Совет 1: Как вынести число из корня

В большинстве случаев бывает проще посчитать на калькуляторе подкоренное выражение. Но если необходимо решить задачу в общем виде или подкоренное выражение содержит неизвестные переменные или по условиям задачи его надо только упростить, а не вычислять, то придется искать способы вынесения какого-либо числа из под корня.
Инструкция
1
Используйте определение корня, как математической операции, из которого вытекает, что извлечение корня - это операция, обратная возведению числа в степень. Это означает, что число можно вынести из под корня при условии уменьшения подкоренного выражения в число раз, которое соответствует возведенному в степень вынесенному числу. Например, чтобы вынести из под квадратного корня число 10, надо разделить остающееся под корнем выражение на десять в квадрате.
2
Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно упростит выражение - иначе операция потеряет смысл. Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то решение можно оставить в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым числом. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
3
Используйте для подбора множителей подкоренного числа калькулятор, если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корням с показателем степени больше двух. Если есть доступ в интернет, то можно производить вычисления встроенными в поисковые системы Google и Nigma вычислителями. Например, если надо найти наибольший целочисленный множитель, который можно вынести из под знака кубического корня для числа 250, то перейдя на сайт Google введите запрос «6^3», чтобы проверить, нельзя ли вынести из под знака корня шестерку. Поисковик покажет результат, равный 216. Увы, 250 нельзя разделить без остатка на это число. Тогда введите запрос 5^3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.

Совет 2: Как вынести множитель из-под знака корня

Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.
Инструкция
1
Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, сколько указано в показателей корня, или больше. Например, вам нужно извлечь кубический корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак радикала.
2
Вспомните свойства корней. Вынесение из-под знака радикала представляет собой действие, противоположное возведению в степень. То есть в данном случае необходимо извлечь кубический корень из той часть выражения, которая поддается этой операции, в данном случае это а3 3√a*a3 =a3√a.
3
Проверьте вычисления. Это особенно важно, если вы действуете с числами, а не с обозначенными буквами переменными. Например, вам необходимо преобразовать выражение 3√120. Разложив подкоренное выражение на простые множители, вы получите 3√120=3√(60*2)=3√(30*2*2)=3√(15*2*2*2)=3√(3*5*2*2*2). Из-под корня можно вынести сомножитель 2. Получится выражение 23√15. Проверьте результат. Для этого необходимо внести множитель под корень, предварительно возведя его в соответствующую степень. 23 = 8. Соответственно, 23√15 = 3√(15*8) = 3√120.
4
Для разложения на простые сомножители чисел с большим количеством разрядов пользуйтесь калькулятором. Это полезно делать и при работе с корнями, показатель которых больше двух. При работе с обозначенными буквами переменными это не так уж важно, поскольку точные вычисления не нужны.
5
Пользуйтесь поисковыми системами. Это нужно, например, для поиска наибольшего целого множителя, который можно вынести из-под знака радикала. Воспользуйтесь системой Нигма. В поисковик введите число и то, что нужно с ним сделать. Например, введите выражение «120 разложить на множители». Вы получите ответ 23 (3*5), то есть то же самое, которого вы добились путем устных вычислений в заданном примере. Если вам нужно точное вычисление, воспользуйтесь он-лайн калькулятором.
Полезный совет
Вынесение множителя из-под корня имеет смысл только в том случае, если это действие действительно упрощает выражение.
Источники:
  • Онлайн калькулятор

Совет 3: Как вынести из-под знака корня

Знаком корня в математических науках называется условное обозначение для корней. Число, находящееся под знаком корня, называется подкоренным выражением. При отсутствии показателя степени корень является квадратным, в противном случае цифра указывает показатель степени.
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага;
  • - таблицы логарифмических корней.
Инструкция
1
Для того чтобы вынести из-под знака корня, представьте и запишите подкоренное выражение как произведение таких множителей, чтобы из одного можно было легко извлечь арифметический корень. Арифметическим корнем произвольной степени из числа a является такое число b, при возведении которого в эту произвольную степень оно даст в результате число a . Во время выполнения этого шага подкоренное выражение, уже состоящее из сомножителей, а не из одного числа, всё еще находится и записывается под знаком корня.
2
Используйте следующее свойство арифметического корня: для извлечения арифметического корня из произведения необходимо извлечь корень из каждого его сомножителя по отдельности. С помощью применения этого свойства в этом шаге вы получите вместо произведения сомножителей под одним знаком корня два различных корня с двумя подкоренными выражениями.
3
Извлеките корень получившихся подкоренных выражений в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа означает найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня.
Видео по теме
Обратите внимание
Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.
Полезный совет
При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.
Источники:
  • знак извлечения корня

Совет 4: Как вынести общий множитель за скобки

Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки.
Инструкция
1
Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения на множители. Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим множителем может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.
2
Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом элементе многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12•z³ + 16•z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4•(3•z³ + 4•z² - 1). Иными словами, это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.
3
Одночлен.Определите, входит ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. Пример: 9•z^4 – 6•z³ + 15•z² – 3•z.
4
Каждый элемент этого многочлена содержит переменную z. Кроме того, все коэффициенты – числа, кратные 3. Следовательно, общим множителем будет одночлен 3•z:3•z•(3•z³ – 2•z² + 5•z - 1).
5
Двучлен.За скобки выносится общий множитель из двух элементов, переменной и числа, которое является решением общего многочлена. Поэтому, если множитель-двучлен неочевиден, то нужно найти хотя бы один корень. Выделите свободный член многочлена, это коэффициент без переменной. Теперь примените метод подстановки в общее выражение всех целочисленных делителей свободного члена.
6
Рассмотрите пример: z^4 – 2•z³ + z² - 4•z + 4. Проверьте, не является ли какой-либо из целых делителей числа 4 корнем уравнения z^4 – 2•z³ + z² - 4•z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z - 1) и (z - 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.
Как вынести общий <strong>множитель</strong> за <b>скобки</b>
7
Запишите результат (z - 1)•(z - 2)•(z² + z + 2).

Совет 5: Как вывести число из корня

Число, которое находится под знаком корня, часто мешает решению уравнения, с ним неудобно работать. Даже если оно возведено в степень, дробно или не может быть представлено в виде целого числа в определенной степени, можно попытаться вывести его из корня, полностью или хотя бы частично.
Инструкция
1
Попробуйте разложить число на простые множители. Если число дробное, не учитывайте пока запятую, считайте все цифры. Например, число 8,91 можно разложить так: 8,91=0,9*0,9*11 (сначала разложите 891=9*9*11, затем добавьте запятые). Теперь вы можете записать число как 0,9^2*11 и вывести из-под корня 0,9. Таким образом, вы получили √8,91=0,9√11.
2
Если вам дан кубический корень, необходимо вывести под ним число в третьей степени. Например, число 135 разложите как 3*3*3*5=3^3*5. Из-под корня выведите число 3, число 5 при этом останется под знаком корня. Точно так же поступайте с корнями четвертой и более высокой степени.
3
Чтобы вывести из-под корня число со степенью, отличной от степени корня (например, корень квадратный, а под ним число в 3 степени), поступайте так. Запишите корень как степень, то есть уберите знак √ и поставьте вместо него знак степени. Например, квадратный корень из числа равен этому же числу в степени ½, а кубический – в степени 1/3. Не забудьте при этом заключить подкоренное выражение в скобки.
4
Упростите выражение, перемножив степени. Например, если под корнем стояло число 12^4, а корень был квадратный, выражение примет вид (12^4)^1/2=12^4/2=12^2=144.
5
Вывести из-под знака корня можно и отрицательное число. Если степень нечетная, просто представьте число под корнем как число в той же степени, например, -8=(-2)^3, кубический корень из (-8) будет равен (-2).
6
Чтобы вынести отрицательное число из-под корня четной степени (в том числе квадратного), поступите таким образом. Представьте подкоренное выражение в виде произведения (-1) и числа в нужной степени, затем вынесите число, оставив (-1) под знаком корня. Например, √(-144)=√(-1)*√144=12*√(-1). При этом число √(-1) в математике принято называть мнимым числом и обозначать параметром i. Таким образом, √(-144)=12i.
Источники:
  • вывести квадратный корень
Источники:
  • как вынести из под корня
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше