Совет 1: Как найти координаты пересечения высот в треугольнике

Линия, проведенная из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне, называется его высотой. Зная координаты вершин треугольника, можно найти его ортоцентр — точку пересечения высот.
Инструкция
1
Рассмотрите треугольник с вершинами A, B, C, координаты которых, соответственно (xa, ya), (xb, yb), (xc, yc). Проведите высоты из вершин треугольника и обозначьте точку пересечения высот как точку О с координатами (x, y), которые и необходимо найти.
2
Составьте уравнение сторон треугольника. Сторона AB выражается уравнением (x−xa)/(xb−xa)=(y−ya)/(yb−ya). Приведите уравнение к виду y=k×x+b: x×yb−x×ya−xa×yb+xa×ya=y×xb−y×xa−ya×xb+ya×xa, что равносильно y=((yb−ya)/(xb−xa))×x+xa×(ya−yb)/(xb−xa)+ya. Обозначьте угловой коэффициент k1=(yb−ya)/(xb−xa). Аналогичным образом найдите уравнение любой другой стороны треугольника. Сторона AC задается формулой (x−xc)/(xa−xc)=(y−yc)/(ya−yc), y=((ya−yc)/(xa−xc))×x+xc×(ya−yc)/(xc−xa)+ya. Угловой коэффициент k2=(yc−yb)/(xc−xb).
3
Запишите уранение высот треугольника, проведенных из вершин B и C. Так как высота, выходящая из вершины B, будет перпендикулярна стороне AС, то ее уравнение будет иметь вид y−ya=(-1/k2)×(x−xa). А высота, проходящая перпендикулярно стороне AB и выходящая из точки C, будет выражаться в виде y−yc=(-1/k1)×(x−xc).
4
Найдите точку пересечения двух высот треугольника, решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными: y−ya=(-1/k2)×(x−xa) и y−yb=(-1/k1)×(x−xb). Выразите переменную y из обоих уравнений, приравняйте эти выражения и решите уравнение относительно x. А затем подставьте полученное значение x в одно из уравнений и найдите y.
5
Рассмотрите для наилучшего понимания вопроса пример. Пусть дан треугольник с вершинами A (-3, 3), B (5, -1) и C (5, 5). Составьте уравнение сторон треугольника. Сторона AB выражается по формуле (x+3)/(5+3)=(y−3)/(-1−3) или y=(-1/2)×x+3/2, то есть k1=-1/2. Сторона AC задается уравнением (x+3)/(5+3)=(y−3)/(5−3), то есть y=(1/4)×x+15/4. Угловой коэффициент k2=1/4. Уравнение высоты, выходящей из вершины C: y−5=2×(x−5) или y=2×x−5, а высоты, выходящей из вершины B: y−5=-4×(x+1), что есть y=-4×x+19. Решите систему из этих двух уравнений. Получается, что ортоцентр имеет координаты (4, 3).

Совет 2: Как найти координаты вершины

При исследовании квадратичной функции, графиком которой является парабола, в одном из пунктов необходимо найти координаты вершины параболы. Как это сделать аналитически, используя заданное для параболы уравнение?
Инструкция
1
Квадратичная функция - это функция вида y=ax^2+bx+c, где a - старший коэффициент (он обязательно должен быть ненулевым), b - младший коэффициент, с - свободный член. Данная функция дает своим графиком параболу, ветви которой направлены либо вверх (если а>0), либо вниз (если а<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.
2
Найдем координату x0 вершины параболы. Она находится по формулеx0=-b/a.
3
y0=y(x0).Чтобы найти координату y0 вершины параболы, необходимо в функцию вместо x подставить найденное значение x0. Сосчитайте, чему равен y0.
4
Координаты вершины параболы найдены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).
5
При построении параболы помните, что она симметрична относительно оси симметрии параболы, проходящей вертикально через вершину параболы, т.к. квадратичная функция является четной. Поэтому достаточно по точкам построить только одну ветвь параболы, а другую достроить симметрично.
Видео по теме

Совет 3: Как найти точку пересечения высот треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. Точка пересечения трех высот носит название "ортоцентр". Понятие и свойства ортоцентра бывают полезны при решении задач на геометрические построения.
Вам понадобится
  • треугольник, линейка, ручка, карандаш координаты вершин треугольника
Инструкция
1
Определитесь с видом имеющегося треугольника. Самый простой случай - прямоугольный треугольник, поскольку его катеты одновременно служат и двумя высотами. Третья высота такого треугольника располагается на гипотенузе. При этом ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
2
В случае остроугольного треугольника точка пересечения высот будет находиться внутри фигуры. Проведите из каждой вершины треугольника линию, перпендикулярную стороне, находящейся напротив данной вершины. Все эти линии пересекутся в одной точке. Это и будет искомый ортоцентр.
3
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника будет находиться вне фигуры. Прежде чем проводить перпендикуляры-высоты из вершин, вам необходимо сначала продолжить линии, образующие тупой угол треугольника. Перпендикуляр в данном случае опускается не на сторону треугольника, а на линию, содержащую данную сторону. Далее опускаются высоты и находится их точка пересечения, как описано выше.
4
Если известны координаты вершин треугольника на плоскости или в пространстве, нетрудно найти координаты точки пересечения высот. Если А, B, C - обозначения углов, O - ортоцентра, то отрезок AО перпендикулярен отрезку BС, а BО перпендикулярен AC, таким образом, получаете уравнения AО-BC=0, BО-AC=0. Этой системы линейных уравнений достаточно для нахождения координат точки О на плоскости. Вычислите координаты векторов BC и AC, вычитая из координат второй точки соответствующие координаты первой точки. Принимаете, что точка О имеет координаты x и y (О(x,y)), далее решите систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Если задача дана в пространстве, то в систему следует добавить уравнения AО-a=0, где вектор a=AB*AC.
Видео по теме
Обратите внимание
Не перепутайте точку пересечения высот (ортоцентр) с точкой пересечения медиан (центроидом), биссектрис или серединных перпендикуляров (проведенных через середину каждой стороны треугольника).
Полезный совет
Для определения ортоцентра достаточно найти точку пересечения двух высот из трех, поскольку высоты любого треугольника всегда пересекаются в одной точке.
Источники:
  • Интерактивный справочник формул.
  • пересечение высот

Совет 4: Как найти координаты точек пересечения медиан

Из курса школьной геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Поэтому разговор следует вести о точке пересечения, а не о нескольких точках.
Инструкция
1
Сначала необходимо обговорить выбор удобной для решения задачи системы координат. Обычно в задачах такого рода одну из сторон треугольника помещают на оси 0Х так, чтобы одна точка совпадала с началом координат. Поэтому не стоит отходить от общепринятых канонов решения и сделать также (см. рис. 1). Способ задание самого треугольника не играет принципиальной роли, так как всегда можно перейти от одного из них к другому (в чем вы в дальнейшем сможете убедиться).
2
Пусть искомый треугольник задан двумя векторами его сторон АС и АВ a(x1, y1) и b(x2, y2), соот-ветственно. Более того, по построению y1=0. Третья сторона ВС соответствует c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), согласно данной иллюстрации. Точка А помещена в начало координат, то есть ее координаты А(0, 0). Легко также заметить, что координаты В (x2, y2), a C (x1, 0). Отсюда можно сделать вывод, что задание треугольника двумя векторами автоматически совпало с его заданием тремя точками.
3
Далее следует достроить искомый треугольник до соответствующего ему по размерам параллелограмма ABDC. При этом известно, что в точке пересечения диагоналей параллелограмма они делятся пополам, так, что АQ медиана треугольника АВС, опускается из А на сторону ВС. Вектор диагонали s содержит эту медиану и является, по правилу параллелограмма, геометрической суммой a и b. Тогда s = a + b, а его координаты s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Такие же координаты будут и у точки D(x1+x2, y2).
4
Теперь можно переходить к составлению уравнение прямой, содержащей s, медиану AQ и, са-мое главное, искомую точку пересечения медиан H. Так как сам вектор s является направляю-щим для данной прямой, а также известна точка А(0, 0), принадлежащая ей, то самое простое – это использовать уравнение плоской прямой в каноническом виде:(x-x0)/m=(y-y0)/n.Здесь (x0, y0) координаты произвольной точки прямой (точка А(0, 0)), а (m, n) – координаты s (вектор (x1+x2, y2). И так, искомая прямая l1 будет иметь вид:x/( x1+x2)=y/ y2.
5
Самый естественный способ нахождения координат точки – это определение ее в пересечении двух прямых. Поэтому следует найти еще одну прямую, содержащую т. Н. Для этого на рис. 1 выполнено построение еще одного параллелограмма АPBC, диагональ которого g=a+c =g(2x1-x2, -y2) содержит вторую медиану CW, опущенную из С на сторону АВ. Это диагональ содержит точку С(x1, 0), координаты которой будут играть роль (x0, y0), а направляющий вектор здесь будет g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Отсюда l2 задается уравнением: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).
6
Решив совместно уравнения для l1 и l2, легко найти координаты точки пересечения медиан Н:Н((x1+x1)/3, y2/3).
Видео по теме

Совет 5: Как построить линию пересечения двух треугольников

Начертательная геометрия является базой для многих теоретических разработок в области технического черчения. Знание этой теории в построении изображений геометрических объектов нужно для того, чтобы достоверно выразить свои идеи с помощью чертежа.
Инструкция
1
Задачу по построению линии пересечения для 2-х плоскостей можно назвать базовой в теории технического черчения. Чтобы образовать линию пересечения для 2-х треугольников, нужно определить точки, принадлежащие обеим плоским фигурам.
2
Для решения задачи постройте два треугольника ABC и EDK во фронтальной и горизонтальной проекции. Затем проведите через сторону AB в треугольнике ABC вспомогательную плоскость Pн, ее горизонтальную проекцию. Данная горизонтальная плоскость образует линию пересечения 1-2 с плоскостью второго треугольника EDK, где точки 1 и 2 находятся на сторонах ED и EK.
3
Таким же образом найдите линию пересечения 1′-2′ горизонтально проецирующей плоскости Pн, проведенной через сторону A′B′ во фронтальной проекции треугольника ABC. Фронтальные проекции 1′-2′ и A′B′ пересекаются между собой и дают точку пересечения M′, ее фронтальную проекцию.
4
Проведите линию связи от фронтальной проекции к горизонтальной проекции и таким образом найдите горизонтальную проекцию точки M.
5
Определите вторую точку пересечения плоскостей треугольника ABC и треугольника EDK, для чего проведите через сторону DK в треугольнике EDK вспомогательную плоскость Qv, ее фронтальную проекцию. Линией пересечения плоскости Qv с плоскостью треугольника ABC становится линия 3-4 и линия 3′-4′ в ее фронтальной проекции. Горизонтальные проекции 3-4 и DK пересекаются между собой и дают точку пересечения N, ее горизонтальную проекцию.
6
Проведите линию связи от горизонтальной проекции к фронтальной проекции и таким образом найдите точку N′, ее фронтальную проекцию.
7
Соедините точки проекции линии пересечения MN и линии пересечения M′N′. В результате вы получите две линии пересечения треугольников EDK и ABC в их фронтальной и горизонтальной проекции.
Видео по теме
Источники:
  • пересечение плоскостей треугольников

Совет 6: Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.
Инструкция
1
Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.
2
Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
3
Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.
4
Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.
Источники:
  • даны точки найти площадь треугольника

Совет 7: Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон

В аналитической геометрии треугольник на плоскости можно задать в декартовой системе координат. Зная координаты вершин, вы можете составить уравнения сторон треугольника. Это будут уравнения трех прямых, которые, пересекаясь, образуют фигуру.
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага для записей;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Прямая на плоскости описывается уравнением: ax+bу+с = 0, где х,y – координаты по оси 0х и оси 0у какой-либо точки прямой; a, b, с – числовые коэффициенты. Причем a и b не могут равняться нулю одновременно. Такой вид записи называется общим уравнением прямой.
2
Также прямую можно задать выражением вида: y = kx+c. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, который является тангенсом угла, образующегося при пересечении данной прямой с осью 0х.
3
Зная координаты двух точек А (х1;y1), В (х2;у2), вы можете записать уравнение прямой, проведенной через эти точки, используя пропорцию: (у-у1)/(у1-у2)=(х-х1)/(у1-у2). Далее, преобразовав это равенство, приведите его к виду как в шаге 1 или 2.
4
Рассмотрите алгоритм решения задачи на конкретном примере. Даны три вершины треугольника с известными координатами: А (9;8), В (7;-6), С (-7;4). Напишите уравнение прямых, образующих его.
Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон
5
Найдите уравнение для прямой АВ. Примените формулу из шага 3, подставив значения координат точек А и В: (у-8)/(8-(-6)) = (х-9)/(9-7). Преобразуйте его: (у-8)/14 = (х-9)/2 или 2(у-8) = 14(х-9). Сократите уравнение, разделив левую и правую части на два, и раскройте скобки: у = 7х-63+8 = 7х-55.
Уравнение для АВ: у = 7х-55. Или: 7х-у-55 = 0 (АВ).
6
Аналогично напишите уравнение для прямой ВС: (у-(-6))/(-6-4) = (х-7)/7-(-7)). (у+6)/(-10) = (х-7)/14. 7(у+6) = -5(х-7). 7у+42 = -5х+35. 7у = -5х-7. у = -5/7х-1.
Уравнение для ВС: y = -5/7х-1. Или: -5х-7у-7 = 0 (ВС).
7
Затем уравнение для прямой СА: (у-8)/(8-4) = (х-9)/(9-(-7)). 16(у-8) = 4(х-9). 4у-32 = х-9. 4у = х-9+32. у = 0,25х+5,75.
Уравнение для СА: у = 0,25х+5,75. Или: х-4у+23 = 0 (СА).
8
Вы составили уравнения трех сторон фигуры. Для самопроверки постройте треугольника в системе координат. Найдите на чертеже значения пересечений прямых с осью 0у. Сравните эти координаты с полученными в уравнении. Например, для (BC) при y = 0, х = -1,4.
Источники:
  • Основные линии треугольника
  • найти координаты точки на стороне треугольника
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше