Совет 1: Как решать пределы

Решение пределов относится к разделу математического анализа. Предел функции – это значит, что какая-то переменная величина, которая зависит от другой величины, приближается к постоянному значению при изменении второй величины. Предел обозначается знаком lim f (x), под которым пишется, к какой величине стремится х, например, х→1, что означает, что х стремится к единице и читается как «предел функции при х, стремящимся к единице». Существует множество способов решения пределов.
Как решать пределы
Инструкция
1
Для того, чтобы научится решать пределы, рассмотрите следующий пример: lim при х>1=3х2+2х-8/х+1.
2
Разберитесь сначала, что означает «х стремится к единице». Это означает, что х попеременно принимает различные значения, которые бесконечно близки к величине, равной единице. То есть, это 1,1, после 1,01, затем 1,001, 1,0001, 1,00001 и так далее.
3
Из вышеуказанного можно сделать вывод, что икс почти совпадает с величиной, равной единице.
4
На основании этого решите дальше пример, получается что необходимо просто подставить единицу в заданную функцию. Получится: 3*12+2*1-8/1+1=-3/2=-1,5
Видео по теме
Полезный совет
При решении предела, сначала подставьте это число в функцию. Если х стремится к бесконечности, то в таком случае говорится, что предел бесконечен и обозначается limх→1 f(x)=∞.

Совет 2 : Как научиться решать пределы

Тема "Пределы и их последовательности" - это начало курса математического анализа, предмета, базового для любых технических специальностей. Умение находить пределы является необходимым для учащегося высших учебных заведений. Важно то, что сама тема довольно проста, главное знать "замечательные" пределы и способы их преобразования.
Предел - число, к которому будет стремится функция при заданном аргументе
Вам понадобится
  • Таблица замечательных пределов и следствий из них
Инструкция
1
Пределом функции называется такое число, в которое обращается функция в некоторой точке, к которой стремится аргумент.
2
Предел обозначается словом lim(f(x)), где f(x)- некоторая функция. Обычно внизу предела ставят запись x->x0, где x0 число, к которому стремится аргумент. Все вместе это читается: предел функции f(x) при аргументе x стремящемся к аргументу x0.
3
Простейший способ решить пример с пределом - подставить вместо аргумента x в заданную функцию f(x) число x0. Мы можем сделать это в тех случаях, когда после подстановки мы получаем конечное число. Если же мы получаем в итоге бесконечность, то есть знаменатель дроби оказывается равен нулю, мы должны использовать преобразования пределов.
4
Мы можем расписать предел, используя его свойства. Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения равен произведению пределов.
5
Очень важно использовать так называемые "замечательные" пределы. Суть первого замечательного предела в том, что когда у нас есть выражение с тригонометрической функцией, при аргументе, стремящемся к нулю, мы можем считать функции типа sin(x),tg(x),ctg(x) равными их аргументам х. А дальше мы опять подставляем вместо аргумента x значение аргумента x0 и получаем ответ.
Первый замечательный предел
6
Второй замечательный предел мы используем чаще всего в тех случаях, когда сумма слагаемых, одно из
которых равно единице, возводится в степень. Доказано, что при стремлении аргумента, в которую возводится сумма, к бесконечности, вся функция стремится к трансцендентному (бесконечному иррациональному) числу e, приближенно равному 2,7.
Второй замечательный предел
Видео по теме
Источники:
  • М. Я. Выгодский. "Справочник по высшей математике"

Совет 3 : Как решать предел функции

Решение пределов - это очень важная часть математического анализа. Предел функции - это далеко не самый сложный раздел. Так что научиться решать пределы можно довольно быстро.
Как решать предел функции
Инструкция
1
В первую очередь для того, чтобы научиться решать пределы, нужно понять, что из себя представляет предел. Это понятие означает, что некоторая переменная величина, зависящая от какой-то другой величины, приближается к конкретному значению по мере изменения этой второй величины. Предел принято обозначать знаком lim (x). Под этим знаком указывается к чему стремится х. Если под ним указано, например, х>5, то это показывает, что значение х постоянно стремится к пяти. Запись читается так «предел функции при х, стремящимся к пяти». Сейчас есть огромное количество способов для решения пределов.
2
Для того, чтобы лучше понять, как решать пределы, нужно разобрать следующий пример. Допустим дано: lim при х>2=3х-4/х+3. Сначала попробуйте уяснить для сбя, что под собой подразумевает то, что «х стремится к двум». Это выражение означает, что х со временем меняет свои значения. Но эти значения каждый раз оказываются все ближе и ближе к величине, равной двум. Другими словами, это 2,1, затем 2,01, 2,001, 2,0001, 2,00001. И так до бесконечности.
3
Из вышеизложенного можно сделать однозначный вывод, что х численно практически совпадает с величиной, равной двум. На этом основании данный пример очень легко решить. Нужно просто подставить двойку в заданную функцию. Получится: 3*2-4/2+3=6-2+3=7.
Полезный совет
При решении предела всегда пробуйте сначала подставлять число, к которому стремится х, в функцию. Если же х стремится не к конкретному числу, а к бесконечности, то считается, что предел бесконечен. Если вы сомневаетесь в правильности своего решения, то не беда. Есть он-лайн сервисы, которые предназначены для решения пределов. Так, например, на сайте http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/predel/funktsii/ для того чтобы решить предел? необходимо просто ввести все ваши данные в удобную форму для заполнения. Программа сама все посчитает и выдаст ответ.

Совет 4 : Как считать пределы

В учебниках по математическому анализу значительное внимание уделяется приемам вычисления пределов функций и последовательностей. Существуют готовые правила и методы, применяя которые, можно с легкостью решать даже относительно сложные задачи на пределы.
Как считать пределы
Инструкция
1
В математическом анализе существуют понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Например:
xn=n^2 - возрастающая последовательность
yn=1/n - убывающая последовательность
Так, например, предел последовательности xn=1/n^2 равен:
lim 1/n^2=0

x→∞
Данный предел равен нулю, поскольку n→∞, а последовательность 1/n^2 стремится к нулю.
2
Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией описывается замедление хода поезда, можно говорить о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

x→0
3
В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f'(x)/l'(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при

том - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)' равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что:
f'(x)=nx^(n-1)
Полезный совет
Пример задачи на нахождение предела по правилу Лопиталя.

Дано следующее выражение:

lim(1-cosx)/x^2
x →0

Поскольку cosx=1, возникает неопределенность типа 0/0.

Первая производная функции равна:

{(1-cosx)/x^2}'=sinx/2x

lim sinx/2x=0/0
x →0

Из последнего выражения видно, что неопределенность возникла вновь, поэтому необходимо взять вторую производную этой функции:

{(sinx)/2x}'=cosx/2

Теперь предел равен:

lim cosx/2=1/2
x→0

Ответ: lim(1-cosx)/x^2=1/2
x→0

Совет 5 : Как посчитать предел

Пределом функции f(x) при x, стремящемся к некоторому числу a, называется такое число b, когда для каждого положительного числа ε можно указать положительное число δ, удовлетворяющее условию: если |x - a| < ε, то |f(x) - b| < δ. Задача вычисления предела часто встречается в математическом анализе.
Как посчитать предел
Инструкция
1
Предел функции f(x) в точке a будем обозначать lim (f(x)), x → a.
2
Для любой функции, непрерывной в точке a, lim (f(x)), x → a = f(a).
3
Предел суммы функций при x → a равен сумме пределов этих функций при x → a, то есть lim (f(x) + g(x)), x → a = lim (f(x)), x → a + lim (g(x)), x → a.Например, lim (3x^2 + 8x), x → 2 равен lim (3x^2), x → 2 + lim (8x), x → 2 = 12 + 16 = 28.
4
Предел произведения функций при x → a равен произведению пределов этих функций при x → a, то есть lim (f(x)*g(x)), x → a = (lim (f(x)), x → a) * (lim (g(x)), x → a).Например, lim (sin(x)*cos(x)), x → 0 равен (lim (sin(x)), x → 0) * (lim (cos(x)), x → 0) = 0*1 = 0.
5
Аналогично, предел частного функций при x → a равен частному от деления их пределов, но только в том случае, если предел знаменателя не равен нулю: lim (f(x)/g(x)), x → a = (lim (f(x)), x → a) / (lim (g(x)), x → a), если lim (g(x)), x → a ≠ 0.Например, lim ((5x + 8)/(x - 2)), x → 4 равен (lim (5x + 8), x → 4) / (lim (x - 2), x → 4) = 28/2 = 14.
6
Если lim (f(x)), x → a = 0 и lim (g(x)), x → a = 0, то, вычисляя предел частного этих функций в точке a, вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0. Чтобы ее устранить, нужно постараться разложить числитель и знаменатель на множители и сократить те из них, которые обращаются в ноль при x = a.Например, пусть требуется найти lim ((x^2 - 9)/(x - 3)), x → 3. Упрощая дробь, вы получите (x^2 - 9)/(x - 3) = ((x - 3)*(x + 3))/(x - 3) = x + 3. Следовательно, искомый предел равен lim (x + 3), x → 3 = 6.
7
Если lim (f(x)), x → a = ±∞ и lim (g(x)), x → a = ±∞, то при вычислении предела частного этих функций в точке a вам придется устранить неопределенность типа ∞/∞. Это можно сделать, упростив выражение, как и в предыдущем случае. Другой способ раскрытия неопределенности состоит в том, чтобы разделить числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, присутствующей в выражении, а после этого попытаться вычислить предел согласно приведенным выше правилам.
8
Если числитель и знаменатель частного f(x)/g(x) одновременно стремятся к нулю или бесконечности при x → a, то для раскрытия неопределенности можно воспользоваться правилом Лопиталя. Согласно этому правилу, предел частного функций в точке a равен пределу частного их производных в той же точке, то есть lim (f(x)/g(x)), x → a = lim (f′(x)/g′(x)), x → a.Например, пусть нужно вычислить lim (x^2/(x - 5)), x → ∞. Дифференцируя обе функции, вы получите (x^2)′/(x-5)′ = 2x/1 = 2x. Предел этой функции при x → ∞ равен ∞.
Видео по теме

Совет 6 : пределы: как их посчитать

Значение любого выражения стремится к какому-либо пределу, величина которого является постоянной. Задачи на пределы весьма часто встречаются в курсе математического анализа. Их решение требует наличия ряда специфических знаний и навыков.
пределы: как их посчитать
Инструкция
1
Пределом называется некоторое число, к которому стремится переменная переменная или значение выражения. Обычно переменные или функции стремятся либо к нулю, либо к бесконечности. При пределе, равном нулю, величина считается бесконечно малой. Иными словами, бесконечно малыми называются величины, которые переменны и приближаются к нулю. Если предел стремится к бесконечности, то его называют бесконечным пределом. Обычно он записывается в виде:
lim x=+∞.
2
У пределов есть ряд свойств, некоторые из которых представляют собой аксиомы. Ниже представлены основные из них.
- одна величина имеет только один предел;

- предел постоянной величины равен величине этой постоянной;

- предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x + lim y;

- предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x * lim y

- постоянный множитель может быть вынесен за знак предела: lim(Cx) = C * lim x, где C=const;

- предел частного равен частному пределов: lim(x/y)=lim x / lim y.
3
В задачах с пределами встречаются как числовые выражения, так и производные этих выражений. Это может выглядеть, в частности, следующим образом:
lim xn=a (при n→∞).
Ниже представлен пример несложного предела:
lim 3n +1 /n+1

n→∞.
Для решения этого предела поделите все выражение на n единиц. Известно, что если единица делится на некоторую величину n→∞, то предел 1/n равен нулю. Справедливо и обратное: если n→0, то 1/0=∞. Поделив весь пример на n, запишите его в представленном ниже виде и получите ответ:
lim 3+1/n/1+1/n=3

n→∞.
4
При решении задач на пределы могут возникать результаты, которые называются неопределенностями. В таких случаях применяют правила Лопиталя. Для этого производят повторное дифференцирование функции, которое приведет пример в такую форму, в которой его можно было решить. Существуют два типа неопределенностей: 0/0 и ∞/∞. Пример c неопределенностью может выглядеть, в частности, следующим обращом:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

x→0.
5
Вторым видом неопределенности считается неопределенность вида ∞/∞. Она часто встречается, например, при решении логарифмов. Ниже показан пример предела логарифма:
lim lnx/sinx=(∞/∞)=lim1/x/cosx=0

x→ ∞.
Видео по теме

Совет 7 : Как вычислить предел последовательности

Если переменная, последовательность или функция имеет бесконечное количество значений, которые изменяются по некоторому закону, она может стремиться к определенному числу, которое и является пределом последовательности. Вычислять пределы можно различными способами.
Как вычислить предел последовательности
Вам понадобится
  • - понятие числовой последовательности и функции;
  • - умение брать производные;
  • - умение преобразовывать и сокращать выражения;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Чтобы вычислить предел, подставьте в его выражение предельное значение аргумента. Попробуйте произвести вычисление. Если это возможно, то значение выражения с подставленным значением и есть искомое число. Пример: Найдите значения предела последовательности с общим членом (3•x?-2)/(2•x?+7), если x > 3. Произведите подстановку предела в выражение последовательности (3•3?-2)/(2•3?+7)=(27-2)/(18+7)=1.
2
Если при попытке подстановки есть неопределенность, выберите способ, которым ее можно устранить. Это можно сделать, преобразовав выражения, в которых записывается последовательность. Произведя сокращения, получите результат. Пример: Последовательность (x+vx)/(x-vx), когда x > 0. При прямой подстановке получается неопределенность 0/0. Избавьтесь от нее, вынеся из числителя и знаменателя общий множитель. В данном случае это будет vx. Получите (vx•(vx+1))/(vx•(vx-1))= (vx+1)/(vx-1). Теперь поле подстановки получите 1/(-1)=-1.
3
Когда при неопределенности дробь невозможно сократить (особенно, если последовательность содержит иррациональные выражения) умножьте ее числитель и знаменатель на спряженное выражение, для того, чтобы убрать иррациональность из знаменателя. Пример: Последовательность x/(v(x+1)-1). Значение переменной x > 0. Умножьте числитель и знаменатель на спряженное выражение (v(x+1)+1). Получите (x• (v(x+1)+1))/( (v(x+1)-1)•(v(x+1)+1))=(x• (v(x+1)+1))/(x+1-1)= (x• (v(x+1)+1))/x=v(x+1)+1. Произведя подстановку, получите =v(0+1)+1=1+1=2.
4
При неопределенностях типа 0/0 или ?/? используйте правило Лопиталя. Для этого числитель и знаменатель последовательности представьте как функции, возьмите из них производные. Предел их отношений будет равен пределу отношений самих функций. Пример: Найти предел последовательности ln(x)/vx, при x > ?. Прямая подстановка дает неопределенность ?/?. Возьмите производные из числителя и знаменателя и получите (1/x)/(1/2•vx)=2/vx=0.
5
Для раскрытия неопределенностей пользуйтесь первым замечательным пределом sin(x)/x=1 при x>0, или вторым замечательным пределом (1+1/x)^x=exp при x>?. Пример: Найти предел последовательности sin(5•x)/(3•x) при x>0. Преобразуйте выражение sin(5•x)/(3/5•5•x) вынесите множитель из знаменателя 5/3•( sin(5•x)/(5•x)) используя первый замечательный предел получите 5/3•1=5/3.
6
Пример: Найти предел (1+1/(5•x))^(6•x) при x>?. Умножьте и поделите показатель степени на 5•x. Получите выражение ((1+1/(5•x))^(5•x)) ^(6•x)/(5•x). Применив правило второго замечательного предела, получите exp^(6•x)/(5•x)=exp.
Видео по теме

Совет 8 : Как определить предел функции

В математических справочниках дается несколько определений предела функции. Например, одно из них: число А может называться пределом функции f(x) в точке a, если анализируемая функция определена в окрестности точки а (за исключением самой точки а), при этом для каждого значения ε>0 должно быть такое δ>0, чтобы все х, удовлетворяющие условиям |x–a|
Как определить предел функции
Вам понадобится
  • - математический справочник;
  • - простой карандаш;
  • - тетрадь;
  • - линейка;
  • - ручка.
Инструкция
1
Представьте, что независимая переменная х стремится к числу а. Зная это, вы можете присвоить х любое значение, близкое к а, но не само а. При этом используется следующее обозначение: x→a. Допустим, значение функции f(x) также стремится к некому числу b: в этом случае b будет пределом функции.
2
Введите строгое определение предела f(x). В результате этого получится, что функция y=f(x) устремляется к пределу b при x→a, при условии, что для любого положительного числа ε может быть указано такое положительное число δ, чтобы при всех x, не равных a, из области определения данной функции справедливым было неравенство |f(x)-b|
3
Изобразите наглядно полученное неравенство. Поскольку из неравенства |x-a|
4
Обратите внимание на то, что предел анализируемой функции обладает свойствами, которые присущи числовой последовательности, то есть lim C = C при x, стремящейся к a. Другими словами, такая функция имеет предел, однако он единственный.
Видео по теме
Обратите внимание
Помните: неограниченная функция не всегда будет бесконечно большой!
Полезный совет
Если имеется δ>0, при котором все x, принадлежащие δ-окрестности, будут точками a, неравенство приобретет следующий вид: g (x) ≤ f (x) ≤ h (x).
Источники:
  • Переменные и постоянные величины

Совет 9 : Как находить пределы функций

Расчет пределов функций — фундамент математического анализа, которому посвящено немало страниц в учебниках. Однако подчас не понятно не только определение, но и сама суть предела. Говоря простым языком, предел - это приближение одной переменной величины, которая зависит от другой, к какому-то конкретному единственному значению по мере изменения этой другой величины. Для успешного вычисления достаточно держать в уме простой алгоритм решения.
Как находить пределы функций
Инструкция
1
Подставьте предельную точку (стремящийся к какому-либо числу «х») в выражение после знака предела. Такой способ наиболее прост и экономит много времени, поскольку в результате получается однозначное число. Если же возникают неопределённости, то следует воспользоваться следующими пунктами.
2
Помните определение производной. Из него следует, что скорость изменения функции неразрывно связана с пределом. Следовательно, вычисляйте любой предел через производную по правилу Бернулли-Лопиталя: предел двух функций равен отношению их производных.
3
Сократите каждое слагаемое на старшую степень переменной, стоящей в знаменателе. В результате вычислений у вас получится или бесконечность (если старшая степень знаменателя больше такой же степени числителя), или ноль (наоборот), или некоторое число.
4
Попытайтесь разложить дробь на множители. Правило эффективно при неопределенности вида 0/0.
5
Умножьте числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение, в особенности если после «lim» есть корни, дающие неопределённость вида 0/0. В результате получится разность квадратов без иррациональности. Например, если в числителе стоит иррациональное выражение (2 корня), то нужно умножить на равное ему, с обратным знаком. Из знаменателя корни не уйдут, однако их можно будет посчитать, выполнив п.1.
Полезный совет
При вычислениях помните, что любое число, делённое на бесконечность, есть бесконечно малая величина, которую при расчётах можно принять равной нулю.

Пользуйтесь теоремами о пределах для решения простейших задач, в особенности тригонометрических, но не забывайте просчитывать, к чему стремится выражение под знаком предела.

При затруднениях используйте онлайн-калькуляторы, которые можно легко найти в интернете.

Выносите постоянные множители (числа) за знак предела.
Источники:
  • Замечательные пределы

Совет 10 : Как определить предел

Предел в математической теории имеет несколько значений. Так, предел последовательности обозначает элемент пространства, обладающий свойством привлекать к себе другие составляющие этой последовательности. Особенность последовательности либо иметь, либо не иметь предельное значение называется сходимостью.
Как определить предел
Инструкция
1
Предел функции (ПФ) в определенной точке, являющейся предельной для области определения данной конкретной функции обозначает величину, к коей она стремится при условии стремления ее аргумента (Х) к этой точке. Это наиболее часто используемое в теории математики понятие, которое обобщает понятие предела последовательности, потому что в ходе формирования понятий ПФ называли предел последовательности составляющих области значений определенной функции, состоящей из образов точек ряда элементов области ее определения, которые сходились к определенной точке. ПФ имеют различные варианты определения, основными из которых являются определения Коши и Гейне.
2
Вариант Коши: число L будет равно ПФ, для определенной функции F на интервале с точкой X, равной точке (т.) А , при Х стремящемся к А, если для каждого Е>0 есть D>0. При этому будут соблюдаться неравенства | f (x) - L|
Вариант определения ПФ по Гейне выражается так: F будет иметь предельное число L в определенной т. X, равной т. А, если для всех последовательностей, которые сходятся в точке А, последовательности будут сходиться к L. Эти определения не противоречат друг другу и являются эквивалентными.

Определение ПФ с использованием нескольких основных теорем:- Предельное значение суммы 2 функций, если Х стремится к А, будет равен сумме их предельных значений. - Предел произведения 2 функций, если Х стремится к А, будет соответствовать произведению их предельных значений. - Предел частного 2 функций, если Х стремится к А, будет равен частному их предельных значений, в том случае, если предел знаменателя в формуле не равен нулю.- Все элементарные функции являются непрерывными в точке, для которой они определены.- Предел определенной постоянной величины является самой постоянной величиной.

ПФ, являющийся одним из основополагающих понятий математического анализа, показывает изменение значения конкретной функции при бесконечно большом значении аргумента.
3
Вариант определения ПФ по Гейне выражается так: F будет иметь предельное число L в определенной т. X, равной т. А, если для всех последовательностей, которые сходятся в точке А, последовательности будут сходиться к L. Эти определения не противоречат друг другу и являются эквивалентными.
4
Определение ПФ с использованием нескольких основных теорем:- Предельное значение суммы 2 функций, если Х стремится к А, будет равен сумме их предельных значений. - Предел произведения 2 функций, если Х стремится к А, будет соответствовать произведению их предельных значений. - Предел частного 2 функций, если Х стремится к А, будет равен частному их предельных значений, в том случае, если предел знаменателя в формуле не равен нулю.- Все элементарные функции являются непрерывными в точке, для которой они определены.- Предел определенной постоянной величины является самой постоянной величиной.
5
ПФ, являющийся одним из основополагающих понятий математического анализа, показывает изменение значения конкретной функции при бесконечно большом значении аргумента.

Совет 11 : Как находить пределы

Как правило, изучение методологии вычисления пределов начинают с изучения пределов дробно-рациональных функций. Далее рассматриваемые функций усложняются, а также расширяется набор правил и способов работы с ними (например, правило Лопиталя). Однако не стоит забегать вперед, лучше, не изменяя традиции, рассмотреть вопрос о пределах дробно-рациональных функций.
Как находить пределы
Инструкция
1
Следует напомнить, что дробно-рациональной называется функция, представляющая собой отношение двух рациональных функций: R(x)=Pm(x)/Qn(x).Здесь Pm(x)=a0x^m+a1x^(m-1)+…+a(m-1)x+am; Qn(x)=b0x^n+b1x^(n-1)+…+b(n-1)x+bn
2
Рассмотрите вопрос о пределе R(x) на бесконечности. Для этого преобразуйте вид Pm(x) и Qn(x).Pm(x)=(x^m)(a0+a1(x^((m-1)-m))+…+a(m-1)(x^(1-m))+am(x^(-m)))=(x^m)(a0+a1(1/x)+…+a(m-1)(1/x^(m-1))+am/(1/x^m).
3
пределы/strong" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> При х, стремящемся к бесконечности, все пределы вида 1/x^k (k>0) обращаются в нуль. То же самое можно сказать о Qn(x). Осталось разобраться с пределом отношения (x^m)/(x^n)= x^(m-n) на бесконечности. Если n>m, он равен нулю, если n
4
Теперь следует предположить, что x стремится к нулю. Если применить подстановку y=1/x и, считая, что an и bm отличны от нуля, то получится, что при x, стремящемся к нулю, y стремится к бесконечности. После несложных преобразований, которые вы можете легко выполнить самостоятельно), становится ясно, что правило нахождения предела приобретает вид (см. рис. 2).
5
Более серьезные задачи возникают при поиске пределов, в которых аргумент стремится к числовым значениям, где знаменатель дроби равен нулю. Если в этих точках числитель также равен нулю, то возникают неопределенности типа [0/0], иначе в них находится устранимый разрыв, и предел будет найден. В противном случае он не существует (в том числе и равен бесконечности).
6
Методология поиска предела в данной ситуации следующая. Известно, что любой многочлен можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей, причем квадратичные множители всегда отличны от нуля. Линейные всегда перепишутся в виде кx+c= k(x-a), где a=-c/k.
7
При этом известно, что если х=a – корень многочлена Pm(x)=a0x^m+a1x^(m-1)+…+a(m-1)x+am (то есть решение уравнения Pm(x)=0), то Pm(x)=(x-a)P(m-1)(x). Если при этом x=a и корень Qn(х), то Qn(x)=(x-a)Q(n-1)(x). Тогда R(x)=Pm(x)/Qn(x)=P(m-1)(x)/Q(n-1)(x).
8
Когда x=a более не является корнем хотя бы одного из вновь полученных многочленов, то задача поиска предела решена и lim(x→a)(Pm(x)/Qn(x))=P(m-1)(a)/Qn(a). Если нет, то предложенную методику следует повторять вплоть до устранения неопределенности.
Видео по теме
Источники:
  • Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - М.: Высш. школа. 2003. - 479 с.

Совет 12 : Как находить пределы последовательности

Изучение методологии вычисления пределов начинается как раз с вычисления пределов последовательностей, где нет большого многообразия. Причина – аргумент всегда натуральное число n, стремящийся к положительной бесконечности. Поэтому все более сложные случаи (в процессе эволюции процесса обучения) выпадают на долю функций.
Как находить пределы последовательности
Инструкция
1
Числовую последовательность можно понимать как функцию xn=f(n), где n - натуральное число (обозначается {xn}). Сами числа xn называются элементами или членами последовательности, n – номер члена последовательности. Если функция f(n) задана аналитически, то есть формулой, то xn=f(n) называют формулой общего члена последовательности.
2
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер n=n(ε), начиная с которого выполняется неравенство |xn-a |
Первый способ вычисления предела последовательности основан на ее определении. Правда следует запомнить, что путей непосредственного поиска предела он не дает, а позволяет лишь доказать, что какое-либо число а является (или не является) пределом.Пример 1. Доказать, что последовательность {xn}={(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} имеет предел а=3.Решение. Проводите доказательство путем применения определения в обратном порядке. То есть справа налево. Предварительно проверьте – нет ли возможности упростить формулу для xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))= )=(3n+1)/(n+2).Рассмотрите неравенство |(3n+1)/(n+2)-3|0 можно найти любое натуральное число nε, большее -2+5/ε.

Пример 2. Доказать, что в условиях примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >0).Запишите заключающее неравенство общего определения |(3n+1)/(n+2)-1|

Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или иррациональных выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей степени. Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>k (n стремится к бесконечности). После этого запишите ответ: 0, если pq.

Укажем не традиционный способ нахождения предела последовательности и бесконечных сумм. Будем использовать функциональные последовательности (их члены функции, определенные на некотором промежутке (a,b)).Пример 3. Найти сумму вида 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Решение. Любое число а^0=1. Положите 1=exp(0) и рассмотрите функциональную последовательность {1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n!}, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.
3
Первый способ вычисления предела последовательности основан на ее определении. Правда следует запомнить, что путей непосредственного поиска предела он не дает, а позволяет лишь доказать, что какое-либо число а является (или не является) пределом.Пример 1. Доказать, что последовательность {xn}={(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} имеет предел а=3.Решение. Проводите доказательство путем применения определения в обратном порядке. То есть справа налево. Предварительно проверьте – нет ли возможности упростить формулу для xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))= )=(3n+1)/(n+2).Рассмотрите неравенство |(3n+1)/(n+2)-3|0 можно найти любое натуральное число nε, большее -2+5/ε.
4
Пример 2. Доказать, что в условиях примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >0).Запишите заключающее неравенство общего определения |(3n+1)/(n+2)-1|
5
Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или иррациональных выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей степени. Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>k (n стремится к бесконечности). После этого запишите ответ: 0, если pq.
6
Укажем не традиционный способ нахождения предела последовательности и бесконечных сумм. Будем использовать функциональные последовательности (их члены функции, определенные на некотором промежутке (a,b)).Пример 3. Найти сумму вида 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Решение. Любое число а^0=1. Положите 1=exp(0) и рассмотрите функциональную последовательность {1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n!}, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500