Совет 1: Как находить область определения функции

До того, как проводить какие-то преобразования уравнения функции, надо найти область определения функции, так как в ходе преобразований и упрощений может быть потеряна информация о допустимых значениях аргумента.
Функция - это соответствие, установленное между двумя переменными: x и y
Инструкция
1
Если в уравнении функции нет знаменателя, то ее областью определения будут все вещественные числа от минус бесконечности до плюс бесконечности. Например, y = x + 3, ее областью определения является вся числовая прямая.
2
Более сложным является случай, когда в уравнении функции есть знаменатель. Так как деление на ноль дает неопределенность значения функции, то аргументы функции, которые влекут за собой такое деление, исключают из области определения. Говорят, что в этих точках функция не определена. Чтобы определить такие значения x, надо приравнять знаменатель к нулю и решить получившееся уравнение. Тогда области определения функции будут принадлежать все значения аргумента, кроме тех, что обнуляют знаменатель.
Рассмотрим простой случай: y = 2/(x-3). Очевидно, что при x = 3, знаменатель равен нулю, а значит мы не можем определить y. Область определения этой функции, x - любое число, кроме 3.
3
Иногда в знаменателе содержится выражение, которое обращается в ноль в нескольких точках. Таковы, например, периодические тригонометрические функции. Например, y = 1 / sin x. Знаменатель sin x обращается в ноль при x = 0, π, -π, 2π, -2π и т.д. Таким образом, областью определения y = 1 / sin x, являются все x, кроме x = 2πn, где n - все целые числа.
Видео по теме

Совет 2 : Как находить область определения

Функцией называется соответствие, которое каждому числу x из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y. Множество значений x называется областью определения функции. Т.е. это множество всех допустимых значений аргумента (x), при которых функция y=f(x) определена (существует).
Функцией называется соответствие, которое каждому числу x из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y
Инструкция
1
Если в функции присутствует дробь, и знаменатель содержит переменную (х), то знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.к. иначе такая дробь не может существовать. Чтобы найти область определения такой дроби, нужно весь знаменатель приравнять к нулю. Решив полученное уравнение, вы найдёте те значения переменной, которые необходимо исключить из области определения.
2
Если есть корень чётной степени, очевидно, что подкоренное выражение может быть только положительным числом. Далее, решаем неравенство, в котором подкоренное выражение меньше нуля. Полученные значения исключаем из области определения нашей функции.
3
Если есть логарифм. Область определения логарифма все числа, которые больше нуля. Т.е. чтобы найти значения переменной, не входящие в область определения, нужно составить и решить неравенство, в котором выражение под логарифмом меньше нуля.
4
Если в функции есть обратные тригонометрические функции, такие как арксинус и арккосинус. Они определены, только на промежутке [-1;1]. Следовательно, нужно проверить, при каких значениях переменной выражение, стоящее под этими функциями, попадает в этот промежуток.
5
В функции могут присутствовать сразу несколько из перечисленных вариантов, в этом случае необходимо рассмотреть их все и областью определения функции будет комбинация из всех результатов.
Видео по теме

Совет 3 : Как найти множество значений

Когда мы имеем дело с функциями, нам приходится искать область определения функции и множество значений функции. В этом заключается важная составляющая общего алгоритма исследования функции перед построением графика.
Как найти множество значений
Инструкция
1
Для начала найдите область определения функции. Область определения включает в себя все допустимые аргументы функции, то есть такие аргументы, при которых функция имеет смысл. Ясно, что в знаменателе дроби не может быть нуля, под корнем не может быть отрицательного числа. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице. Выражение под логарифмом также должно быть положительным. Ограничения на область определения функции могут быть наложены и условием задачи.
2
Проанализируйте, как область определения функции влияет на множество значений, которые может принимать функция.
3
Множество значений линейной функции представляет собой множество всех действительных чисел (x принадлежит R), т.к. прямая, задаваемая линейным уравнением, бесконечна.
4
В случае квадратичной функции найдите значение вершины параболы (x0=-b/a, y0=y(x0). Если ветви параболы направлены вверх (a>0), то множеством значений функции будут все y>y0. Если ветви параболы направлены вниз (a<0), множество значений функции определится неравенством y
5
Множество значений кубической функции - множество действительных чисел (x принадлежит R). Вообще, множество значений любой функции с нечетным показателем степени (5, 7, ...) - это область действительных чисел.
6
Множество значений показательной функции (y=a^x, где a - положительное число) - все числа больше нуля.
7
Для нахождения множества значений дробно-линейной или дробно-рациональной функции необходимо найти уравнения горизонтальных асимптот. Найдите такие значения x, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Представьте себе, как будет выглядеть график. Постройте эскиз графика. На основании этого определите множество значений функции.
8
Множество значений тригонометрических функций синуса и косинуса строго ограничено. Синус и косинус по модулю не может превышать единицы. А вот значение тангенса и котангенса может быть любым.
9
Если в задаче требуется найти множество значений функции на заданном отрезке значений аргумента, рассмотрите функцию конкретно на этом отрезке.
10
При нахождении множества значений функции полезно бывает определить промежутки монотонности функции - возрастания и убывания. Это позволяет понять характер поведения функции.
Полезный совет
Построение графика функции (или хотя бы эскиза графика) поможет вам определить множество значений функции. Учитывайте тип функции, с которой вы имеете дело (логарифмическая, дробно-рациональная, тригонометрическая, линейная, квадратичная, и т.д.).
Источники:
  • как найти множество значений функции

Совет 4 : Как определить область определения функции

Все операции с функцией можно производить только в том множестве, где она определена. Поэтому при исследовании функции и построения ее графика первую роль играет нахождение области определения.
Как определить область определения функции
Инструкция
1
Для того чтобы найти область определения функции, нужно обнаружить «опасные зоны», то есть такие значения x, при которых функция не существует и затем исключить их из множества вещественных чисел. На что же стоит обратить внимание?
2
Если функция имеет вид y=g(x)/f(x), решите неравенство f(x)≠0, потому что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Например, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. То есть областью определения будет множество (-∞; 4)∪(4; +∞).
3
Когда при определении функции присутствует корень четной степени, решите неравенство, где значение под корнем будет больше или равно нуля. Корень четной степени может быть взят только из неотрицательного числа. Например, y=√(x−2), значит x−2≥0. Тогда областью определения является множество [2; +∞).
4
Если функция содержит логарифм, решите неравенство, где выражение под логарифмом должно быть больше нуля, потому что область определения логарифма только положительные числа. Например, y=lg(x+6), то есть x+6>0 и область определения будет (-6; +∞).
5
Стоит обратить внимание, если функция содержит тангенс или котангенс. Область определения функции tg(x) все числа, кроме x=Π/2+Π*n, ctg(x) – все числа, кроме x=Π*n, где n принимает целые значения. Например, y=tg(4*x), то есть 4*x≠Π/2+Π*n. Тогда область определения (-∞; Π/8+Π*n/4)∪(Π/8+Π*n/4; +∞).
6
Помните, что обратные тригонометрические функции - арксинус и арккосинус, определены на отрезке [-1; 1], то есть если y=arcsin(f(x)) или y=arccos(f(x)), нужно решить двойное неравенство -1≤f(x)≤1. Например, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Областью определения будет отрезок [-3; -1].
7
Наконец, если задана комбинация различных функций, то область определения представляет собой пересечение областей определения всех этих функций. Например, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Сначала найдите область определения всех слагаемых. Sin(2*x) определен на всей числовой прямой. Для функции x/√(x+2) решите неравенство x+2>0 и область определения будет (-2; +∞). Область определения функции arcsin(x−6) задается двойным неравенством -1≤x-6≤1, то есть получается отрезок [5; 7]. Для логарифма имеет место неравенство x−6>0, а это есть интервал (6; +∞). Таким образом, областью определения функции будет множество (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩[5; 7]∩(6; +∞), то есть (6; 7].
Видео по теме
Источники:
  • область определения функции с логарифмом

Совет 5 : Как определить область значения функции

Функция — это понятие, отражающее связь между элементами множеств или другими словами это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
Как определить область значения функции
Вам понадобится
  • Знания по математическому анализу.
Инструкция
1
Область значений функции напрямую зависит от ее области определения. Допустим область определения функции f(x) = sin(x) варьируется на отрезке от 0 до П. Во-первых найдем точки экстремума функции и значение функции в них.
2
Экстремумом в математике называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Чтобы найти экстремум, найдем производную функции f(x), при равняем ее к нулю и решим полученное уравнение. Решения этого уравнения укажут на экстремальные точки функции. Производная функции f(x) = sin(x) равна: f'(x) = cos(x). Приравняем к нулю и решим: cos(x) = 0; значит x = П/2 + Пn. Получили целое множество экстремальнычх точек из них выберем те, которые принадлежат отрезку [0; П]. Подходит только одна точка: x=П/2. Значение функции f(x) = sin(x) в этой точке равно 1.
3
Найдем значение функции на концах отрезка. Для этого подставим в в функцию f(x) = sin(x) значения 0 и П. Получим, что f(0)=0 и f(П)=0. Значит, минимальное значение функции на отрезке равно 0, а максимальное 1. Таким образом областью значений функции f(x) = sin(x) на отрезке [0; П] является отрезок [0;1].
Видео по теме
Обратите внимание
При поиске экстремальных точек могут появится точки, которые не являются таковыми. Это легко проверить: если при прохождении через точку производная сменит свой знак, значит точка экстремальная, если нет, то искать значение в такой точке нет необходимости - она не экстремальная.
Полезный совет
Если область определения не задана, значит она меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, а значит поиск значения функции на концах отрезка сводится к описку предела этой функции от минус и плюс бесконечности соответственно.

Совет 6 : Как определить область значений

Решать функции в повседневной жизни приходится не часто, но когда сталкиваешься с такой необходимостью, быстро сориентироваться бывает сложно. Начните с определения области значений.
Как определить область значений
Инструкция
1
Вспомните, что функция - это такая зависимость переменной Y от переменной Х, при которой каждому значению переменной X соответствует единственное значение переменной Y.

Переменная X является независимой переменной или аргументом. Переменная Y - зависимая переменная. Считается также, что переменная Y является функцией от переменной X. Значения функции равны значениям зависимой переменной.
2
Для наглядности записывайте выражения. Если зависимость переменной Y от переменной X является функцией, то сокращенно это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначьте значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
3
Областью определения функции f(x) называется «множество всех действительных значений независимой переменной х, при которых функция определена (имеет смысл)». Обозначьте: D(f) (англ. Define – определять.)

Пример:
Функция f(x) = 1x+1 определена для всех действительных значений x, удовлетворяющих условию х+1 ≠ 0,т.е. х≠-1. Поэтому D(f) = (-∞;-1)U(-1;∞).
4
Областью значений функции y=f(x) называется «множество всех действительных значений, которые занимает независимая переменная y». Обозначение: E(f) (англ. Exist – существовать).

Пример:
Y=x2 -2x+10; так как x2 -2x +10 = x2 -2x +1+9+(x-1)2 +9, то наименьшее значение переменной у=9 при х=1,поэтому E(y) =[9;∞)
5
Все значения независимой переменной отображают собой область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, отражают область значений функции.
6
Область значений функции полностью зависит от ее области определения. В том случае, если область определения не задана, значит, она меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, тем самым, поиск значения функции на концах отрезка сводится к описку предела этой функции от минус и плюс бесконечности. Соответственно, если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считается, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
7
Для нахождения множества значений функций надо знать основные свойства элементарных функций: область определения, область значения, монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность, нечетность, периодичность и т.д.

Совет 7 : Область определения функции: как ее найти

Необходимость найти область определения функции возникает при решении любой задачи на исследование ее свойств и построение графика. Только на этом множестве значений аргумента имеет смысл производить вычисления.
Как найти область определения функции
Инструкция
1
Нaйти область определения – это первое, что следует делать при работе с функциями. Это множество чисел, которому принадлежит аргумент функции, с наложением некоторых ограничений, вытекающих из использования в ее выражении определенных математических конструкций, например, квадратного корня, дроби, логарифма и т.д.
2
Как правило, все эти структуры можно отнести к шести основных видам и их всевозможным комбинациям. Нужно решить одно или несколько неравенств, чтобы определить точки, в которых функция не может существовать.
3
Степенная функция с показателем степени в виде дроби с четным знаменателемЭто функция вида u^(m/n). Очевидно, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, следовательно, нужно решить неравенство u≥0.Пример 1: у=√(2•х - 10).Решение: составьте неравенство 2•х – 10 ≥ 0 → х ≥ 5. Область определения - интервал [5; +∞). При х
4
Логарифмическая функция вида log_a (u)В данном случае неравенство будет строгим u>0, поскольку выражение под знаком логарифма не может быть меньше нуля.Пример 2: у=log_3 (х - 9).Решение: х – 9 > 0 → х > 9 → (9; +∞).
5
Дробь вида u(х)/v(х)Очевидно, что знаменатель дроби не может обращаться в ноль, значит, критические точки можно найти из равенства v(х) = 0.Пример 3: у = 3•х² – 3/(х³ + 8).Решение: х³ + 8 = 0 → х³ = -8 → х=-2 → (-∞; -2)U(-2; +∞).
6
Тригонометрические функции tg u и ctg uНайдите ограничения из неравенства вида х ≠ π/2 + π•k.Пример 4: у = tg (х/2).Решение: х/2 ≠ π/2 + π•k → х ≠ π•(1 + 2•k).
7
Тригонометрические функции arcsin u и arcсos uРешите двустороннее неравенство -1 ≤ u ≤ 1.Пример 5: у = arcsin 4•х.Решение: -1 ≤ 4•х ≤ 1 → -1/4 ≤ х ≤ 1/4.
8
Показательно-степенные функции вида u(х)^v(х)Область определения имеет ограничение в виде u>0.Пример 6: у = (х³ + 125)^sinх.Решение: х³ + 125 >0 → х > -5 → (-5; +∞).
9
Присутствие в функции сразу двух или более из приведенных выражений предполагает наложение более строгих ограничений, учитывающих все составляющие. Находить их нужно по отдельности, а затем объединить в один интервал.

Совет 8 : Как найти область определения и область значения функции

Чтобы найти область определения и значения функции f, нужно определить два множества. Одно из них является совокупностью всех значений аргумента x, а другое состоит из соответствующих им объектов f(x).
Как найти область определения и область значения функции
Инструкция
1
На первом этапе любого алгоритма исследования математической функции следует найти область определения. Если этого не сделать, то все расчеты будут бесполезной тратой времени, поскольку на ее основе формируется область значений. Функция – это определенный закон, по которому элементы первого множества ставятся в соответствие другому.
2
Чтобы найти область определения функции, нужно рассмотреть ее выражение с точки зрения возможных ограничений. Это может быть присутствие дроби, логарифма, арифметического корня, степенной функции и т.д. Если таких элементов несколько, то для каждого из них составьте и решите свое неравенство, чтобы выявить критические точки. Если ни одного ограничения нет, то область определения представляет собой все числовое пространство (-∞; ∞).
3
Бывает шесть видов ограничений:

Степенная функция вида f^(k/n), где знаменатель степени – четное число. Выражение, стоящее под корнем, не может быть меньше нуля, следовательно, неравенство выглядит так: f ≥ 0.

Функция логарифма. По свойству выражение, стоящее под его знаком, может быть только строго положительным: f > 0.

Дробь f/g, где g – тоже функция. Очевидно, что g ≠ 0.

tg и ctg: x ≠ π/2 + π•k, поскольку в этих точках эти тригонометрические функции не существуют (cos или sin, стоящие в знаменателе, обращаются в ноль).

arcsin и arccos: -1 ≤ f ≤ 1. Ограничение накладывается областью значений этих функций.

Степенная функция со степенью в виде другой функции того же аргумента: f^g. Ограничение представляется в виде неравенства f>0.
4
Чтобы найти область значения функции, подставьте в ее выражение все точки из области определения путем перебора одного за другим. Существует понятие множества значений функции на интервале. Эти два термина следует различать, за исключением случая, когда заданный интервал совпадает с областью определения. В противном случае это множество является подмножеством области значений.
Обратите внимание
Область допустимых значений функции - это область ее определения, не путайте этот термин с областью значений.
Источники:
  • как найти область определения функции с логарифмом

Совет 9 : Как найти область определения функции

Чтобы найти область определения функции, нужно вычислить границы одного или нескольких интервалов, содержащих точки, в которых она имеет смысл. Это первое действие при решении задач на математический анализ поведения функций.
Как найти область определения функции
Инструкция
1
Задание любой функции – это указание правила, по которому связаны друг с другом элементы двух множеств. Первое называется областью определения функции. Это такие допустимые значения ее аргумента, которые соответствуют определенным элементам второго множества, области значений функции.
2
Считается, что функция задана, если известны оба этих множества. Иногда областью определения является бесконечный интервал (-∞; +∞), но в большинстве случае присутствуют некоторые ограничения, которые накладываются составляющими элементами выражения функции. Например, в ней могут присутствовать такие математические понятия, как корень, степень, логарифмическая или тригонометрическая подфункция и пр.
3
Алгоритм нахождения области определения функции состоит из трех этапов: определение типа или типов ограничений, составление и решение соответствующих неравенств, запись интервала или интервалов допустимых значений аргумента.
4
Существует шесть типов подфункций, присутствие которых в основном выражении может наложить ограничение на область ее определения. Это подкоренное выражение, степенная функция, логарифм, выражение под чертой дроби и некоторые тригонометрические функции.
5
Запишите неравенства согласно выявленным ограничениям:- функция под знаком корня, т.е. в дробной степени с четным числом в знаменателе: f(х) ≥ 0;- функция в степени показателя другой функции того же аргумента: f(х) > 0;- логарифм log_а f(х): f(х) > 0;- отношение двух функций f(х)/g(х): g(х) ≠ 0;- tg f(х) и сtg f(х): f(х) ≠ π•k + π/2;- аrсsin f(х) и arccos f(х): -1 ≤ f(х) ≤ 1.
6
Решите неравенства и запишите интервал, закрытый или открытый в зависимости от того, являются ли его границы выколотыми точками или принадлежат области определения. Об этом говорят обозначения: квадратная скобка означает вхождение в интервал, а круглая - исключение. Например, если область задана интервалом (1; 3], то для ее элементов выполняется двойное неравенство 1
Видео по теме

Совет 10 : Как находить область определения и значения

Первое, что приходится делать при работе с любой функцией одной или нескольких переменных – это находить ее область определения и множество значений. Выполнение данной процедуры займет у вас не более 10 минут.
Как находить область определения и значения
Инструкция
1
Вспомните определение области определения функции и ее множества значений. Область определения функции – это фактически множество всех значений аргумента функции (или аргументов, если это функция от нескольких переменных), при которых она существует. Множество значений же – это множество возможных значений самой функции («игреков»).
2
Внимательно всмотритесь в вид функциональной зависимости, отраженной в вашей функции. Обратите внимание на то, какие математические ограничения наложены на независимую переменную вашей функции. Аргумент может быть под корнем, и это значит, что он должен быть только положительным; он может быть под знаком логарифма, что тоже указывает на его положительность, или, например, он может быть в знаменателе какой-нибудь дроби, тогда можно заключить, что он не должен быть равен нулю.
3
Выпишите отдельно выражение (равенство или неравенство), отражающее ограничения, наложенные на аргумент вашей функции. Например, «икс» не равен нулю или больше нуля. Это выражение может включать целый многочлен некоторой степени, содержащий переменную функции, или представлять собой некоторое трансцендентное соотношение. Решив записанное уравнение или неравенство, вы найдете те значения, которые позволительно принимать «иксу», то есть область определения.
4
Подставьте краевые возможные значения аргумента в вашу функцию, чтобы найти, какое множество значений функции соответствует множеству возможных значений ее аргумента. К примеру, если аргумент должен быть больше либо равен нулю, то вам необходимо подставить нулевое значение, а также понять, как (в какую сторону – положительную или отрицательную) будет меняться значение функции при нарастании или убывании ее переменной. Те значения, которые получаются при смене аргумента в области ее определения, и будут составлять множество значений функции.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500