Совет 1: Как решить задачи с косинусами

Чаще всего задачи с косинусами нужно решать в геометрии. Если это понятие используется в других науках, например, в физике, то применяются геометрические методы. Обычно применяется теорема косинусов или соотношения в прямоугольном треугольнике.
Как решить задачи с косинусами
Вам понадобится
  • - знание теоремы Пифагора, теоремы косинусов;
  • - тригонометрические тождества;
  • - калькулятор или таблицы Брадиса.
Инструкция
1
С помощью косинуса можно найти любую из сторон прямоугольного треугольника. Для этого используйте математическое соотношение, в котором говориться, что косинусом острого угла треугольника является отношение прилежащего катета к гипотенузе. Поэтому, зная острый угол прямоугольного треугольника, найдите его стороны.
2
Например, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а острый угол при ней 60º. Найдите прилежащий к острому углу катет. Для этого воспользуйтесь определением косинуса cos(α)= b/a, где a – гипотенуза прямоугольного треугольника, b – катет, прилегающий к углу α. Тогда его длина будет равна b=a∙cos(α). Подставьте значения b=5∙cos(60º)= 5∙0,5=2,5 см.
3
Третью сторону с, которая является вторым катетом, найдите, воспользовавшись теоремой Пифагора c=√(5²-2,5²)≈4,33 см.
4
С помощью теоремы косинусов можно находить стороны треугольников, если известно две стороны и угол между ними. Для того чтобы найти третью сторону, найдите сумму квадратов двух известных сторон, отнимите от нее их удвоенное произведение, умноженное на косинус угла между ними. Из полученного результата извлеките квадратный корень.
5
Пример В треугольнике две стороны равны a=12 см, b=9 см. Угол между ними составляет 45º. Найдите третью сторону c. Для нахождения третьей стороны примените теорему косинусов c=√(a²+b²-a∙b∙cos(α)). Произведя подстановку получите, c=√(12²+9²-12∙9∙cos(45º))≈12,2 см.
6
При решении задач с косинусами, используйте тождества, позволяющие прейти от этой тригонометрической функции к другим, и наоборот. Основное тригонометрическое тождество: cos²(α)+sin²(α)=1; соотношение с тангенсом и котангенсом: tg(α)=sin(α)/cos(α), ctg(α)=cos(α)/sin(α) и т.д. Для нахождения значения косинусов углов используйте специальный калькулятор или таблицу Брадиса.
Источники:
  • Ответы по алгебре егэ 2013

Совет 2 : Как найти синус треугольника

Прямоугольным треугольником считается треугольник, у которого один из углов прямой. Для подсчета синуса его острых углов, а также прямого угла, достаточно обладать данными о его сторонах.
Прямоугольный треугольник ABC  с прямым углом А
Вам понадобится
  • Размеры сторон прямоугольного треугольника.
Инструкция
1
Отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника называется синусом острого угла прямоугольного треугольника:
Sin A = ABBC
Sin B = ACCBСинус 90 градусов равен 1.
2
Для того, чтобы подсчитать синус того или иного угла, можно воспользоваться таблицей синусов. Она представляет собой сводную таблицу из значений углов от 0 до 360 градусов и соответствующие им размеры углов.
Таблица синусов всех возможных углов.
Видео по теме

Совет 3 : Как найти косинус угла прямоугольного треугольника

Косинус - это одна из двух тригонометрических функций, отнесенных к группе «прямых». Одно из простейших определений таких функций очень давно было выведено из соотношений длин сторон и величин углов в вершинах прямоугольного треугольника. Вычисление значения косинуса острого угла такого треугольника по этим базовым определениям возможно несколькими способами, выбор которых зависит от известных исходных данных.
Как найти косинус угла прямоугольного треугольника
Инструкция
1
Если известна величина интересующего вас острого угла, то вычисление сведется к нахождению значения косинуса с помощью любого калькулятора или онлайн-вычислителя. Если вы выберите калькулятор, то используйте, например, встроенную в ОС Windows программу этого рода. Она запускается через главное меню на кнопке «Пуск», в котором ссылка «Калькулятор» помещена в подраздел «Служебные» раздела «Стандартные», открываемого выбором в меню пункта «Все программы».
2
Если известна величина не того угла, косинус которого требуется вычислить, а угла, примыкающего к противоположному концу гипотенузы, то исходите из того, что в евклидовой геометрии сумма всех углов треугольника всегда равна 180°. Используя эту классическую теорему вычислите нужный угол - отнимите от 180° известный угол и угол прямой (90°). После этого исходные данные и метод вычисления совпадут с теми, что описаны в предыдущем шаге.
3
Если величины острых углов прямоугольного треугольника неизвестны, но есть данные о длинах его сторон, то для нахождения значения косинуса нужного угла задействуйте базовое определение этой тригонометрической функции. Оно утверждает, что косинус острого угла равен соотношению длин катета и гипотенузы, образующих этот угол.
4
Если длина именно того катета, который прилегает к нужному углу, неизвестна, то ее можно рассчитать, исходя из теоремы Пифагора, а затем прибегнуть к методу, описанному в предыдущем шаге. Как вы наверняка помните, эта теорема утверждает, что сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника всегда равна квадрату длины его гипотенузы. Поэтому для вычисления длины недостающей стороны найдите квадратный корень из разности между квадратами длин гипотенузы и известного катета, а затем действуйте так, как описано в предыдущем шаге.
5
Если неизвестна длина гипотенузы, то используйте ту же самую теорему - найдите значение квадратного корня из суммы возведенных в квадрат длин катетов и возвращайтесь к методу, описанному в третьем шаге.
Видео по теме

Совет 4 : Как найти синус острого угла

В математике существует несколько разных подходов, с помощью которых даются определения каждой из тригонометрических функций - через решение дифференциальных уравнений, через ряды, решение функциональных уравнений. Есть и два варианта геометрических трактовок таких функций, один из которых определяет их через соотношения сторон и острых углов в прямоугольном треугольнике.
Как найти синус острого угла
Инструкция
1
Используйте базовое определение синуса острого угла в треугольнике, если из условий известно, что это прямоугольный треугольник, а также даны длины его гипотенузы (С) и того катета (А), который лежит напротив нужного угла (?). Согласно определению, синус этого угла должен быть равен соотношению длины известного катета к длине гипотенузы: sin(?)=А/С.
2
Если треугольник является прямоугольным, длина его гипотенузы известна (С), но и из катетов есть только длина (В) прилежащего тому углу (?), синус которого надо вычислить, то в дополнение к определению из предыдущего шага можно задействовать еще и теорему Пифагора. Из нее вытекает, что длина неизвестного катета равна квадратному корню из разности возведенных в квадрат длин гипотенузы и другого катета. Подставьте это выражение в полученную выше формулу: sin(?)=v(С?-В?)/С.
3
Используйте теорему Пифагора и в том случае, если в прямоугольном треугольнике известны только длины обоих катетов (А и В). Длина гипотенузы, согласно теореме, равна квадратному корню из суммы квадратов длин катетов. Замените этим выражением длину гипотенузы в формуле из первого шага: sin(?)=А/v(А?+В?).
4
Если длины сторон прямоугольного треугольника неизвестны, но дана величина одного из его острых углов (?), то вычислить синус другого острого угла (?) можно с использованием таблиц тригонометрических функций или калькулятора. Исходите из теоремы о сумме углов треугольника в евклидовой геометрии - она утверждает, что эта сумма всегда должна быть равна 180°. Так как в прямоугольном треугольнике один из углов по определению равен 90°, а другой дан в условиях задачи, то величина нужного угла будет равна 180°-90°- ?. Значит вам останется только вычислить значение синуса угла: sin(90°-?).
5
Для вычисления значения синуса при известной величине угла воспользуйтесь, например, калькулятором, встроенным в операционную систему вашего компьютера. Если это ОС Windows, то запустить такое приложение можно, нажав сочетание клавиш Ctrl + R, введя команду calc, а затем кликнув кнопку ОК. Для доступа к тригонометрическим функциям в калькуляторе переключите его в «инженерный» или «научный» режим - соответствующий пункт есть в разделе «Вид» меню этой программы.
Видео по теме

Совет 5 : Как вычислить косинус

Косинусом называют тригонометрическую функцию угла. Она определяется геометрически при помощи единичной окружности или как результат соотношения сторон прямоугольного треугольника. Вычислить косинус можно также через другие тригонометрические функции, при помощи калькулятора или таблиц Брадиса.
Как вычислить косинус
Вам понадобится
  • - калькулятор;
  • - таблицы Брадиса;
  • - понятие теоремы Пифагора;
  • - тригонометрические тождества;
  • - линейка.
Инструкция
1
Измерьте или посчитайте угол, косинус которого нужно вычислить. Переключите инженерный калькулятор на вычисления в градусах, наберите это значение на его экране и нажатием кнопки вычислите косинус. Если такого калькулятора нет, найдите значение угла в соответствующем разделе таблиц Брадиса и найдите его косинус.
2
Вычислите косинус угла, который представляет собой поворот радиуса окружности с центром в начале координат относительно оси абсцисс. Для этого найдите абсциссу точки пересечения радиуса, ограничивающего угол с окружностью, которая и будет равна косинусу данного угла. Если окружность не единичная, поделите полученную абсциссу на значение радиуса.
3
Найдите значение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Определите, какие из его сторон являются катетами (угол между ними равен 90˚). Третья сторона будет гипотенузой. Чтобы найти косинус острого угла, измерьте длину прилежащего к нему катета и длину гипотенузы, используя для этого линейку, или найдите неизвестную сторону по двум известным, используя теорему Пифагора. Косинус острого угла будет равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Например, если длина прилежащего катета равна 5 см, а длина гипотенузы составляет 10 см, то косинус этого угла равен 5/10=0,5. Это косинус угла 60º.
4
Определите косинус угла по его значениям для других тригонометрический функций. Если известен синус угла α то его косинус посчитайте, отняв от числа 1 квадрат синуса, а из полученного результата извлеките квадратный корень cos(α)=√(1-sin²(α)). Например, если синус угла равен 0,6, то используя известную формулу, получите cos(α)=√(1-0,6²)=√(1-0,36)= √0,64=0,8.
5
Вычислите косинус при известном тангенсе угла. Для этого число 1 поделите на сумму 1 и квадрата тангенса, а из полученного результата извлеките квадратный корень: cos(α)=√(1/(1+tg²(α))). Например, если тангенс угла равен 1, то его косинус cos(α)=√(1/(1+1²))=1/√2.
Видео по теме
Обратите внимание
Во всех расчетах учитывайте, что значение косинуса угла должно находиться в промежутке от -1 до 1. Если результат не входит в него, расчет неверен.

Совет 6 : Как найти тангенс угла в треугольнике

Тангенс угла, как и другие тригонометрические функции, выражает зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Применение тригонометрических функций позволяет заменить в расчетах величины в градусном измерении на линейные параметры.
Как найти тангенс угла в треугольнике
Инструкция
1
При наличии транспортира заданный угол треугольника можно измерить и по таблице Брадиса найти значение тангенса. Если нет возможности определить градусную величину угла, определите его тангенс с помощью замеров линейных величин фигуры. Для этого сделайте вспомогательные построения: из произвольной точки на одной из сторон угла опустите перпендикуляр на другую сторону. Измерьте расстояние между концами перпендикуляра на сторонах угла, запишите результат измерения в числитель дроби. Теперь измерьте расстояние от вершины заданного угла до вершины прямого угла, т. е. до точки на стороне угла, в которую был опущен перпендикуляр. Полученное число запишите в знаменатель дроби. Составленная по результатам измерений дробь равна тангенсу угла.
2
Тангенс угла можно определить расчетным путем как отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Также можно вычислить тангенс через прямые тригонометрические функции рассматриваемого угла — синус и косинус. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу. В отличие от непрерывных функций синуса и косинуса, тангенс имеет разрыв и не определен при величине угла 90 градусов. При нулевом значении угла его тангенс равен нулю. Из соотношений прямоугольного треугольника очевидно, что угол 45 градусов имеет тангенс, равный единице, поскольку катеты такого прямоугольного треугольника равны.
3
При значениях угла от 0 до 90 градусов его тангенс имеет положительное значение, поскольку синус и косинус в этом интервале положительны. Пределы изменения тангенса на этом участке - от нуля до бесконечно больших значений при углах, близких к прямому. При отрицательных значениях угла его тангенс также меняет знак. График функции Y=tg(x) на интервале -90°
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500