно произвести ряд вычислений согласно начальным данным задачи.
Как найти большую диагональ параллелограмма
Инструкция
1
Диагонали параллелограмма обладают рядом свойств, знание которых помогает в решении геометрических задач. В точке пересечения они делятся пополам, являясь биссектрисами пары противоположных углов фигуры, меньшая диагональ – для тупых углов, а большая – острых. Соответственно, при рассмотрении пары треугольников, которые получаются из двух смежных сторон фигуры и одной из диагоналей, половина другой диагонали – это еще и медиана.
2
Треугольники, образованные половинами диагоналей и двумя параллельными сторонами параллелограмма, подобны. Кроме того, любая диагональ делит фигуру на два одинаковых треугольника, графически симметричных относительно совместного основания.
3
Чтобы найти большую диагональ параллелограмма, можно воспользоваться общеизвестной формулой соотношения суммы квадратов двух диагоналей и удвоенной суммы квадратов длин сторон. Она является прямым следствием из свойств диагоналей:d1² + d2² = 2•(a² + b²).
4
Пусть d2 – большая диагональ, тогда формула преобразуется к виду:d2 = √(2•(a² + b²) – d1²).
5
Примените эти знания на практике. Пусть задан параллелограмм со сторонами a=3 и b=8. Найдите большую диагональ, если известно, что она на 3 см больше меньшей.
6
Решение.Запишите формулу в общем виде, введя известные из исходных данных величины a и b:d1² + d2² = 2•(9 + 64) = 146.
7
Выразите длину меньшей диагонали d1 через длину большей согласно условию задачи:d1 = d2 - 3.
8
Подставьте это выражение в первое уравнение:(d2 - 3)² + d2² = 146
9
Возведите значение в скобке в квадрат:d2² – 6•d2 + 9 + d2² = 1462•d2² – 6•d2 – 135 = 0
10
Решите полученное квадратное уравнение относительно переменной d2 через дискриминант:D = 36 + 1080 = 1116.d2 = (6 ± √1116)/4 ≈ [9,85; -6,85].Очевидно, что длина диагонали – положительная величина, следовательно, она равна 9,85 см.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500