Совет 1: Как найти углы треугольника по трем его сторонам

Треугольником называют геометрическую фигуру с тремя сторонами и тремя углами. Нахождение всех этих шести элементов треугольника является одной из задач математики. Если известны длины сторон треугольника, то при помощи тригонометрических функций можно вычислить углы между сторонами.
Вам понадобится
  • базовое знание тригонометрии
Инструкция
1
Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. При этом сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, то есть a+b>c, b+c>a и a+c>b. И необходимо найти градусную меру всех углов этого треугольника. Пусть угол между сторонами a и b обозначен как α, угол между b и c как β, а угол между c и a как γ.
2
Теорема косинусов звучит так: квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними. То есть составьте три равенства: a²=b²+c²−2×b×c×cos(β); b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ); c²=a²+b²−2×a×b×cos(α).
3
Из полученных равенств выразите косинусы углов: cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c); cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c); cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b). Теперь, когда известны косинусы углов треугольника, чтобы найти сами углы воспользуйтесь таблицами Брадиса или возьмите из этих выражений арккосинусы: β=arccos(cos(β)); γ=arccos(cos(γ)); α=arccos(cos(α)).
4
Например, пусть a=3, b=7, c=6. Тогда cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°; cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°; cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°.
5
Эту же задачу можно решить другим способом через площадь треугольника. Сначала найдите полупериметр треугольника по формуле p=(a+b+c)÷2. Затем посчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)), то есть площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра и каждой из сторон треугольника.
6
С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Получается S=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ). Теперь из этой формулы выразите синусы углов и подставьте полученное в 5 шаге значение площади треугольника: sin(α)=2×S÷(a×b); sin(β)=2×S÷(b×c); sin(γ)=2×S÷(a×c). Таким образом, зная синусы углов, чтобы найти градусную меру, используйте таблицы Брадиса или посчитайте арксинусы этих выражений: β=arccsin(sin(β)); γ=arcsin(sin(γ)); α=arcsin(sin(α)).
7
Например, пусть дан такой же треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Полупериметр равен p=(3+7+6)÷2=8, площадь S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5. Тогда sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°; sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°; sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°.

Совет 2: Как найти углы треугольника по длинам его сторон

Есть несколько вариантов нахождения величин всех углов в треугольнике, если известны длины трех его сторон. Один из способов заключается в использовании двух разных формул вычисления площади треугольника. Для упрощения расчетов можно также применить теорему синусов и теорему о сумме углов треугольника.
Инструкция
1
Воспользуйтесь, например, двумя формулами вычисления площади треугольника, в одной из которых задействованы только три его известных стороны (формула Герона), а в другой - две стороны и синус угла между ними. Используя во второй формуле разные пары сторон, вы сможете определить величины каждого из углов треугольника.
2
Решите задачу в общем виде. Формула Герона определяет площадь треугольника, как квадратный корень из произведения полупериметра (половины от суммы всех сторон) на разницы между полупериметром и каждой из сторон. Если заменить периметр суммой сторон, то формулу можно записать в таком виде: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C другой стороны площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними. Например, для сторон a и b с углом γ между ними эту формулу можно записать так: S=a∗b∗sin(γ). Замените левую часть равенства формулой Герона: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Выведите из этого равенства формулу для синуса угла γ: sin(γ)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗b∗)
3
Аналогичные формулы для двух других углов:
sin(α)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (b∗c∗)
sin(β)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗c∗)Вместо этих формул можно воспользоваться теоремой синусов, из которой вытекает, что соотношения сторон и синусов противолежащих им углов в треугольнике равны. То есть, вычислив в предыдущем шаге синус одного из углов, можно найти синус другого угла по более простой формуле: sin(α)=sin(γ)∗a/c. А исходя из того, что сумма углов в треугольнике равна 180°, третий угол можно рассчитать еще проще: β=180°-α-γ.
4
Используйте, например, стандартный калькулятор Windows для нахождения величин углов в градусах после того, как по формулам рассчитаете значения синусов этих углов. Чтобы это сделать, применяйте тригонометрическую функцию, обратную синусу - арксинус.
Полезный совет
Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов. Поэтому можно вычислить только два угла треугольника, а третий получить путем вычитания из 180 суммы этих двух углов.
Источники:
  • как найти sin b
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше