Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности пирамиды

Под пирамидой понимается одна из разновидностей многогранников, который образован из лежащего в основании многоугольника и треугольников, которые являются его гранями и объединяются в одной точке - вершине пирамиды. Найти площадь боковой поверхности пирамиды не заставит особого затруднения.
Инструкция
1
Прежде всего, стоит понять, что боковая поверхность пирамиды представлена несколькими треугольниками, площади которых можно найти с помощью самых различных формул, в зависимости от известных данных:

S = (a*h)/2, где h - высота, опущенная на сторону a;

S = a*b*sinβ, где a, b - стороны треугольника, а β - угол между этими сторонами;

S = (r*(a + b + c))/2, где a, b, c - стороны треугольника, а r - радиус вписанной в этот треугольник окружности;

S = (a*b*c)/4*R, где R - радиус описанной вокруг окружности треугольника;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (если треугольник - прямоугольный);

S = S = (a²*√3)/4 (если треугольник - равносторонний).

На самом деле, это лишь самые основные из известных формул для нахождения площади треугольника.
2
Рассчитав при помощи указанных выше формул площади всех треугольников, являющихся гранями пирамиды, можно приступить к исчислению площади боковой поверхности данной пирамиды. Делается это предельно просто: необходимо сложить площади всех треугольников, образующих боковую поверхность пирамиды. Формулой это можно выразить так:

Sп = ΣSi, где Sп - площадь боковой поверхности пирамиды, Si - площадь i-ого треугольника, являющегося частью ее боковой поверхности.
3
Для большей ясности можно рассмотреть небольшой пример: дана правильная пирамида, боковые грани которой образованы равносторонними треугольникам, а в основании ее лежит квадрат. Длина ребра данной пирамиды составляет 17 см. Требуется найти площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Решение: известна длина ребра данной пирамиды, известно, что грани ее - равносторонние треугольники. Таким образом, можно сказать, что все стороны всех треугольников боковой поверхности равны 17 см. Поэтому для того, чтобы рассчитать площадь любого из этих треугольников, потребуется применить формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Известно, что в основании пирамиды лежит квадрат. Таким образом, понятно, что данных равносторонних треугольников четыре. Тогда площадь боковой поверхности пирамиды рассчитывается так:

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет 500.548 см²
4
Сначала вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Под боковой поверхностью подразумевается сумма площадей всех боковых граней. Если вы имеете дело с правильной пирамидой (то есть такой, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника), то для вычисления всей боковой поверхности достаточно умножить периметр основания (то есть сумму длин всех сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды) на высоту боковой грани (иначе называемой апофемой) и разделить полученное значение на 2: Sб=1/2P*h, где Sб - это площадь боковой поверхности, P - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема).
5
Если же перед вами произвольная пирамида, то придется отдельно вычислять площади всех граней, а затем их складывать. Поскольку боковыми гранями пирамиды являются треугольники, воспользуйтесь формулой площади треугольника: S=1/2b*h, где b - это основание треугольника, а h - высота. Когда площади всех граней вычислены, остается только сложить их, чтобы получить площадь боковой поверхности пирамиды.
6
Затем необходимо вычислить площадь основания пирамиды. Выбор формулы для расчета зависит от того, какой многоугольник лежит в основании пирамида: правильный ( то есть такой, все стороны которого имеют одинаковую длину) или неправильный. Площадь правильного многоугольника можно вычислить, умножив периметр на радиус вписанной в многоугольник окружности и поделив полученное значение на 2: Sn=1/2P*r, где Sn - это площадь многоугольника, P - это периметр, а r - это радиус вписанной в многоугольник окружности.
7
Усеченная пирамида – это многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию. Найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды совсем несложно. Ее формула очень проста: площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований по апофему. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды. Допустим, дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно сначала найти периметр оснований. В большом основании он будет равен p1=4b=4*5=20 см. В меньшем основании формула будет следующей: p2=4c=4*3=12 см. Следовательно, площадь будет равна: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 см.
8
Если в основании пирамиды лежит неправильный многоугольник, для вычисления площади всей фигуры сначала нужно будет разбить многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого, а затем сложить. В остальных же случаях, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, нужно найти площадь каждой ее боковой грани и сложить полученные результаты. В некоторых случаях задача нахождения боковой поверхности пирамиды может быть облегчена. Если одна боковая грань перпендикулярна основанию или две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, то основание пирамиды считается ортогональной проекцией части ее боковой поверхности, и они связаны формулами.
9
Чтобы завершить вычисление площади поверхности пирамиды, сложите площади боковой поверхности и основания пирамиды.
10
Пирамида – это многогранник, одна из граней которого (основание) – произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания пирамиды бывают треугольные (тетраэдр), четырехугольные и так далее.
11
Пирамида является многогранником, имеющим основание в виде многоугольника, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины.

Совет 2: Как найти площадь поверхности пирамиды

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани - это треугольники, имеющие одну общую вершину. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания пирамиды.
Вам понадобится
  • Бумага, ручка, калькулятор
Инструкция
1
Сначала вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Под боковой поверхностью подразумевается сумма площадей всех боковых граней. Если вы имеете дело с правильной пирамидой (то есть такой, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника), то для вычисления всей боковой поверхности достаточно умножить периметр основания (то есть сумму длин всех сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды) на высоту боковой грани (иначе называемой апофемой) и разделить полученное значение на 2: Sб=1/2P*h, где Sб - это площадь боковой поверхности, P - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема).
2
Если же перед вами произвольная пирамида, то придется отдельно вычислять площади всех граней, а затем их складывать. Поскольку боковыми гранями пирамиды являются треугольники, воспользуйтесь формулой площади треугольника: S=1/2b*h, где b - это основание треугольника, а h - высота. Когда площади всех граней вычислены, остается только сложить их, чтобы получить площадь боковой поверхности пирамиды.
3
Затем необходимо вычислить площадь основания пирамиды. Выбор формулы для расчета зависит от того, какой многоугольник лежит в основании пирамида: правильный ( то есть такой, все стороны которого имеют одинаковую длину) или неправильный. Площадь правильного многоугольника можно вычислить, умножив периметр на радиус вписанной в многоугольник окружности и поделив полученное значение на 2: Sn=1/2P*r, где Sn - это площадь многоугольника, P - это периметр, а r - это радиус вписанной в многоугольник окружности.
4
Если в основании пирамиды лежит неправильный многоугольник, то для вычисления площади всей фигуры снова придется разбивать многоугольник на треугольники, вычислять площадь каждого, а затем складывать.
5
Чтобы завершить вычисление площади поверхности пирамиды, сложите площади боковой поверхности и основания пирамиды.
Видео по теме

Совет 3: Как вычислить площадь многоугольника

Многоугольник представляет собой геометрическую фигуру, построенную путем замыкания ломаной. Различают несколько видов многоугольника, которые отличаются в зависимости от количества вершин. Вычисление площади производится для каждого вида многоугольника определенными способами.
Инструкция
1
Перемножьте длины сторон, если вам необходимо вычислить площадь квадрата или прямоугольника. Если необходимо узнать площадь прямоугольного треугольника, достройте его до прямоугольника, вычислить его площадь и разделить ее на два.
2
Используйте для вычисления площади многоугольников следующий способ, если фигура не имеет внутренних углов больше 180 градусов (выпуклый многоугольник), при этом все ее вершины находятся в узлах сетки координат, а ломаная сама себя не пересекает.
Опишите вокруг такого многоугольника прямоугольник, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки (осям координат). При этом хотя бы одна из вершин многоугольника должна быть вершиной прямоугольника.
3
Разбейте пространство внутри прямоугольника на простые фигуры (треугольники и квадраты). Найдите площадь каждого из них и сложите все полученные площади. Вычтите из площади прямоугольника вычисленные площади внутренних фигур. Так вы найдете площадь многоугольника достаточно быстро.
4
Применяйте одну из ниже представленных формул, если необходимо вычислить площадь правильного многоугольника (его углы и стороны равны между собой):

– перемножьте количество углов (сторон) многоугольника n на два радиуса r вписанной в него окружности и на тангенс (π/n);

– перемножьте (n/2) на два радиуса R описанной окружности и на синус (2π/n);

– перемножьте (n/4) на два радиуса r вписанной окружности и на котангенс (π/n).
5
Используйте следующие формулы, когда известны стороны треугольника:

– перемножьте стороны треугольника, которые прилежат к углу С, на синус этого угла;

– вычтите из полупериметра (p) треугольника сначала одну сторону (p-a), потом другую (p-b) и третью (p-c). Перемножьте полученные значения с полупериметром и разделите результат на 2.
6
Применяйте для определения площади трапеции формулу S = h * ( a + b ) / 2, если известна высота и оба основания трапеции.
7
Используйте способ вычисления площади многоугольника с помощью палетки. Начертите вокруг многоугольника квадратную сетку, у которой сторона одной клетки будет равна единице, чтобы все вершины многоугольника находились в ее узлах.
8
Вычислите площадь такой фигуры по формуле Пика: S = В + Г/2 – 1. Здесь В – это число узлов сетки, расположенных внутри многоугольника, а Г – число узлов квадратной сетки, расположенных на границе многоугольника.

Совет 4: Как найти радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

В каждый треугольник, независимо от его вида, можно вписать только одну окружность. Ее центр одновременно является и точкой пересечения биссектрис. У прямоугольного треугольника есть ряд своих собственных свойств, которые необходимо учитывать при вычислении радиуса вписанной окружности. Данные в задаче могут быть указаны разные и возникает необходимость провести дополнительные расчеты.
Вам понадобится
  • - прямоугольный треугольник с заданными параметрами;
  • - карандаш;
  • - лист бумаги;
  • - линейка;
  • - циркуль.
Инструкция
1
Начните с построения. Начертите треугольник с заданными размерами. Любой треугольник строится по трем сторонам, стороне и двум углам либо же двум сторонам и углу между ними. Поскольку размер одного угла задан изначально, то в условиях должны быть указаны либо два катета, либо один из катетов и один из углов, либо один катет и гипотенуза. Обозначьте треугольник как АСВ, где С — вершина прямого угла. Обозначьте противолежащие углам катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Радиус вписанной окружности обозначьте как r.
2
Чтобы иметь возможность применить классическую формулу вычисления радиуса вписанной окружности, найдите все три стороны. Способ вычислений зависит от того, что задано в условиях. Если даны размеры всех трех сторон, вычислите полупериметр по формуле p=(a+b+c)/2. Если вам даны размеры двух катетов, найдите гипотенузу. Согласно теореме Пифагора, она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть с=√a2+b2.
3
Когда дан один катет и угол, определите, является ли он противолежащим или прилежащим. В первом случае используйте теорему синусов, то есть найдите гипотенузу по формуле с=a/sinСАВ, во втором — считайте по теореме косинусов. В этом случае с=a/cosCBA. Выполнив расчеты, найдите полупериметр треугольника.
4
Зная полупериметр, можно вычислить радиус вписанной окружности. Он равен квадратному корню из дроби, в числителе которой стоит поизведение разностей этого полупериметра со всеми сторонами, а в знаменатели — полупериметр. То есть r=√(p-a)(p-b)(p-c)/p.
5
Обратите внимание на то, что числитель данного подкоренного выражения представляет собой площадь данного треугольника. То есть радиус можно найти и другим путем, разделив площадь на полупериметр. Так что если известны оба катета, то вычисления несколько упрощаются. Необходимо для полупериметра гипотенузу найдите по сумме квадратов катетов. Площадь сосчитайте, умножив катеты друг на друга и разделив полученное число на 2.

Совет 5: Как найти площадь оснований пирамиды

Два основания могут быть только у усеченной пирамиды. В этом случае второе основание образуется сечением, параллельным большему основанию пирамиды. Найти одно из оснований можно в том случае, если известна площадь или линейные элементы второго.
Вам понадобится
  • - свойства пирамиды;
  • - тригонометрические функции;
  • - подобие фигур;
  • - нахождение площадей многоугольников.
Инструкция
1
Площадь большего основания пирамиды находится как площадь многоугольника, который ее представляет. Если это правильная пирамида, то в ее основании лежит правильный многоугольник. Чтобы узнать его площадь, достаточно знать всего одну из его сторон.
2
Если большое основание представляет собой правильный треугольник, найдите его площадь, умножив квадрат стороны, на корень квадратный из 3 поделенный на 4. Если основание представляет собой квадрат, возведите его сторону во вторую степень. В общем случае, для любого правильного многоугольника примените формулу S=(n/4)•a²•ctg(180º/n), где n – количество сторон правильного многоугольника, a – длина его стороны.
3
Сторону меньшего основания найдите, по формуле b=2•(a/(2•tg(180º/n))-h/tg(α))•tg(180º/n). Здесь а – сторона большего основания, h – высота усеченной пирамиды, α – двугранный угол при ее основании, n – количество сторон оснований (оно одинаковое). Площадь второго основания найдите аналогично первому, используя в формуле длину его стороны S=(n/4)• b²•ctg(180º/n).
4
Если основания представляют собой другие типы многоугольников, известны все стороны одного из оснований, и одна из сторон другого, то остальные стороны вычислите как подобные. Например, стороны большего основания 4, 6, 8 см. Большая сторона меньшего основания рана 4 см. Вычислите коэффициент пропорциональности, 4/8=2 (берем большие стороны в каждом из оснований), и рассчитайте другие стороны 6/2=3 см, 4/2=2 см. Получим стороны 2, 3, 4 см в меньшем основании стороны. Теперь вычислите их площади, как площади треугольников.
5
Если известно соотношение соответствующих элементов в усеченной пирамиде, то соотношение площадей оснований будет равно отношению квадратов этих элементов. Например, если известны соответствующие стороны оснований а и а1, то а²/а1²=S/S1.

Совет 6: Как вычислить площадь пирамиды

Под площадью пирамиды обычно понимается площадь ее боковой или полной поверхности. В основании данного геометрического тела лежит многоугольник. Боковые грани имеют треугольную форму. У них есть общая вершина, которая одновременно является и вершиной пирамиды.
Вам понадобится
  • - лист бумаги;
  • - ручка;
  • - калькулятор;
  • - пирамида с заданными параметрами.
Инструкция
1
Рассмотрите данную в задании пирамиду. Определите, правильный или неправильный многоугольник лежит в ее основании. У правильного все стороны равны. Площадь в этом случае равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. Найдите периметр, умножив длину стороны l на количество сторон n, то есть P=l*n. Выразить площадь основания можно формулой Sо=1/2P*r, где P - периметр, а r - радиус вписанной окружности.
2
Периметр и площадь неправильного многоугольника вычисляются иначе. Стороны имеют разную длину. Чтобы посчитать периметр, необходимо сложить все отрезки, ограничивающие основание. Для вычисления площади выполните дополнительное построение. Разделите неправильный многоугольник на фигуры, параметры которых вам известны, а площадь вы легко можете найти, используя наиболее распространенные формулы и тригонометрические функции.
3
Боковая поверхность пирамиды представляет собой сумму всех боковых граней. У правильной пирамиды высота падает в центр лежащего в основании правильного многоугольника. Для наглядности очень полезно построить высоты самой пирамиды и одной из ее боковых сторон. Точку пересечения второй высоты с нижней гранью соедините с центром основания. У вас в любом случае получится прямоугольный треугольник, в котором вам необходимо вычислить гипотенузу, одновременно являющуюся и высотой боковой грани. Сделайте это, используя известные вам параметры (например, высоту пирамиды и радиус вписанной в многоугольник основания окружности).
Постройте высоту боковой грани
4
Зная высоту боковой грани правильной пирамиды, вычислите площадь боковой поверхности. Она равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, то есть вычислить ее можно по формуле Sб=1/2P*h, где P - уже известный вам периметр, а h - высота боковой грани.
5
Вычисление боковой поверхности неправильной пирамиды потребует от вас несколько больших затрат времени. Она равна сумме площадей всех боковых граней. Вспомните, чему равна площадь треугольника. Ее можно найти по формуле S=1/2l*h, то есть полупроизведению основания треугольника на его высоту.
6
Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Для этого сложите уже известные вам площади основания и боковой поверхности.

Совет 7: Как найти площадь правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида - это многогранник, составленный из определенного числа имеющих одну общую вершину плоских боковых поверхностей и одного основания. Основание, в свою очередь, имеет с каждой боковой гранью одно общее ребро, и поэтому его форма определяет общее число граней фигуры. В правильной четырехугольной пирамиде таких граней пять, но для вычисления полной площади поверхности достаточно рассчитать площади лишь двух из них.
Инструкция
1
Полная площадь поверхности любого многогранника складывается из суммы площадей его граней. В правильной четырехугольной пирамиде они представлены двумя формами многоугольников - в основании лежит квадрат, в боковые поверхности имеют треугольную конфигурацию. Начните расчеты, например, с вычисления площади четырехугольного основания пирамиды (Sₒ). По определению правильной пирамиды в ее основании должен лежать правильный многоугольник, в данном случае - квадрат. Если в условиях приведена длина ребра основания (a), просто возведите его во вторую степень: Sₒ = a². Если известна только длина диагонали основания (l), для вычисления площади найдите половину ее квадрата: Sₒ = l²/2.
2
Определите площадь треугольной боковой грани пирамиды Sₐ. Если известна длина ее общего с основанием ребра (a) и апофема (h), рассчитайте половину от произведения этих двух величин: Sₐ = a*h/2. При указанных в условиях длинах бокового ребра (b) и ребра основания (a) найдите половину произведения длины основания на корень из разницы между возведенной в квадрат длиной бокового ребра и четвертью квадрата длины основания: Sₐ = ½*a*√(b²-a²/4). Если кроме длины общего с основанием ребра (a) дан плоский угол в вершине пирамиды (α), вычислите отношение возведенной в квадрат длины ребра к удвоенному косинусу половины плоского угла: Sₐ = a²/(2*cos(α/2)).
3
Рассчитав площадь одной боковой грани (Sₐ), увеличьте полученную величину в четыре раза, чтобы вычислить площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды. При известной апофеме (h) и периметре основания (P) это действие вместе со всем предыдущим шагом можно заменить вычислением половины произведения этих двух параметров: 4*Sₐ = ½*h*P. В любом случае, полученную площадь боковой поверхности сложите с рассчитанной на первом шаге площадью квадратного основания фигуры - это и будет полная площадь поверхности пирамиды: S = Sₒ+4*Sₐ.
Источники:
  • как найти высоту четырехугольной пирамиды
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше