Совет 1: Как по сторонам треугольника узнать угол

Длины сторон треугольника связаны с углами в вершинах фигуры через тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и др. Эти соотношения сформулированы в теоремах и определениях функций через острые углы треугольника из курса элементарной геометрии. Используя их, можно рассчитать величину угла по известным длинам сторон треугольника.
Инструкция
1
Для вычисления любого угла произвольного треугольника, длины сторон которого (a, b, c) известны, используйте теорему косинусов. Она утверждает, что квадрат длины любой из сторон равен сумме квадратов длин двух других, из которой вычтено удвоенное произведение длин этих же двух сторон на косинус угла между ними. Использовать эту теорему можно для расчета угла в любой из вершин, важно знать лишь его расположение относительно сторон. Например, чтобы найти угол α, который лежит между сторонами b и c, теорему надо записать так: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).
2
Выразите из формулы косинус искомого угла: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). К обеим частям равенства примените функцию, обратную косинусу - арккосинус. Она позволяет по значению косинуса восстановить величину угла в градусах: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Левую часть можно упростить и формула вычисления угла между сторонами b и c приобретет окончательный вид: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).
3
При нахождении величин острых углов в прямоугольном треугольнике знание длин всех сторон не обязательно, достаточно двух из них. Если эти две стороны - катеты (a и b), разделите длину той, которая лежит напротив искомого угла (α), на длину другой. Так вы получите значение тангенса нужного угла tg(α) = a/b, а применив к обеим частям равенства обратную функцию - арктангенс - и упростив, как и в предыдущем шаге, левую часть, выведите окончательную формулу: α = arctg(a/b).
4
Если известные стороны прямоугольного треугольника - катет (a) и гипотенуза (c), для вычисления величины угла (β), образованного этими сторонами, воспользуйтесь функцией косинус и обратной ей - арккосинус. Косинус определяется отношением длины катета к гипотенузе, а формулу в окончательном виде можно записать так: β = arccos(a/c). Для расчета по этим же исходным данным острого угла (α), лежащего напротив известного катета, используйте то же соотношение, заменив арккосинус на арксинус: α = arcsin(a/c).

Совет 2: Как найти углы треугольника по длинам его сторон

Есть несколько вариантов нахождения величин всех углов в треугольнике, если известны длины трех его сторон. Один из способов заключается в использовании двух разных формул вычисления площади треугольника. Для упрощения расчетов можно также применить теорему синусов и теорему о сумме углов треугольника.
Инструкция
1
Воспользуйтесь, например, двумя формулами вычисления площади треугольника, в одной из которых задействованы только три его известных стороны (формула Герона), а в другой - две стороны и синус угла между ними. Используя во второй формуле разные пары сторон, вы сможете определить величины каждого из углов треугольника.
2
Решите задачу в общем виде. Формула Герона определяет площадь треугольника, как квадратный корень из произведения полупериметра (половины от суммы всех сторон) на разницы между полупериметром и каждой из сторон. Если заменить периметр суммой сторон, то формулу можно записать в таком виде: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C другой стороны площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними. Например, для сторон a и b с углом γ между ними эту формулу можно записать так: S=a∗b∗sin(γ). Замените левую часть равенства формулой Герона: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Выведите из этого равенства формулу для синуса угла γ: sin(γ)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗b∗)
3
Аналогичные формулы для двух других углов:
sin(α)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (b∗c∗)
sin(β)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗c∗)Вместо этих формул можно воспользоваться теоремой синусов, из которой вытекает, что соотношения сторон и синусов противолежащих им углов в треугольнике равны. То есть, вычислив в предыдущем шаге синус одного из углов, можно найти синус другого угла по более простой формуле: sin(α)=sin(γ)∗a/c. А исходя из того, что сумма углов в треугольнике равна 180°, третий угол можно рассчитать еще проще: β=180°-α-γ.
4
Используйте, например, стандартный калькулятор Windows для нахождения величин углов в градусах после того, как по формулам рассчитаете значения синусов этих углов. Чтобы это сделать, применяйте тригонометрическую функцию, обратную синусу - арксинус.
Источники:
  • формула треугольника при 2 сторонах
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше