Совет 1: Как найти площадь сечения шара

Пусть дан шар с радиусом R, который на некотором расстоянии b от центра пересекает плоскость. Расстояние b меньше или равно радиусу шара. Требуется найти площадь S получающегося при этом сечения.
Инструкция
1
Очевидно, что если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу плоскости, то плоскость касается шара только в одной точке, и площадь сечения будет равна нулю, то есть если b = R, то S = 0. Если b = 0, то секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае сечение будет представлять собой круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Площадь этого круга будет, согласно формуле, равна S = πR^2.
2
Эти два крайних случая дают границы, между которыми всегда будет лежать искомая площадь: 0 < S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.
3
Поскольку расстояние от точки до плоскости определяется как длина отрезка, перпендикулярного плоскости и начинающегося в точке, второй конец этого отрезка будет совпадать с центром окружности сечения. Такой вывод вытекает из определения шара: очевидно, что все точки окружности сечения принадлежат сфере, а следовательно, лежат на равном расстоянии от центра шара. Это значит, что каждая точка окружности сечения может считаться вершиной прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит радиус шара, одним из катетов — перпендикулярный отрезок, соединяющий центр шара с плоскостью, а вторым катетом — радиус окружности сечения.
4
Из трех сторон этого треугольника заданы два — радиус шара R и расстояние b, то есть гипотенуза и катет. По теореме Пифагора длина второго катета должна быть равна √(R^2 - b^2). Это и есть радиус окружности сечения. Подставляя найденное значение радиуса в формулу площади круга, легко прийти к выводу, что площадь сечения шара плоскостью равна:S = π(R^2 - b^2).В частных случаях, когда b = R или b = 0, выведенная формула полностью согласуется с уже найденными результатами.

Совет 2: Как найти площадь шара

Все планеты солнечной системы имеют форму шара. Кроме того, шарообразную или близкую к таковой форму имеют и многие объекты, созданные человеком, включая детали технических устройств. Шар, как и любое тело вращения, имеет ось, которая совпадает с диаметром. Однако это не единственное важное свойство шара. Ниже рассмотрены основные свойства этой геометрической фигуры и способ нахождения ее площади.
Инструкция
1
Если взять полукруг или круг и провернуть его вокруг своей оси, получится тело, называемое шаром. Иными словами, шаром называется тело, ограниченное сферой. Сфера представляет собой оболочку шара, и ее сечением является окружность. От шара она отличается тем, что является полой. Ось как у шара, так и у сферы совпадает с диаметром и проходит через центр. Радиусом шара называется отрезок, проложенный от его центра до любой внешней точки. В противоположность сфере, сечения шара представляют собой круги. Форму, близкую к шарообразной, имеет большинство планет и небесных тел. В разных точках шара имеются одинаковые по форме, но неодинаковые по величине, так называемые сечения - круги разной площади.
2
Шар и сфера - взаимозаменяемые тела, в отличие от конуса, несмотря на то, что конус также является телом вращения. Сферические поверхности всегда в своем сечении образуют окружность, независимо от того, как именно она вращается - по горизонтали или по вертикали. Коническая же поверхность получается лишь при вращении треугольника вдоль его оси, перпендикулярной основанию. Поэтому конус, в отличие от шара, и не считается взаимозаменяемым телом вращения.
3
Самый большой из возможных кругов получается при сечении шара плоскостью, проходящей через центр О. Все круги, которые проходят через центр О, пересекаются между собой в одном диаметре. Радиус всегда равен половине диаметра. Через две точки A и B, располагающиеся в любом месте поверхности шара, может проходить бесконечное количество кругов или окружностей. Именно по этой причине через полюса Земли может быть проведено неограниченное количество меридианов.
4
При нахождении площади шара рассматривается, прежде всего, площадь сферической поверхности.Площадь шара, а точнее, сферы, образующей его поверхность, может быть рассчитана на основании площади круга с тем же радиусом R. Поскольку площадь круга есть произведение полуокружности на радиус, его можно рассчитать следующим образом:S = ?R^2Так как через центр шара проходят четыре основных больших круга, то, соответственно площадь шара (сферы) равна:S = 4 ?R^2
5
Данная формула может быть полезна в том случае, если известен либо диаметр, либо радиус шара или сферы. Однако, эти параметры приведены в качестве условий не во всех геометрических задачах. Существуют и такие задачи, в которых шар вписан в цилиндр. В этом случае, следует воспользоваться теоремой Архимеда, суть которой заключается в том, что площадь поверхности шара в полтора раза меньше полной поверхности цилиндра:S = 2/3 S цил., где S цил. -площадь полной поверхности цилиндра.
Видео по теме
Видео по теме
Источники:
  • сечение шара плоскостью
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше