Совет 1: Как решить задачи с косинусами

Чаще всего задачи с косинусами нужно решать в геометрии. Если это понятие используется в других науках, например, в физике, то применяются геометрические методы. Обычно применяется теорема косинусов или соотношения в прямоугольном треугольнике.
Вам понадобится
  • - знание теоремы Пифагора, теоремы косинусов;
  • - тригонометрические тождества;
  • - калькулятор или таблицы Брадиса.
Инструкция
1
С помощью косинуса можно найти любую из сторон прямоугольного треугольника. Для этого используйте математическое соотношение, в котором говориться, что косинусом острого угла треугольника является отношение прилежащего катета к гипотенузе. Поэтому, зная острый угол прямоугольного треугольника, найдите его стороны.
2
Например, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а острый угол при ней 60º. Найдите прилежащий к острому углу катет. Для этого воспользуйтесь определением косинуса cos(α)= b/a, где a – гипотенуза прямоугольного треугольника, b – катет, прилегающий к углу α. Тогда его длина будет равна b=a∙cos(α). Подставьте значения b=5∙cos(60º)= 5∙0,5=2,5 см.
3
Третью сторону с, которая является вторым катетом, найдите, воспользовавшись теоремой Пифагора c=√(5²-2,5²)≈4,33 см.
4
С помощью теоремы косинусов можно находить стороны треугольников, если известно две стороны и угол между ними. Для того чтобы найти третью сторону, найдите сумму квадратов двух известных сторон, отнимите от нее их удвоенное произведение, умноженное на косинус угла между ними. Из полученного результата извлеките квадратный корень.
5
Пример В треугольнике две стороны равны a=12 см, b=9 см. Угол между ними составляет 45º. Найдите третью сторону c. Для нахождения третьей стороны примените теорему косинусов c=√(a²+b²-a∙b∙cos(α)). Произведя подстановку получите, c=√(12²+9²-12∙9∙cos(45º))≈12,2 см.
6
При решении задач с косинусами, используйте тождества, позволяющие прейти от этой тригонометрической функции к другим, и наоборот. Основное тригонометрическое тождество: cos²(α)+sin²(α)=1; соотношение с тангенсом и котангенсом: tg(α)=sin(α)/cos(α), ctg(α)=cos(α)/sin(α) и т.д. Для нахождения значения косинусов углов используйте специальный калькулятор или таблицу Брадиса.

Совет 2: Как находить косинус в треугольнике

Нередко в геометрических (тригонометрических) задачах требуется найти косинус угла в треугольнике, потому что косинус угла позволяет однозначно определить величину самого угла.
Инструкция
1
Чтобы найти косинус угла в треугольнике, длины сторон которого известны, можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны произвольного треугольника равняется сумме квадратов двух его других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними:

а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:

а, b, с – стороны треугольника (точнее их длины),

? – угол, противоположный стороне а (его величина).

Из приведенного равенства легко находится соs?:

соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)

Пример 1.

Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.

Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.

Решение:

По условию задачи имеем:

а=3,

b=4,

с=5.

Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8

Ответ: 0,8.
2
Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинуса угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.

Рассмотрим все варианты:

Пример 2.

Найти соs?, если известны длины сторон а и b (катеты треугольника)

Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:

c?=b?+а?,

с=v(b?+а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)

Чтобы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.

а=3,

b=4.

Проделав элементарные вычисления, получаем:

соs?=0,8.
3
Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:

Пример 3.

Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?

b?=с?-а?,

b=v(c?-а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:

соs?=0,8.
4
Пример 4.

Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).

Найти соs?

Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:

соs?=b/с.

Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, поэтому его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.

Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:

соs?=0,8

Значит, все наши формулы верны.

Совет 3: Как решать задачи по геометрии на треугольники

Треугольник – одна из основных фигур геометрии, обладающая шестью основными элементами (три внутренних угла A, B, C и три соответственно противоположные им стороны). Решение сложных математических задач сводится к решению нескольких простых, хотя бы одна из которых будет задачей на треугольники.
Инструкция
1
Усвойте основные теоремы геометрии. Без знания признаков равенства и подобия треугольников вообще невозможно научиться решать геометрические задачи. Повторяйте их регулярно по школьному учебнику.
2
Для решения каждой задачи делайте небольшой чертеж, чтобы зрительно представить ситуацию. На нем подпишите длины сторон, величины углов. Вчитайтесь в текст задания и запишите условие.
3
Помните, что стороны треугольника связаны соотношением (три «неравенства треугольника»): a
4
Для успешного решения геометрических задач полезно и необходимо знать некоторые теоремы и следствия из них. К ним относятся: теорема косинусов (с^2=a^2+b^2-2abcos c – для остроугольного треугольника, с^2=a^2+b^2+2abcos c – если угол С тупой), теорема синусов, которая утверждает, что длины сторон любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, теорема тангенсов.
5
Знайте о четырех замечательных точках и линиях треугольника и их свойствах. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центром массы тонкой треугольной пластины. Каждая медиана делится точкой в отношении 2:1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной около треугольника окружности. Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.
6
Не забывайте основные соотношения между элементами в прямоугольном треугольнике, теорему Пифагора, которая будет вашим главным помощником в решении задач. Встречаются задачи на вычисление площади треугольника по формуле. Выпишите формулы на отдельный лист бумаги, и вы сразу сориентируетесь какую именно нужно применить.

Совет 4: Как решить задачу по алгебре

Алгебра - это раздел математики, направленный на изучение операций над элементами произвольного множества, который обобщает обычные операции по сложению и умножению чисел.
Вам понадобится
  • - условие задачи;
  • - формулы.
Инструкция
1
Элементарная алгебра

Изучает свойства операций с вещественными числами, правила преобразования математических выражений и уравнений. Именно элементарную алгебру преподают в школах. Для решения задачи требуются следующие знания:

Правила записи символов элементов и операций, например, наличие скобок в выражении указывает на приоритетность заключенного в них действия.

Свойства операций (при перестановке мест слагаемых сумма не меняется).

Свойства равенства (если a=b, то b=a).

Другие законы (если a меньше b, то b больше a).
2
Тригонометрия - часть элементарной алгебры, изучающая тригонометрические функции, например, синус, косинус, тангенс, котангенс и т.д. Задачи на тригонометрические функции решают с помощью специальных формул: тригонометрических тождеств, формул сложения, формул приведения тригонометрических функций, формул двойного аргумента, двойного угла и т.п. Основное тождество тригонометрии: сумма квадратов синуса и косинуса угла равна 1.
3
Производные функции и их применение

В этом разделе для решения применяются основные правила дифференцирования, например, производная суммы равна сумме производных. Область применения производных функций - физика, например, производная координаты по времени равна скорости, это механический смысл производной функции.
4
Первообразная и интеграл

Область применения - физика, а точнее, механика. Например, первообразная (интеграл) от расстояния есть скорость. для нахождения первообразной функции существуют определенные правила, например, если F - первообразная для f, а G - для g, то F+G - первообразная для f+g.
5
Показательная и логарифмическая функции

Показательная функция - это функция возведения в степень. Число, возводимое в степень, называется основанием функции, а степень - показателем функции. Подчиняется правилам, например, любое основание в нулевой степени равно 1.

В логарифмической функции основанием называется степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить итоговое значение. Некоторые простые правила: логарифм, у которого основание и показатель одинаковы, равен 1; логарифм по основанию 1 с любым показателем будет равен 0.
Видео по теме
Полезный совет
Важно понять область, к которой относится ваша задача, остальное - дело техники.
Невозможно запомнить все формулы, поэтому имейте под рукой математический справочник.

Совет 5: Как решать задание из ЕГЭ по алгебре

Единый Государственный Экзамен - это централизованно проводимый в Российской Федерации экзамен в средних учебных заведениях (школах и лицеях). На 2011 год экзаменационная работа по математике содержит 12 заданий с кратким ответом (В1-В12) и 6 более сложных заданий (С1-С6). Единый Государственный Экзамен по алгебре нужно сдать, так как он является обязательным для всех выпускников.
Вам понадобится
  • Листок, ручка, линейка.
Инструкция
1
Рассмотрим задание (В1). Пример: Шариковая ручка стоит 40 руб. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 300 рублей после повышения цены на ручки на 10 %? Для начала узнайте, сколько стала стоить шариковая ручка после повышения цены. Для этого 40 поделите на 100, умножьте на 10 и прибавьте 40. Новая цена ручки - 44 руб. А теперь 300 поделите на 44. Ответ: 6.

Задание (В2). Это задание вы легко решите по графику, только будьте очень внимательны.

Задание (В3). Пример: Найдите корень уравнения 7 в степени (у - 2) равно 49. Сначала представьте 49 как 7 во второй степени. Теперь у вас получится уравнение: у - 2 = 2. Решив его, вы получите ответ: 4.
2
Задание (В4). Пример: В треугольнике АВС угол С равен 90 градусам, угол А равен 30 градусам, АВ = корню квадратному из 3. Найдите АС.. Нарисуйте на листке этот треугольник, так вам будет легче его представить. Итак, косинус угла А = АС/АВ. Отсюда выразите АС: АС = косинус А умножить на АВ. Косинус 30 градусов = корень квадратный из 3/2. Ответ: 1,5.
Задание (В5). Эту задачу вы с лёгкостью решите, только будьте внимательны и считайте правильно.
3
Задание (В6). Чтобы решить эту задачу, вам нужно будет вспомнить формулы площадей, объемов различных фигур. Если вы их знаете, вы получите правильный ответ.
Задание (В7). Это пример с логарифмами. Чтобы его решить, вспомните все свойства логарифмов.
4
Задание (В8). Это задание решите с помощью графика.
Задание (В9). Доля решения этого задания вам, как и в задании (В6), потребуются формулы площадей и объемов.
5
Задание (В10). Пример: Высота, на которой находится камень, брошенный с земли вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 2 + 14t - 5 t в квадрате (метров). Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 10 метров?. Составьте уравнение: 2 + 14t - 5t в квадрате = 10. И решите его. У вас получатся корни: 2 и 0,8. 2 - 0,8 = 1,2. Ответ: 1,2.
Задание (В11). Найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Сначала находите производную данной функции, приравниваете ее к нулю, находите корни, проверяете их принадлежность к отрезку и подставляете их в саму функцию. Так вы найдете значение функции.
Задание (В12). Здесь может быть задача на совместную работу, движение, концентрацию. Учитесь решать такие задачи.
6
Задачи части С более сложные. Чтобы научиться их решать, нужно ходить к репетитору или решать их совместно с вашим учителем по алгебре.
Полезный совет
При решении экзаменационной работы будьте предельно внимательны. Если у вас не получается какое-либо задание, переходите к следующему. Если остается время, вернитесь к невыполненным заданиям. И тогда у вас все получится.
Источники:
  • ФИПИ - единственный официальный разработчик заданий для ЕГЭ
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше