Совет 1: Как найти биссектрису прямого угла

Один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть составляет 90⁰. Это несколько упрощает работу по сравнению с обычным треугольником, так как существует множество закономерностей и теорем, позволяющих легко выражать одни величины через другие. Например, попробуйте найти биссектрису прямого угла, опущенную на гипотенузу.
Вам понадобится
  • - прямоугольный треугольник;
  • - известная длина катетов;
  • - известная длина гипотенузы;
  • - известные углы и одна из сторон;
  • - известные длины частей, на которые биссектриса делит гипотенузу.
Инструкция
1
В первую очередь найдите гипотенузу. Пусть ваша гипотенуза будет равна с. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на две, чаще всего неравные, части. Обозначьте одну из них за х, а другая при этом будет равна с-х.
Чертеж к задаче
2
Можно поступить иначе: обозначьте две части за х и у, при этом будет выполняться условие х+у=с, его необходимо будет учесть при решении уравнения.
3
Воспользуйтесь следующей теоремой: отношения катетов и отношения прилежащих отрезков, на которые биссектриса прямого угла делит гипотенузу, равны. То есть разделите длину катетов друг на друга и приравняйте к отношению х/(с-х). При этом следите за тем, чтобы в числителе стоял прилежащий к х катет. Решите полученное уравнение и найдите х.
4
Попробуйте поступить по-другому: выразите катеты через гипотенузу и угол α. При этом прилежащий катет будет равен с*cosα, а противолежащий – с*sinα. Уравнение в этом случае получится в следующем виде: х/(с-х)= с*cosα/ с*sinα. После упрощения х=с*cosα/(sinα+cosα).
5
Узнав длину отрезков, на которые биссектриса прямого угла разделила гипотенузу, найдите длину самой гипотенузы при помощи теоремы синусов. Угол между катетом и биссектрисой вам известен - 45⁰, две стороны внутреннего треугольника тоже.
6
Подставьте данные в теорему синусов: х/sin45⁰=l/sinα. Упростив выражение, вы получите l=2xsinα/√2. Подставьте найденное значение х: l=2c*cosα*sinα/√2(sinα+cosα)=c*sin2α/2cos(45⁰-α). Это и есть биссектриса прямого угла, выраженная через гипотенузу.
7
Если вам даны катеты, у вас есть два варианта: либо найдите длину гипотенузы по теореме Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы и решайте указанным выше способом. Либо воспользуйтесь следующей готовой формулой: l=√2*ab/(a+b), где a и b – длины катетов.

Совет 2: Как найти биссектрису треугольника

Делить угол пополам и вычислить длину линии, проведенной из его вершины к противоположной стороне, необходимо уметь раскройщикам, землемерам, монтажникам и людям некоторых других профессий.
Вам понадобится
  • Инструменты Карандаш Линейка Транспортир Таблицы синусов и косинусов Математические формулы и понятия: Определение биссектрисы Теоремы синусов и косинусов Теорема о биссектрисе
Инструкция
1
Постройте треугольник необходимой формы и величины, в зависимости от того, что вам дано? дфе стороны и угол между ними, три стороны или два угла и расположенная между ними сторона.

Обозначьте вершины углов и стороны традиционными латинскими буквами А, В и С. Вершины углов обозначают прописными буквами, противолежащие стороны - строчными. Обозначьте углы греческими буквами ?,? и ?

По теоремам синусов и косинусов вычислите размеры углов и сторон треугольника.
Как найти <strong>биссектрису</strong> <b>треугольника</b>
2
Вспомните определение биссектрисы. Биссектриса - прямая, делящая угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на два отрезка, отношение которых равно отношению двух прилежащих сторон треугольника.

Проведите биссектрисы углов. Полученные отрезки обозначьте названиами углов, написанными строчными буквами, с нижним индексом l. Сторона с делится на отрезки a и b с индексами l.

Вычислите длины получившихся отрезков по теореме синусов.
3
Вычислите длину биссектрисы по формуле:

Длина биссектрисы равна квадратному корню из произведения отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую углу сторону, вычтенного из произведения прилежащих сторон.
Как найти <strong>биссектрису</strong> <b>треугольника</b>
Видео по теме
Обратите внимание
Длина отрезка, которая одновременно является стороной треугольника, образованного одной из сторон исходного треугольника, биссектрисой и собственно отрезком, вычисляется по теореме синусов. Для того, чтобы вычислить длину другого отрезка этой же стороны, воспользуйтесь соотношением получившихся отрезков и прилежащих сторон исходного треугольника.
Совет полезен?
Для того, чтобы не запутаться, проведите биссектрисы разных углов разным цветом.

Совет 3: Как найти биссектрису в прямоугольном треугольнике

Биссектрисой называется луч, который делит угол пополам. Биссектриса, помимо этого, имеет ещё множество свойств и функций. А для того, чтобы вычислить ее длину в прямоугольном треугольнике, вам понадобятся формулы и инструкции приведенные ниже.
Вам понадобится
  • - калькулятор
Инструкция
1
Перемножьте между собой сторону a, сторону b, полупериметр треугольника p и цифру четыре 4*a*b. Далее полученную сумму необходимо умножить на разность полупериметра p и стороны c 4*a*b*(p-c). Извлеките корень из произведения полученного ранее. SQR(4*a*b*(p-c)). А после разделите результат на сумму стороны a и b. Таким образом, мы получили одну из формул нахождения биссектрисы с помощью теоремы Стюарта. Её же можно трактовать иным способом, представив таким образом: SQR(a*b*(a+b+c)(a+b-c)). За исключением этой формулы существует ещё несколько вариантов, полученных на основании все той же теоремы.
2
Перемножьте сторону a на сторону b. Из результата отнимите произведение длин отрезков e и d, на которые биссектриса l делит сторону c. Получаются действия вот такого вида a*b-e*d. Далее необходимо извлечь корень из представленной разности SQR (a*b-e*d). Это ещё один способ определения длины биссектрисы в треугольниках. Делайте все вычисления аккуратно, лучше повторяя хотя бы 2 раза для исключения возможных ошибок.
3
Умножьте число два на стороны a и b, а также косинус угла с, деленный пополам. Далее полученное произведение нужно разделить на сумму стороны a и b. При условии, в котором известны косинусы, этот способ вычисления станет для вас наиболее удобным.
4
Отнимите из косинуса угла a косинус угла b. После полученную разность разделите пополам. Делитель, который понадобится нам в дальнейшем, вычислен. Теперь осталось лишь поделить высоту, проведенную к стороне c, на вычисленное ранее число. Сейчас был продемонстрирован ещё один способ вычислений для нахождения биссектрисы в прямоугольном треугольнике. Выбор метод для поиска нужных вам цифр остается за вами, а также зависит от данных, которые предоставлены в условии о той или иной геометрической фигуре.
Видео по теме

Совет 4: Как найти уравнение биссектрисы

Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные своими уравнениями. Требуется найти уравнение прямой, которая, проходя через точку пересечения этих двух прямых, делила бы точно пополам угол между ними, то есть являлась бы биссектрисой.
Инструкция
1
Предположим, что прямые заданы своими каноническими уравнениями. Тогда A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0. При этом A1/B1 ≠ A2/B2, иначе прямые параллельны и задача не имеет смысла.
2
Поскольку очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют между собой четыре попарно равных угла, то должны существовать ровно две прямые, удовлетворяющие условию задачи.
3
Эти прямые будут перпендикулярны друг другу. Доказательство этого утверждения достаточно просто. Сумма четырех углов, образованных пересекающимися прямыми, будет всегда равна 360°. Поскольку углы попарно равны, то эту сумму можно представить в виде:
2a + 2b = 360° или, что очевидно, a + b = 180°.
Поскольку первая из искомых биссектрис делит пополам угол a, а вторая — угол b, то угол между самими биссектрисами всегда равен a/2 + b/2 = (a + b)/2 = 90°.
4
Биссектриса, по определению, делит угол между прямыми пополам, а значит, для любой точки, лежащей на ней, расстояния до обеих прямых будут одинаковыми.
5
Если прямая задана каноническим уравнением, то расстояние от нее до некоторой точки (x0, y0), не лежащей на этой прямой:
d = |(Ax0 + By0 + C)/(√(A^2 + B^2))|.
Следовательно, для любой точки, лежащей на искомой биссектрисе:
|(A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2)| = |(A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2)|.
6
Из-за того, что в обеих частях равенства стоят знаки модуля, оно описывает сразу обе искомые прямые. Чтобы превратить его в уравнение только одной из биссектрис, нужно раскрыть модуль либо со знаком +, либо со знаком -.
Таким образом, уравнение первой биссектрисы:
(A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2) = (A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2).
Уравнение второй биссектрисы:
(A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2) = -(A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2).
7
Например, пусть заданы прямые, определенные каноническими уравнениями:
2x + y -1 = 0,

x + 4y = 0.
Уравнение их первой биссектрисы получается из равенства:
(2x + y -1)/√(2^2 + 1^2) = (x + 4y + 0)/√(1^2 + 4^2), то есть
(2x + y - 1)/√5 = (x + 4y)/√15.
Раскрывая скобки и переводя уравнение в канонический вид:
(2*√3 - 1)*x + (√3 - 4)*y - √3 = 0.
Видео по теме
Источники:
  • как найти длину прямой
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500