Совет 1: Как находить интеграл

Понятие интеграла напрямую связано с понятием первообразной функции. Иными словами, чтобы найти интеграл указанной функции, нужно найти такую функцию, по отношению к которой исходная будет производной.
Инструкция
1
Интеграл относится к понятиям математического анализа и графически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной на оси абсцисс предельными точками интегрирования. Находить интеграл функции значительно сложнее, чем искать ее производную.
2
Существует несколько методов вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, введение под знак дифференциала, метод подстановки, интегрирование по частям, подстановка Вейерштрасса, теорема Ньютона-Лейбница и др.
3
Непосредственное интегрирование предполагает приведение с помощью простых преобразований исходного интеграла к табличному значению. Например:∫dy/(sin²y·cos²y) = ∫(cos²y + sin²y)/(sin²y·cos²y)dy = ∫dy/sin²y + ∫dy/cos²y = -ctgy + tgy + C.
4
Метод введения под знак дифференциала или замена переменной представляет собой постановку новой переменной. При этом исходный интеграл сводится к новому интегралу, который можно преобразовать к табличному виду методом непосредственного интегрирования:Пусть есть интеграл ∫f(y)dy = F(y) + C и некоторая переменная v = g(y), тогда:∫f(y)dy -> ∫f(v)dv = F(v) + C.
5
Следует запомнить некоторые простейшие подстановки для облегчения работы с этим методом:dy = d(y + b);ydy = 1/2·d(y² + b);sinydy = - d(cosy);cosydy = d(siny).
6
Пример:∫dy/(1 + 4·y²) = ∫dy/(1 + (2·y) ²) = [dy -> d(2·y)] = 1/2·∫d(2·y)/(1 + (2·y) ²) = 1/2·arctg2·y + C.
7
Интегрирование по частям производится по следующей формуле:∫udv = u·v - ∫vdu.Пример:∫y·sinydy = [u = y; v = siny] = y·(-cosy) – ∫(-cosy)dy = -y·cosy + siny + C.
8
Определенный интеграл в большинстве случаев находится по теореме Ньютона-Лейбница:∫f(y)dy на интервале [a; b] равен F(b) – F(a).Пример: Найдите ∫y·sinydy на интервале [0; 2π]:∫y·sinydy = [u = y; v = siny] = y·(-cosy) – ∫(-cosy)dy = (-2π·cos2π + sin2π) – (-0·cos0 + sin0) = -2π.

Совет 2: Как вычислить интеграл функции

Интегральное исчисление является частью математического анализа, основные понятия которого – первообразная функция и интеграл, его свойства и методы вычисления. Геометрический смысл этих расчетов – нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной пределами интегрирования.
Инструкция
1
Как правило, вычисление интеграла сводится к тому, чтобы привести подынтегральное выражение к табличному виду. Существует множество табличных интегралов, которое облегчает решение таких задач.
2
Есть несколько способов привести интеграл к удобному виду: непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, метод подстановки, введение под знак дифференциала, подстановка Вейерштрасса и др.
3
Метод непосредственного интегрирования – это последовательное приведение интеграла к табличному виду с помощью элементарных преобразований:∫соs² (х/2)dх = 1/2•∫(1 + соs х)dх = 1/2•∫dх + 1/2•∫соs xdх = 1/2•(х + sin х) + С, где C – константа.
4
Интеграл имеет множество возможных значений исходя из свойства первообразной, а именно наличия суммируемой константы. Таким образом, найденное в примере решение является общим. Частным решением интеграла называется общее при определенном значении постоянной, например, С=0.
5
Интегрирование по частям применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций. Формула метода:∫udv = u•v - ∫vdu.
6
Поскольку позиции множителей в произведения значения не имеют, то в качестве функции u лучше выбрать ту часть выражения, которая после дифференцирования упрощается. Пример:∫x·ln xdx = [u=ln x; v=x; dv=xdx] = x²/2·ln x – ∫x²/2·dx/x = x²/2·ln x – x²/4 + C.
7
Введение новой переменной – это прием метода подстановки. При этом меняется и сама подынтегральная функции, и ее аргумент:∫x·√(x - 2)dx = [t=x-2 → x = t²+2 → dx=2·tdt] = ∫(t² + 2)·t·2·tdt = ∫(2·t^4 + 4·t²)dt = 2·t^5/5 + 4·t³/3 + C = [x=t²+2] = 2/5·(x - 2)^(5/2) + 4/3·(x - 2)^(3/2) + C.
8
Метод введения под знак дифференциала предполагает переход к новой функции. Пусть ∫f(x) = F(x) + C и u = g(x), тогда ∫f(u)du = F(u) + C [g’(x) = dg(x)]. Пример:∫(2·x + 3)²dx = [dx = 1/2·d(2·x + 3)] = 1/2·∫(2·x + 3)²d(2·x + 3) = 1/6·(2·x + 3)³ + C.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500