Совет 1: Как найти пределы по правилу лопиталя

Краткая историческая справка: маркиз Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь обожал математику и был настоящим меценатом для известных ученых. Так Иоганн Бернулли был его постоянным гостем, собеседником и даже сотрудником. Существует предположение, что Бернулли подарил право авторства известного правила Лопиталю в знак благодарности за его услуги. В пользу этой точки зрения говорит тот факт, что доказательство к правилу было официально опубликовано спустя 200 лет еще одним известным математиком Коши.
Как найти пределы по правилу лопиталя
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага.
Инструкция
1
Правило Лопиталя заключается в следующем: предел отношения функций f(x) и g(x), при х стремящемуся к точке а, равен соответствующему пределу отношения производных этих функций. При этом значение g(a) не равно нулю, как и значение ее производной в этой точке (g’(a)). Кроме того предел g’(a) существует. Аналогичное правило действует и при x, стремящемуся к бесконечности. Таким образом можно записать (см. рис.1):
рис.1
2
Правило Лопиталя позволяет устранять неопределенности типа ноль делить на ноль и бесконечность делить на бесконечность ([0/0], [∞/∞] Если на уровне первых производных вопрос еще не разрешен, следует использовать производные второго и даже большего порядка.
3
Пример 1. Найти предел при х стремящемуся к 0 отношения sin^2(3x)/tg(2x)^2.
Здесь f(x)=sin^2(3x), g(x)=tg(2x)^2. f’(x)=2•3sin3xcos3x=6sin3xcos3x, g’(x)=4x/cos^2(2x)^2. lim(f’(x)/g’(x))=lim(6sin3x/4x), так как cos(0)=1. (6sin3x)’=18cos3x, (4x)’=4. Итак (см. рис. 2):
рис.2
4
Пример 2. Найти предел на бесконечности рациональной дроби (2x^3+3x^2+1)/(x^3+4x^2+5x+7). Ищем отношение первых производных. Это (6x^2+6x)/(3x^2+8x+5). Для вторых производных (12x+6)/(6x+8). Для третьих 12/6=2 (см. рис.3).
рис.3
5
Остальные неопределенности, на первый взгляд, не подлежат раскрытию с помощью правила Лопиталя, т.к. не содержат отношения функций. Однако некоторые предельно простые алгебраические преобразования могут помочь устранить их. Прежде всего можно ноль умножить на бесконечность [0•∞]. Любую функцию q(x) → 0 при х → а можно переписать в виде
q(x)=1/(1/q(x)) и здесь (1/q(x))→∞.
6
Пример 3.
Найти предел (см. рис.4)
В данном случае есть неопределенность ноль умножить на бесконечность. Преобразовав это выражение получите: xlnx=lnx/(1/x), то есть соотношение вида [∞-∞]. Применив правило Лопиталя, получите отношение производных (1/x)/(-1/x2)=-х. Так как х стремится к нулю, , решение предела будет ответ: 0.
рис.4
7
Неопределенность вида [∞-∞], раскрывается, если имеется в виду разность каких-либо дробей. Приведя эту разность к общему знаменателю, получите некоторое отношение функций.

Неопределенности типа 0^∞, 1^∞, ∞^0 возникают при вычислении пределов функций типа p(x)^q(x). В этом случае применяют предварительное дифференцирование. Тогда логарифм искомого предела А примет вид произведения, возможно, что с готовым знаменателем. Если нет, то можно использовать методику примера 3. Главное не забыть записать окончательный ответ в виде е^А (см. рис.5).
рис.5
Видео по теме
Источники:
  • вычислить предел функции не пользуясь правилом лопиталя в 2019

Совет 2 : пределы: как их посчитать

Значение любого выражения стремится к какому-либо пределу, величина которого является постоянной. Задачи на пределы весьма часто встречаются в курсе математического анализа. Их решение требует наличия ряда специфических знаний и навыков.
пределы: как их посчитать
Инструкция
1
Пределом называется некоторое число, к которому стремится переменная переменная или значение выражения. Обычно переменные или функции стремятся либо к нулю, либо к бесконечности. При пределе, равном нулю, величина считается бесконечно малой. Иными словами, бесконечно малыми называются величины, которые переменны и приближаются к нулю. Если предел стремится к бесконечности, то его называют бесконечным пределом. Обычно он записывается в виде:
lim x=+∞.
2
У пределов есть ряд свойств, некоторые из которых представляют собой аксиомы. Ниже представлены основные из них.
- одна величина имеет только один предел;

- предел постоянной величины равен величине этой постоянной;

- предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x + lim y;

- предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x * lim y

- постоянный множитель может быть вынесен за знак предела: lim(Cx) = C * lim x, где C=const;

- предел частного равен частному пределов: lim(x/y)=lim x / lim y.
3
В задачах с пределами встречаются как числовые выражения, так и производные этих выражений. Это может выглядеть, в частности, следующим образом:
lim xn=a (при n→∞).
Ниже представлен пример несложного предела:
lim 3n +1 /n+1

n→∞.
Для решения этого предела поделите все выражение на n единиц. Известно, что если единица делится на некоторую величину n→∞, то предел 1/n равен нулю. Справедливо и обратное: если n→0, то 1/0=∞. Поделив весь пример на n, запишите его в представленном ниже виде и получите ответ:
lim 3+1/n/1+1/n=3

n→∞.
4
При решении задач на пределы могут возникать результаты, которые называются неопределенностями. В таких случаях применяют правила Лопиталя. Для этого производят повторное дифференцирование функции, которое приведет пример в такую форму, в которой его можно было решить. Существуют два типа неопределенностей: 0/0 и ∞/∞. Пример c неопределенностью может выглядеть, в частности, следующим обращом:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

x→0.
5
Вторым видом неопределенности считается неопределенность вида ∞/∞. Она часто встречается, например, при решении логарифмов. Ниже показан пример предела логарифма:
lim lnx/sinx=(∞/∞)=lim1/x/cosx=0

x→ ∞.
Видео по теме

Совет 3 : Как находить пределы функций в 2019 году

Расчет пределов функций — фундамент математического анализа, которому посвящено немало страниц в учебниках. Однако подчас не понятно не только определение, но и сама суть предела. Говоря простым языком, предел - это приближение одной переменной величины, которая зависит от другой, к какому-то конкретному единственному значению по мере изменения этой другой величины. Для успешного вычисления достаточно держать в уме простой алгоритм решения.
Как находить пределы функций
Инструкция
1
Подставьте предельную точку (стремящийся к какому-либо числу «х») в выражение после знака предела. Такой способ наиболее прост и экономит много времени, поскольку в результате получается однозначное число. Если же возникают неопределённости, то следует воспользоваться следующими пунктами.
2
Помните определение производной. Из него следует, что скорость изменения функции неразрывно связана с пределом. Следовательно, вычисляйте любой предел через производную по правилу Бернулли-Лопиталя: предел двух функций равен отношению их производных.
3
Сократите каждое слагаемое на старшую степень переменной, стоящей в знаменателе. В результате вычислений у вас получится или бесконечность (если старшая степень знаменателя больше такой же степени числителя), или ноль (наоборот), или некоторое число.
4
Попытайтесь разложить дробь на множители. Правило эффективно при неопределенности вида 0/0.
5
Умножьте числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение, в особенности если после «lim» есть корни, дающие неопределённость вида 0/0. В результате получится разность квадратов без иррациональности. Например, если в числителе стоит иррациональное выражение (2 корня), то нужно умножить на равное ему, с обратным знаком. Из знаменателя корни не уйдут, однако их можно будет посчитать, выполнив п.1.
Полезный совет
При вычислениях помните, что любое число, делённое на бесконечность, есть бесконечно малая величина, которую при расчётах можно принять равной нулю.

Пользуйтесь теоремами о пределах для решения простейших задач, в особенности тригонометрических, но не забывайте просчитывать, к чему стремится выражение под знаком предела.

При затруднениях используйте онлайн-калькуляторы, которые можно легко найти в интернете.

Выносите постоянные множители (числа) за знак предела.
Источники:
  • Замечательные пределы
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500