Совет 1: Как найти периметр четырёхугольника

Четырехугольник представляет собой геометрическую фигуру, обладающую четырьмя сторонами и таким же количеством углов. Независимо от типов четырехугольников, для подсчета их периметра существует единый подход. Но у него есть свои разновидности, которые вытекают из типа четырехугольника.

Вам понадобится

• Знать все стороны четырехугольника.

Инструкция

1. Для того, чтобы рассчитать периметр четырехугольника ABCD со сторонами AB, BC, CD и DA, нужно сложить вместе каждую из его его сторон:
   
   P = AB+BC+CD+DA, где
   
   P - периметр четырехугольника.
2. Если дан квадрат со стороной a (у квадрата все стороны равны), то его периметр будет вычислен таким образом:
   
   P = 4*a.
   
3. Если дан прямоугольник или параллелограмм (у них обоих противолежащие стороны равны), то его площадь будет рассчитываться так:
   
   P = 2*(a+b), где a и b - стороны прямоугольника/параллелограмма.
   
4. Уравнением F (x, y) можно задать кривую или прямую линию при выполнении двух условий: если координаты точки, которая не принадлежит заданной линии, не удовлетворяют уравнению; если каждая точка искомой линии со своими координатами удовлетворяет этому уравнению.
5. Уравнение вида x+√(y(2r-y) )=r arccos (r-y)/r задает в декартовых координатах циклоиду – траекторию, которая описывается точкой на окружности c радиусом r. При этом окружность не скользит по оси абсцисс, а катится. Какая при этом получается фигура, смотрите на рисунке 1.
   
6. Фигура, координаты точек которой задаются следующими уравнениями:
   x=(R+r) cosφ - rcos (R+r)/r φ
   y=(R+r) sinφ - rsin (R-r)/r φ,
   называется эпициклоидой. Она показывает траекторию, которую описывает точка на окружности с радиусом r. Эта окружность катится по другой окружности, имеющей радиус R, с внешней стороны. То, как выглядит эпициклоида, смотрите на рисунке 2.
   
7. Если окружность, имеющая радиус r, скользит по другой окружности с радиусом R с внутренней стороны, то траектория, описываемая точкой на движущейся фигуре, называется гипоциклоидой. Координаты точек полученной фигуры можно найти через следующие уравнения:
   
   x=(R-r)cosφ+rcos (R-r)/r φ
   y=(R-r)sinφ-rsin (R-r)/r φ
   
   На рисунке 3 изображен график гипоциклоиды.
   
8. Если вы видите параметрическое уравнение типа
   
   x=x ̥+Rcosφ
   y=y ̥+Rsinφ
   
   или каноническое уравнение в декартовой системе координат
   
   x2 + y2 = R2,
   
   то при построении графика вы получите окружность. Смотрите рисунок 4.
   
9. Уравнение вида
   
   x²/a² + y²/b² =1
   
   описывает геометрическую фигуру под названием эллипс. На рисунке 5 вы увидите график эллипса.
   
10. Уравнением квадрата будет следующее выражение:
    
    |x|+|y| = 1
    
    Обратите внимание, что в данном случае квадрат расположен по диагонали. То есть оси абсцисс и ординат, ограниченные вершинами квадрата, являются диагоналями этой геометрической фигуры. График, на котором изображено решение данного уравнения, смотрите на рисунке 6.
    
11. Параллелограммом в геометрии называется фигура с четырьмя углами, у которой параллельны противоположные стороны. Таким образом, ромб, квадрат и прямоугольник являются разновидностями этого четырехугольника.
12. Докажите, что две из противолежащих сторон равны и параллельны относительно друг друга. В параллелограмме ABCD это признак выглядит так: AB=CD и AB||CD. Нарисуйте диагональ АС. Полученные треугольники окажутся равными по второму признаку. АС - общая сторона, углы ВАС и АСD, также как и ВСА и CAD, равны как лежащие накрест при параллельных прямых AB и CD (дано в условии). Но так как эти накрест лежащие углы относятся и к сторонам AD и BC, значит эти отрезки также лежат на параллельных прямых, что и подвергалось доказательству.
13. Важным элементами доказательства, что ABCD параллелограмм, являются диагонали, так как в этой фигуре при пересечении в точке O они делятся на равные отрезки (AO=OC, BO=OD). Треугольники AOB и COD равны, так как равны их стороны в связи с данными условиями и вертикальные углы. Из этого следует, что и углы DBA и CDB также как и CAB и ACD равны.
14. Но эти же углы являются накрест лежащими при том, что прямые AB и CD параллельны, а роль диагонали выполняет секущая. Доказав таким образом, что и два других образованных диагоналями треугольники равны, вы получите, что данный четырехугольник параллелограмм.
15. Еще одно свойство, по которому можно доказать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм звучит так: противоположные углы этой фигуры равны, то есть угол B равен углу D, а угол C равен A. Сумма углов треугольников, которые мы получим, если проведем диагональ AC, равна 180°. Исходя из этого получаем, что сумма всех углов данной фигуры ABCD равна 360°.
16. Вспомнив условия задачи, можно легко понять, что угол A и угол D в сумме составят 180°, аналогично угол C + угол D = 180°. В тоже время эти углы являются внутренними, лежат на одной стороне, при соответствующих им прямых и секущих. Отсюда следует, что прямые BC и AD параллельны, и приведенная фигура является параллелограммом.