Совет 1: Как составить уравнения сторон треугольника

Есть множество способов определить треугольник. В аналитической геометрии один из этих способов — задать координаты трех его вершин. Эти три точки определяют треугольник однозначно, но для полноты картины нужно еще составить уравнения сторон, соединяющих вершины.
Как составить уравнения сторон треугольника
Инструкция
1
Вам заданы координаты трех точек. Обозначим их как (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Предполагается, что эти точки являются вершинами некоторого треугольника. Задача состоит в том, чтобы составить уравнения его сторон — точнее уравнения тех прямых, на которых лежат эти стороны. Эти уравнения должны иметь вид:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3.Таким образом, вам предстоит найти угловые коэффициенты k1, k2, k3 и смещения b1, b2, b3.
2
Убедитесь, что все точки различны между собой. Если какие-то две совпадают, то треугольник вырождается в отрезок.
3
Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1), (x2, y2). Если x1 = x2, то искомая прямая вертикальна и ее уравнение x = x1. Если y1 = y2, то прямая горизонтальна и ее уравнение y = y1. В общем случае эти координаты не будут равны друг другу.
4
Подставляя координаты (x1, y1), (x2, y2) в общее уравнение прямой, вы получите систему из двух линейных уравнений:k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2.Вычтите одно уравнение из другого и решите полученное уравнение относительно k1:k1*(x2 - x1) = y2 - y1, следовательно, k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).
5
Подставляя найденное выражение в любое из исходных уравнений, найдите выражение для b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1.Поскольку уже известно, что x2 ≠ x1, можно упростить выражение, умножив y1 на (x2 - x1)/(x2 - x1). Тогда для b1 вы получите следующее выражение:b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).
6
Проверьте, не лежит ли третья из заданных точек на найденной прямой. Для этого подставьте значения (x3, y3) в выведенное уравнение и посмотрите, соблюдается ли равенство. Если оно соблюдается, следовательно, все три точки лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок.
7
Тем же способом, что описан выше, выведите уравнения для прямых, проходящих через точки (x2, y2), (x3, y3) и (x1, y1), (x3, y3).
8
Окончательный вид уравнений для сторон треугольника, заданного координатами вершин, выглядит так:(1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1);
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Совет 2 : Как найти уравнения сторон треугольника

Чтобы найти уравнения сторон треугольника, прежде всего надо постараться решить вопрос о том, как найти уравнение прямой на плоскости, если известен ее направляющий вектор s(m, n) и некоторая точка М0(x0, y0), принадлежащая прямой.
Как найти уравнения сторон треугольника
Инструкция
1
Возьмите произвольную (переменную, плавающую) точку М(x, y) и постройте вектор М0M ={x-x0, y-y0} (можно записать и М0M(x-x0, y-y0)), который, очевидно будет коллинеарен (параллелен) по отношению к s. Тогда, можно заключить, что координаты этих векторов пропорциональны, поэтому можно составить каноническое уравнение прямой: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Именно это соотношение будет использоваться в дальнейшем при решении поставленной задачи.
2
Все дальнейшие действия определяются исходя из способа задания треугольника.1-й способ. Треугольник задан координатами точек трех его вершин, что в школьной геометрии соответствует заданию длин трех его сторон (см. рис. 1). То есть в условии даны точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Им соответствуют их радиус-векторы ) OM1, 0M2 и ОМ3 с такими же, как и у точек, координатами. Для получения уравнения стороны М1М2 требуется ее направляющий вектор М1М2=ОМ2 – ОМ1=М1М2(x2-x1, y2-y1) и любая из точек М1 или М2 (здесь взята точка с меньшим индексом).
3
Итак, для стороны М1М2 каноническое уравнение прямой (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Действуя чисто индуктивно можно записать уравнения остальных сторон.Для стороны М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Для стороны М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).
4
2-й способ. Треугольник задан двумя точками (теми же, что и ранее М1(x1, y1) и M2(x2, y2)), а также ортами направлений двух других сторон. Для стороны М2М3: p^0(m1, n1). Для М1М3: q^0(m2, n2). Поэтому ответ для стороны М1М2 будет тем же, что и в первом способе:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
5
Для стороны М2М3 в качестве точки (x0, y0) канонического уравнения берется (x1, y1), а направ-ляющий вектор – это p^0(m1, n1). Для стороны М1М3 в качестве точки (x0, y0) берется (x2, y2), направляющий вектор – q^0(m2, n2). Таким образом, для М2М3: уравнение (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Для М1М3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.
Видео по теме

Совет 3 : Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.
Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек
Инструкция
1
Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.
2
Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
3
Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.
4
Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.
Источники:
  • даны точки найти площадь треугольника

Совет 4 : Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон

В аналитической геометрии треугольник на плоскости можно задать в декартовой системе координат. Зная координаты вершин, вы можете составить уравнения сторон треугольника. Это будут уравнения трех прямых, которые, пересекаясь, образуют фигуру.
Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага для записей;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Прямая на плоскости описывается уравнением: ax+bу+с = 0, где х,y – координаты по оси 0х и оси 0у какой-либо точки прямой; a, b, с – числовые коэффициенты. Причем a и b не могут равняться нулю одновременно. Такой вид записи называется общим уравнением прямой.
2
Также прямую можно задать выражением вида: y = kx+c. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, который является тангенсом угла, образующегося при пересечении данной прямой с осью 0х.
3
Зная координаты двух точек А (х1;y1), В (х2;у2), вы можете записать уравнение прямой, проведенной через эти точки, используя пропорцию: (у-у1)/(у1-у2)=(х-х1)/(у1-у2). Далее, преобразовав это равенство, приведите его к виду как в шаге 1 или 2.
4
Рассмотрите алгоритм решения задачи на конкретном примере. Даны три вершины треугольника с известными координатами: А (9;8), В (7;-6), С (-7;4). Напишите уравнение прямых, образующих его.
Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон
5
Найдите уравнение для прямой АВ. Примените формулу из шага 3, подставив значения координат точек А и В: (у-8)/(8-(-6)) = (х-9)/(9-7). Преобразуйте его: (у-8)/14 = (х-9)/2 или 2(у-8) = 14(х-9). Сократите уравнение, разделив левую и правую части на два, и раскройте скобки: у = 7х-63+8 = 7х-55.
Уравнение для АВ: у = 7х-55. Или: 7х-у-55 = 0 (АВ).
6
Аналогично напишите уравнение для прямой ВС: (у-(-6))/(-6-4) = (х-7)/7-(-7)). (у+6)/(-10) = (х-7)/14. 7(у+6) = -5(х-7). 7у+42 = -5х+35. 7у = -5х-7. у = -5/7х-1.
Уравнение для ВС: y = -5/7х-1. Или: -5х-7у-7 = 0 (ВС).
7
Затем уравнение для прямой СА: (у-8)/(8-4) = (х-9)/(9-(-7)). 16(у-8) = 4(х-9). 4у-32 = х-9. 4у = х-9+32. у = 0,25х+5,75.
Уравнение для СА: у = 0,25х+5,75. Или: х-4у+23 = 0 (СА).
8
Вы составили уравнения трех сторон фигуры. Для самопроверки постройте треугольника в системе координат. Найдите на чертеже значения пересечений прямых с осью 0у. Сравните эти координаты с полученными в уравнении. Например, для (BC) при y = 0, х = -1,4.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500