Совет 1: Как найти величину угла треугольника

Плоский треугольник в евклидовой геометрии составляют три угла, образованные его сторонами. Величины этих углов можно рассчитать несколькими способами. В силу того, что треугольник - одна из простейших фигур, существуют несложные формулы расчета, которые еще более упрощаются, если их применять к правильным и симметричным многоугольникам этого рода.
Как найти величину угла треугольника
Инструкция
1
Если известны величины двух углов произвольного треугольника (β и γ), то величину третьего (α) можно определить исходя из теоремы о сумме углов в треугольнике. Она гласит, что эта сумма в евклидовой геометрии всегда равна 180°. То есть для нахождения единственного неизвестного угла в вершинах треугольника отнимайте от 180° величины двух известных углов: α=180°-β-γ.
2
Если речь идет о прямоугольном треугольнике, то для нахождения величины неизвестного острого угла (α) достаточно знать величину другого острого угла (β). Так как в таком треугольнике угол, лежащий напротив гипотенузы, всегда равен 90°, то для нахождения величины неизвестного угла отнимайте от 90° величину известного угла: α=90°-β.
3
В равнобедренном треугольнике тоже достаточно знать величину одного из углов, чтобы вычислить два других. Если известен угол (γ) между сторонами равной длины, то для вычисления обоих остальных углов найдите половину от разницы между 180° и величиной известного угла - эти углы в равнобедренном треугольнике будут равны: α=β=(180°-γ)/2. Из этого вытекает, что если известна величина одного из равных углов, то угол между равными сторонами можно определить как разницу между 180° и удвоенной величиной известного угла: γ=180°-2*α.
4
Если известны длины трех сторон (A, B, C) в произвольном треугольнике, то величину угла можно найти по теореме косинусов. Например, косинус угла (β), лежащего напротив стороны B, можно выразить как сумму возведенных в квадрат длин сторон A и C, уменьшенную на возведенную в квадрат длину стороны B и поделенную на удвоенное произведение длин сторон A и C: cos(β)=(A²+C²-B²)/(2*A*C). А чтобы найти величину угла, зная чему равен его косинус, надо найти его арк-функцию, то есть арккосинус. Значит β=arccos((A²+C²-B²)/(2*A*C)). Аналогичным способом можно найти величины углов, лежащих напротив остальных сторон в этом треугольнике.
Источники:
  • величины углов

Совет 2 : Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, можно вычислять другие. Для этого используются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.
Как определить углы в прямоугольном треугольнике
Инструкция
1
Из самого названия прямоугольного треугольника понятно, что один из его углов является прямым. Независимо от того, является прямоугольный треугольник равнобедренным или нет, в нем всегда имеется один угол, равный 90 градусам. Если дан прямоугольный треугольник, являющийся одновременно и равнобедренным, то, исходя из того, что в фигуре имеется прямой угол, найдите два угла при его основании. Эти углы равны между собой, поэтому каждый из них имеет значение, равное:

α=180°- 90°/2=45°
2
Кроме рассмотренного выше, возможен также другой случай, когда треугольник является прямоугольным, но не является равнобедренным. Во многих задачах угол треугольника равен 30°, а другой 60°, поскольку сумма всех углов в треугольнике должна быть равной 180°. Если дана гипотенуза прямоугольного треугольника и его катет, то угол можно найти из соответствия этих двух сторон:

sin α=a/c, где a - катет, противолежащий к гипотенузе треугольника, с - гипотенуза треугольника

Соответственно, α=arcsin(a/c)

Также угол можно найти и по формуле нахождения косинуса:

cos α=b/c, где b - прилежащий катет к гипотенузе треугольника
3
Если известны только два катета, то угол α можно найти по формуле тангенса. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tg α=a/b

Из этого следует, что α=arctg(a/b)

Когда даны прямой угол и один из углов, найденных вышеуказанным способом, второй находится следующим образом:

ß=180°-(90°+α)
Источники:
  • измерить угол треугольника

Совет 3 : Как вычислить угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник составляют два острых угла, величина которых зависит от длин сторон, а также один угол всегда неизменной величины 90°. Вычислить размер острого угла в градусах можно с использованием тригонометрических функций или теоремы о сумме углов в вершинах треугольника в евклидовом пространстве.
Как вычислить угол в прямоугольном треугольнике
Инструкция
1
Используйте тригонометрические функции, если в условиях задачи даны лишь размеры сторон треугольника. Например, по длинам двух катетов (коротких сторон, прилегающих к прямому углу) можно вычислить любой из двух острых углов. Тангенс того угла (β), который прилегает к катету А, можно найти делением длины противолежащей ему стороны (катета В) на длину стороны А: tg(β) = В/А. А зная тангенс, можно вычислить и соответствующую ему величину угла в градусах. Для этого предназначена функция арктангенс: β = arctg(tg(β)) = arctg(В/А).
2
По этой же формуле можно найти величину и другого острого угла, лежащего напротив катета А. Просто поменяйте обозначения сторон. Но можно сделать это и иначе, с помощью другой пары тригонометрических функций - котангенса и арккотангенса. Котангенс угла b определяется делением длины прилежащего катета А на длину противолежащего В: tg(β) = А/В. А арккотангенс поможет извлечь из полученного значения величины угла в градусах: β = arсctg(сtg(β)) = arсctg(А/В).
3
Если в исходных условиях дана длина одного из катетов (А) и гипотенузы (С), то для вычисления углов используйте функции, обратные синусу и косинусу - арксинус и арккосинус. Синус острого угла β равен отношению длины лежащего напротив него катета В к длине гипотенузы С: sin(β) = В/С. Значит, для вычисления величины этого угла в градусах применяйте такую формулу: β = arcsin(В/С).
4
А значение косинуса угла β определяется отношением длины примыкающего к этой вершине треугольника катета А к длине гипотенузы С. Это значит, что для вычисления величины угла в градусах, по аналогии с предыдущей формулой, надо использовать такое равенство: β = arccos(А/С).
5
Теорема о сумме углов треугольника делает ненужным использование тригонометрических функций, если в условиях задачи дана величина одного из острых углов. В этом случае для вычисления неизвестного угла (α) просто отнимите от 180° величины двух известных углов - прямого (90°) и острого (β): α = 180° - 90° - β = 90° - β.
Источники:
  • вычислить прямоугольный треугольник

Совет 4 : Как найти угол прямоугольного треугольника, зная все стороны

Знания всех трех сторон в прямоугольном треугольнике более чем достаточно для вычисления любого из его углов. Этой информации настолько много, что у вас даже появляется возможность выбрать, которые из сторон задействовать в расчетах, чтобы использовать наиболее вам симпатичную тригонометрическую функцию.
Как найти угол прямоугольного треугольника, зная все стороны
Инструкция
1
Если вы предпочтете иметь дело с арксинусом, используйте в расчете длину гипотенузы (С) - самой длинной стороны - и того катета (А), который лежит напротив искомого угла (α). Деление длины этого катета на длину гипотенузы даст величину синуса искомого угла, а обратная синусу функция - арксинус - из полученного значения восстановит величину угла в градусах. Поэтому используйте в вычислениях такую формулу: α = arcsin(A/C).
2
Для замены арксинуса арккосинусом задействуйте в вычислениях длины тех сторон, которые и образуют искомый угол (α). Одна из них будет гипотенузой (С), а другая - катетом (В). По определению косинус - это отношение длины прилегающего к углу катета к длине гипотенузы, а восстановлением угла из значения косинуса занимается функция арккосинус. Используйте такую формулу расчетов: α = arccos(B/C).
3
Можно использовать в расчетах и арктангенс. Для этого вам нужны длины двух коротких сторон - катетов. Тангенс острого угла (α) в прямоугольном треугольнике определяется отношением длины катета (А), лежащего напротив него, к длине прилежащего катета (В). По аналогии с описанными выше вариантами используйте такую формулу: α = arctg(А/B).
4
Эти же стороны - катеты А и В - нужны и при использовании арккотангенса в формуле вычисления острого угла (α) прямоугольного треугольника. Для получения значения котангенса достаточно поменять местами делимое и делитель в определении тангенса, поэтому используйте такую формулу: α = arcctg(В/А).
5
Если есть желание использовать еще более экзотические тригонометрические функции, обратите внимание, например, на арксеканс. Вам понадобится та же пара сторон, что и во втором шаге - прилегающий к искомому углу (α) катет (В) и гипотенуза (С). Но делимое и делитель надо поменять местами, поэтому формула в окончательном виде будет иметь такой вид: α = arcsec(С/В).
6
Пару секансу составляет функция косеканс, определяемая отношением длины гипотенузы (С) к противолежащему искомому углу (α) катету (А). Чтобы задействовать в расчетах арккосеканс используйте такую формулу: α = arccsc(С/А).
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500