Совет 1: Как решить функцию

Для вычисления значения функции используются различные приемы: с помощью формулы, которой она задана, графика или таблицы. Все эти способы имеют определенный алгоритм выполнения.
Инструкция
1
Если вы хотите найти значение функции, используя формулу, подставьте в эту формулу вместо аргумента (х), его допустимые значения, то есть значения, входящие в ее область определения. Для этого нужно найти область определения допустимых значений данной функции.
2
Чтобы найти область определения функции, определите, какой вид она имеет. Если представлена функция вида у = а/в, то ее областью определения будут являться все значения в, за исключением нуля. Число а является любым числом. Для нахождения области определения функции подкоренного выражения при условии четного показателя, данное выражение должно быть больше нуля или равно ему. Находя область определения функции того же выражения, но с нечетным показателем, учитывайте, что х – может быть любым числом в том случае, если подкоренное выражение не дробное. Находя область определения логарифмической функции, руководствуйтесь правилом о том, что выражение, которое стоит под знаком логарифма, должно быть положительной величиной.
3
Отыскав область определения функции, переходите к ее решению. Например, чтобы решить функцию: у = 2,5 х – 10 при х = 100, подставьте в данную формулу вместо х число 100. Данная операция будет выглядеть следующим образом: у = 2,5 × 100 – 10; у = 240. Это число и будет искомым значением функции.
4
Чтобы найти значение функции, используя график, отложите в прямоугольной системе координат на оси ОХ значение аргумента (отметьте точку, соответствующую аргументу). Затем из данной точки проведите перпендикуляр до пересечения его с графиком функции. Из полученной точки пересечения перпендикуляра с графиком функции опустите перпендикуляр на ось ОУ. Основание построенного перпендикуляра будет соответствовать искомому значению функции.
5
Если функция задана таблицей, то каждому значению аргумента найдется соответствующее значение функции.

Совет 2: Как найти функцию графика

Еще в школьные годы подробно изучаются функции и строятся их графики. Но, к сожалению, читать график функции и находить ее тип по представленному чертежу практически не учат. В действительности это довольно просто, если помнить основные виды функций.
Инструкция
1
Если представленным графиком является прямая линия, которая проходит через начало координат и образует с осью ОX угол α (который является углом наклона прямой к положительной полуоси), то функция, описывающая такую прямую, будет представлена как y = kx. При этом коэффициент пропорциональности k равен тангенсу угла α.
2
Если заданная прямая проходит через вторую и четвертую координатные четверти, то k равен 0, и функция возрастает. Пусть представленный график является прямой линией, располагающейся любым образом относительно осей координат. Тогда функцией такого графика будет линейная, которая представлена видом y = kx + b, где переменные y и х стоят в первой степени, а b и k могут принимать как отрицательные, так и положительные значения или нулевое значение.
3
Если прямая параллельна прямой с графиком y = kx и отсекает на оси ординат b единиц, тогда уравнение имеет вид x = const, если график параллелен оси абсцисс, то k = 0.
4
Кривая линия, которая состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат и располагающихся в разных четвертях, называется гиперболой. Такой график показывает обратную зависимость переменной y от переменной x и описывается уравнением вида y = k/x, где k не должен быть равен нулю, так как является коэффициентом обратной пропорциональности. При этом, если значение k больше нуля, функция убывает; если же k меньше нуля – возрастает.
5
Если предложенным графиком является парабола, проходящая через начало координат, ее функция при выполнении условия, что b = с = 0, будет иметь вид y = ax2. Это самый простой случай квадратичной функции. График функции вида y = ax2 + bx + с будет иметь такой же вид, что и простейший случай, однако вершина параболы (точка, где график пересекается с осью ординат) будет находиться не в начале координат. В квадратичной функции, представленной видом y = ax2 + bx + с, значения величин a, b и c – постоянные, при этом a не равно нулю.
6
Параболой также может являться график степенной функции, выраженной уравнением вида y = xⁿ, только если n является любым четным числом. Если же значение n - нечетное число, такой график степенной функции будет представлен кубической параболой. В случае, если переменная n является любым отрицательным числом, уравнение функции приобретает вид гиперболы.
Видео по теме

Совет 3: Как построить логарифмическую функцию

Логарифмической называется функция, которая обратна показательной. Такая функция имеет вид: y = logax, в которой значение a – положительное число (не равное нулю). Внешний вид графика логарифмической функции зависит от значения a.
Вам понадобится
  • - математический справочник;
  • - линейка;
  • - простой карандаш;
  • - тетрадь;
  • - ручка.
Инструкция
1
Прежде чем приступить к построению графика логарифмической функции обратите внимание на то, что областью определения данной функции есть множество положительных чисел: эта величина обозначается R+. Вместе с тем, у логарифмической функции есть область значения, которая представлена действительными числами.
2
Внимательно изучите условия задания. Если а>1, то на графике изображают возрастающую логарифмическую функцию. Доказать такую особенность логарифмической функции несложно. Для примера, возьмите два произвольных положительных значения x1 и x2, причем, x2>x1. Докажите, что loga x2>loga x1 (сделать это можно методом от противного).
3
Предположите, что loga x2≤loga x1. Учитывая то, что показательная функция вида у=ах при значении а>1 возрастает, неравенство примет следующий вид: aloga x2≤aloga x1. По общеизвестному определению логарифма aloga x2=x2, в то время как aloga x1=x1. Ввиду этого, неравенство приобретает вид: x2≤x1, а это напрямую противоречит первоначальным допущениям, в согласии с которыми x2>x1. Таким образом, вы пришли к тому, что и требовалось доказать: при а>1 логарифмическая функция возрастает.
4
Изобразите график логарифмической функции. График функции y = logax будет проходить через точку (1;0). Если a>1, функция будет возрастающей. Следовательно, если 0
Обратите внимание
Если в задании логарифм будет обозначен lg x, не думайте, что авторы математического пособия допустили ошибку, пропустив букву «о»: перед вами десятичный логарифм.
Полезный совет
Для точности построения графика логарифмической функции рассчитайте, чем будет равен y при разных значениях x (0,5; 2; 4, 8). На основании этих данных поставьте точки и по ним постройте график.
Источники:
  • Определение и основные свойства логарифмической функции
  • график логарифмической функции

Совет 4: Как решить функцию f x

Термин решения функции как таковой в математике не используется. Под данной формулировкой следует понимать выполнение некоторых действий над заданной функцией с целью нахождения какой-то определенной характеристики, а также выяснение необходимых данных для построения графика функции.
Инструкция
1
Можно рассмотреть примерную схему, по которой целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график.
Найдите область определения функции. Определите, является ли функция четной и нечетной. В случае нахождения нужного ответа, продолжите исследование только на требуемой полуоси. Определите, является ли функция периодической. В случае положительного ответа продолжите исследование только на одном периоде. Найдите точки разрыва функции и определите ее поведение в окрестности этих точек.
2
Найдите точки пересечения графика функции с осями координат. Найдите асимптоты, если они есть. Исследуйте с помощью первой производной функцию на экстремумы и интервалы монотонности. Также проведите исследование с помощью второй производной на выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Выберите точки для уточнения поведения функции и вычислите в них значения функции. Постройте график функции, учитывая полученные результаты по всем проведенным исследованиям.
3
На оси 0Х следует выделить характерные точки: точки разрыва, х=0 , нули функции, точки экстремума, точки перегиба. В этих точках вычислите значения функции (если они существуют) и на плоскости 0xy отметьте соответствующие точки графика, а также точки, выбранные для уточнения. Линия, проведенная через все построенные точки с учетом интервалов монотонности, направлений выпуклости и асимптот, и даст эскиз графика функции.
4
Так, на конкретном примере функции y=((x^2)+1)/(x-1) проведите исследование с помощью первой производной. Перепишите функцию в виде y=x+1+2/(x-1). Первая производная будет равна y’=1-2/((x-1)^2).
Найдите критические точки первого рода: y’=0, (x-1)^2=2, в результате получатся две точки: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Отметьте полученные значения на области определения функции (рис. 1).
Определите знак производной на каждом из интервалов. На основе правила чередования знаков от «+» к «-» и от «-» к «+», получите, что точка максимума функции x1=1-sqrt2, а точка минимума x2=1+sqrt2. Этот же вывод можно сделать и по знаку второй производной.
Как решить функцию f x

Совет 5: Как решить дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка относится к простейшим дифференциальным уравнениям. Они наиболее легко поддаются исследованию и решению, а в конечном итоге их всегда можно проинтегрировать.
Инструкция
1
Решение дифференциального уравнения первого порядка рассмотрим на примере xy'=y. Вы видите, что оно содержит: х - независимую переменную; у - зависимую переменную, функцию; y' - первую производную функции.

Не пугайтесь, если в некоторых случаях в уравнении первого порядка не будет «х» или (и) «у». Главное, чтобы в дифференциальном уравнении обязательно была y' (первая производная), и отсутствовали y'', y'''(производные высших порядков).
2
Представьте производную в следующем виде: y'=dydx (формула знакома из школьной программы). Ваша производная должна выглядеть следующим образом: x*dydx=y, где dy, dx - дифференциалы.
3
Теперь разделите переменные. Например, в левой части оставьте только переменные содержащие y, а в правой - переменные содержащие x. У вас должно получиться следующее: dyy=dxx.
4
Проинтегрируйте полученное в предыдущих манипуляциях дифференциальное уравнение. Вот так: dyy=dxx
5
Теперь вычислите имеющиеся интегралы. В этом простом случае они табличные. Вы должны получить следующий результат: lny=lnx+C
Если ваш ответ отличается от представленного здесь, проверьте все записи. Где-то допущена ошибка и ее нужно исправить.
6
После того, как вычислены интегралы, уравнение можно считать решенным. Но полученный ответ представлен в неявном виде. На данном шаге вы получили общий интеграл. lny=lnx+C
Теперь представьте ответ в явном виде или, другими словами, найти общее решение. Перепишите полученный на предыдущем шаге ответ в следующем виде: lny=lnx+C, воспользуйтесь одним из свойств логарифмов: lna+lnb=lnab для правой части уравнения (lnx+C) и отсюда выразите у. Вы должны получить запись: lny=lnCx
7
Теперь уберите логарифмы и модули с обеих частей: y=Cx, С – cons
Вы имеете функцию, представленную в явном виде. Это и называется общим решением для дифференциального уравнения первого порядка xy'=y.
Видео по теме

Совет 6: Как задать функцию одной формулой

Математическая функция может быть задана одной формулой различными способами. Нижеприведенные приемы позволяют решить подобную задачу, опираясь, как на высшую математику, так и на более простой школьный курс.
Вам понадобится
  • - учебник по высшей математике;
  • - учебник по математике для средней школы;
  • - учебник по физике
Инструкция
1
Примите к сведению, что функцию можно задать в параметрическом виде, например, х=а*cos(f); y=a*sin(f), где f – параметр.
2
Учтите, что на разных участках числовой прямой функцию можно задать разными формулами. Такие функции называются кусочными. Участки числовой прямой, различающиеся формулами задания, называются составляющими области определения, их объединение является областью определения кусочных функций. Точки, делящие область определения на составляющие, называются граничными точками. Выражения, которые определяют кусочную функцию на каждой области определения, называются входящими функциями.
3
Также, в более простом рассмотрении, применимом для учащихся начального и среднего звена, можно задать функцию одной формулой, установив зависимость между значением аргумента и значением функции. Запишите формулу, устанавливающую зависимость между вышеуказанными значениями. Например, чтобы задать функцию формулой нахождения пути, если тело движется с постоянной скоростью V = 60 км/ч, необходимо записать следующее выражение S = 60 × t, где t – время движения, S – путь, V –скорость движения. Если обозначить V как y, то функция будет иметь вид y = 60 × t.
4
В старших классах школы можно привести такой пример задания функции одной формулой. Запишите функцию с помощью формулы для вычисления длины окружности. Рассмотрим случай, когда радиус принимает натуральные значения в промежутке от одного до десяти. Функция в данном случае задается формулой С = 2ПR, где R принадлежит промежутку от одного до десяти. R принадлежит множеству натуральных чисел, обозначающегося как N. R – радиус окружности, П – постоянная величина и приблизительно рана 3,14. Если значение С обозначить как у, то формула, задающая функцию будет выглядеть следующим образом: у = 2ПR.
5
Кроме того, не только математика, но и физика оперирует возможностью задания функции одной формулой. Пример: Выразить массу (m) как функцию, от объема куска гранита. Плотность гранита составляет 2600 кг/м³. Функция может быть задана формулой:m = V × Р, где Р – плотность гранита. Или, если величину m обозначить как у, формула будет иметь вид: у = V × Р.
Видео по теме
Видео по теме
Как решить проблему детских манипуляций
Связанная статья
Как решить проблему детских манипуляций
Источники:
  • как найти функцию от аргумента по таблице
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше