Совет 1: Как найти центр тяжести треугольника

Треугольник – одна из основных геометрических фигур. И только он имеет «замечательные» точки. К ним относится, например, центр тяжести – точка, на которую приходится вес всей фигуры. Где же находится эта «замечательная» точка и как ее найти?
Вам понадобится
  • карандаш, линейка
Инструкция
1
Начертите сам треугольник. Для этого возьмите линейку и проведите карандашом отрезок. Потом начертите ещё один отрезок, начиная от одного из концов предыдущего. Замкните фигуру, соединив две оставшиеся свободные точки отрезков. Получился треугольник. Именно его центр тяжести предстоит искать.
2
Возьмите линейку и измерьте длину одной из сторон. Найдите середину этой стороны и отметьте её карандашом. Проведите отрезок из противоположной вершины к намеченной точке. Получившийся отрезок называется медианой.
3
Приступите ко второй стороне. Измерьте её длину, поделите на две равные части и проведите медиану из лежащей напротив вершины.
4
То же самое проделайте с третьей стороной. Обратите внимание на то, что, если вы все сделали правильно, то медианы пересекутся в одной точке. Это и будет центр тяжести или, как его ещё называют, центр масс треугольника.
5
Если перед вами стоит задача, найти центр тяжести равностороннего треугольника, то проведите высоту из каждой вершины фигуры. Для этого возьмите линейку с прямым углом и одной из сторон, прислоните к основанию треугольника, а вторую направьте к противолежащей вершине. То же самое проделайте с остальными сторонами. Точка пересечения будет являться центром тяжести. Особенность равносторонних треугольников заключается в том, что одни и те же отрезки являются и медианами, и высотами, и биссектрисами.
6
Центр тяжести любого треугольника делит медианы на два отрезка. Их соотношение составляет 2:1, если смотреть от вершины. Если треугольник поместить на булавку таким образом, что центроид окажется на её острие, то он не упадет, а будет находиться в равновесии. Также центр тяжести является той точкой, на которую приходится вся масса, размещенная на вершинах треугольника. Проделайте этот опыт и убедитесь в том, что эта точка неспроста называется «замечательной».

Совет 2: Как найти высоту равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник - это треугольник, все стороны которого равны, как следует из его названия. Эта особенность существенно упрощает нахождение остальных параметров треугольника, в том числе его высоты.
Вам понадобится
  • Длина стороны равностороннего треугольника
Инструкция
1
В равностороннем треугольнике все углы также равны. Угол равностороннего треугольника, отсюда, равен 180/3 = 60 градусов. Очевидно, что так как все стороны и все углы такого треугольника равны, то все его высоты также будут равны.
2
В равностороннем треугольнике ABC можно провести, например, высоту AE. Так как равносторонний треугольник - это частный случай равнобедренного треугольника, а AB = AC. Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника высота AE будет одновременно медианой (то есть BE = EC) треугольника ABC и биссектрисой угла BAC (то есть BAE = CAE).
3
Высота AE будет являться катетом прямоугольного треугольника BAE с гипотенузой AB. AB = a - длина стороны равностороннего треугольника. Тогда AE = AB*sin(ABE) = a*sin(60o) = sqrt(3)*a/2. Следовательно, для нахождения высоты равностороннего треугольника, достаточно знать только длину его стороны.
4
Очевидно, что если задана медиана или биссектриса равностороннего треугольника, то она и будет являться его высотой.
Видео по теме
Источники:
  • равносторонний треугольник это

Совет 3: Как найти длину отрезка треугольника

В произвольном треугольнике можно выделить несколько отрезков, длины которых приходится вычислять наиболее часто. Эти отрезки соединяют точки, лежащие в вершинах треугольника, в серединах его сторон, в центрах вписанной и описанной окружностей, а также другие значимые для геометрии треугольника точки. Некоторые варианты расчета длин таких отрезков в евклидовой геометрии приведены ниже.
Инструкция
1
Если отрезок, который требуется найти, соединяет любые две вершины произвольного треугольника, то он является одной из сторон этой геометрической фигуры. Если известны, например, длины двух других сторон (А и B) и величина угла, который они образуют (γ), то длину этого отрезка (С) вы можете рассчитать, исходя из теоремы косинусов. Сложите квадраты длин сторон, отнимите от результата две длины этих же сторон, умноженных на косинус известного угла, а затем найдите квадратный корень из полученного значения: C=√(А²+B²-2*А*B*cos(γ)).
2
Если отрезок начинается в одной из вершин треугольника, заканчивается на противолежащей стороне и перпендикулярен ей, то такой отрезок называется высотой (h). Найти его можно, например, зная площадь (S) и длину (A) той стороны, на которую опущена высота - разделите удвоенную площадь на длину стороны: h=2*S/A.
3
Если отрезок соединяет середину любой стороны произвольного треугольника и вершину, лежащую напротив этой стороны, то называется этот отрезок медианой (m). Найти его длину можно, например, зная длины всех сторон (A, B, C) - сложите удвоенные квадраты длин двух сторон, отнимите от полученного значения квадрат той стороны, на середине которой заканчивается отрезок, а затем найдите квадратный корень из четверти полученного результата: m=√((2*А²+2*B²-C²)/4).
4
Если отрезок соединяет центр вписанной в произвольный треугольник окружности и любую из точек касания этой окружности со сторонами треугольника, то найти его длину можно, вычислив радиус (r) вписанной окружности. Для этого, например, разделите площадь (S) треугольника на его периметр (P): r=S/P.
5
Если отрезок соединяет центр окружности, описанной около произвольного треугольника, с любой из вершин этой фигуры, то его длину можно рассчитать, найдя радиус описанной окружности (R). Если известны, например, длина одной из сторон (A) в таком треугольнике и угол (α), лежащий напротив нее, то для вычисления длины нужного вам отрезка разделите длину стороны на удвоенный синус угла: R=A/(2*sin(α)).
Видео по теме

Совет 4: Как найти медиану равностороннего треугольника

Медиана треугольника - это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой одновременно. Таким образом, нужный отрезок можно построить несколькими способами.
Вам понадобится
  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - циркуль.
Инструкция
1
При помощи линейки и карандаша разделите сторону равностороннего треугольника пополам. Проведите отрезок, соединяющий найденную точку и противоположный угол треугольника. Таким же образом отложите два следующих отрезка. Вы начертили медианы равностороннего треугольника.
2
Начертите высоту равностороннего треугольника. При помощи угольника опустите перпендикуляр из вершины треугольника к противоположной стороне. Вы построили высоту равностороннего треугольника. Она является одновременно его медианой.
3
Постройте биссектрисы равностороннего треугольника. Любой угол равностороннего треугольника равен 60º. Приложите транспортир к одной из сторон треугольника так, чтобы точка отсчета совпадала с вершиной треугольника. Одна из его сторон должна идти точно по линии измерительного прибора, другая сторона пересекать полуокружность в точке с отметкой 60º.
4
Отметьте точкой деление в 30º. Проведите луч, соединяющий найденную точку и вершину треугольника. Найдите точку пересечения луча со стороной треугольника. Полученный отрезок является биссектрисой равностороннего треугольника, которая и есть его медиана.
5
Если равносторонний треугольник вписан в окружность, проведите прямую, соединяющую его вершину с центром окружности. Отметьте точку пересечения этой прямой со стороной треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника и его сторону, будет медианой равностороннего треугольника.
Видео по теме
Полезный совет
Построить биссектрису угла α равностороннего треугольника можно при помощи циркуля. Для этого постройте две окружности с центром в двух других вершинах треугольника и радиусом, равным стороне треугольника. Окружности пересекутся в двух точках: в вершине угла α и в точке N. Соедините эти точки между собой. Вы построили биссектрису угла α.
Источники:
  • Равносторонний треугольник

Совет 5: Как найти центр фигуры

Центр фигуры можно найти несколькими способами, смотря какие данные о ней уже известны. Стоит разобрать нахождение центра окружности, которая является совокупностью точек, располагающихся на равном расстоянии от центра, так как эта фигура - одна из наиболее распространенных.
Вам понадобится
  • - угольник;
  • - линейка.
Инструкция
1
Простейший способ найти центр окружности – согнуть листок бумаги, на котором она начерчена, убедившись, глядя на просвет, что она сложилась точно пополам. Затем согните лист перпендикулярно первому сгибу. Так вы получите диаметры, точка пересечения которых и есть центр фигуры.
2
Конечно, этот способ идеален, только если окружность начерчена на бумаге, достаточно тонкой, чтобы можно было посмотреть на просвет, точно ли сложен лист.
3
Допустим, рассматриваемую фигуру начертили на твердой, несгибаемой поверхности либо это отдельная деталь, которая также не поддается сгибу. Чтобы найти центр окружности в этом случае, вам нужна линейка.
4
Диаметр является самым длинным отрезком, соединяющим 2 точки окружности. Как известно, проходит он через центр, поэтому задача нахождения центра окружности сводится к нахождению диаметра и его середины.
5
Наложите линейку на окружность, после чего зафиксируйте в любой точке фигуры нулевую отметку. Приложите линейку к окружности, получив секущую, а затем двигайте по направлению к центру фигуры. Длина секущей будет возрастать, пока не дойдет до пиковой точки. Вы получите диаметр, а найдя его середину, найдете и центр окружности.
6
Центр описанной окружности для любого треугольника располагается на пересечении срединных перпендикуляров. В случае, если треугольник прямоугольный, ее центр всегда будет совпадать с серединой гипотенузы. То есть решение кроется в построении внутри окружности прямоугольного треугольника с вершинами, лежащими на окружности.
7
Трафаретом для прямого угла могут послужить школьный или строительный угольник, линейка или даже лист бумаги/картона. Поместите в любую точку окружности вершину прямого угла, сделайте отметки в тех местах, где стороны угла пересекают границу окружности, соедините их. У вас получился диаметр – гипотенуза.
8
Таким же способом найдите еще один диаметр, место пересечения двух таких отрезков и будет центром окружности.
Видео по теме
Обратите внимание
В заданиях может быть указано, что необходимо найти центр тяжести, центр масс или центроид. Все три названия обозначают одно и то же.
Источники:
  • Вся элементарная математика
  • центр тяжести у прямоугольного треугольника
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500