Совет 1: Как найти высоту треугольника

Под высотой треугольника понимается отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины треугольника к противоположной стороне. Высота треугольника вполне может совпадать со стороной треугольника, если он прямоугольный, а также находиться вне треугольника, если треугольник остроугольный. Расчет длины высоты зависит от типа треугольника.
Вам понадобится
  • Знать стороны треугольника, а также его площадь.
Инструкция
1
Способ 1. Для всех треугольников.
Пусть в треугольнике ABC AK - высота, опущенная на сторону BC (рис.2), а S - площадь треугольника. Тогда высота AK будет высчитана по формуле:
AK = (2*S)/BC.
Как найти <b>высоту</b> <strong>треугольника</strong>
2
Способ 2. Если перед нами равнобедренный треугольник со равными сторонами a, основанием b. Тогда высоту h, опущенную на основание равнобедренного треугольника, можно рассчитать по следующей формуле(она получается из теоремы Пифагора):
h = v(a2?(b2)/4)).
Как найти <b>высоту</b> <strong>треугольника</strong>
3
Способ 3. Пусть дан равносторонний треугольник со стороной a. В таком случае высоту h можно вычислить, использую такую формулу:
h = (a*v3)/2
Как найти <b>высоту</b> <strong>треугольника</strong>

Совет 2: Как найти высоту

Под высотой треугольника понимается такой отрезок, который проведен перпендикулярно из вершины треугольника к противоположной этой высоте стороне. Для подсчета ее длины существуют несколько способов, которые зависят от вида треугольника.
Вам понадобится
  • Данные о площади и сторонах треугольника.
Инструкция
1
Общий способ подсчета длины высоты. Пусть h - высота в треугольнике ABC, опущенная из высоты A к стороне BC. Площадь этого треугольника равна S. Тогда высоту h можно будет подсчитать по этой формуле:
h = 2S/a, где a - это сторона, к которой и проведена высота.
AK - высота, проведенная к стороне BC
2
Если дан равнобедренный треугольник, у которого a - боковая сторона, а сторона b является его основанием, то рассчитать высоту данного треугольника можно будет по такой формуле:
h = v(4*a*a -b*b)/2, где а*а и b*b - это квадрат длины сторон а и с соответственно.
Как найти <strong>высоту</strong>
3
Рассмотрим равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон совпадают и равны a. Тогда высота в таком треугольнике рассчитывается так:
h = (a*v3)/2
Как найти <strong>высоту</strong>
Видео по теме

Совет 3: Как провести высоту треугольника

Решение геометрических задачек часто пригождается в повседневной жизни, а потому не грех вспомнить некоторые простые вещи, например, как найти высоту треугольника
Инструкция
1
Высота треугольника - это перпендикуляр, который был опущен из любой вершины треугольника на прямо противоположную сторону. А сторона, на которую опустили перпендикуляр - основание треугольника.
2
В тупоугольном треугольнике две его высоты лежат снаружи треугольника, и только третья высота находится внутри треугольника.
3
В треугольнике с острыми углами все его высоты расположены внутри треугольника.
4
В треугольнике прямоугольном катеты являются высотами треугольника.
5
Свойства высоты треугольника:

• Все три высоты в итоге неизменно пересекаются в одной точке, которая имеет название - Ортоцентр.

• В прямоугольном треугольнике высотой является перпендикуляр, который проведен из вершины прямого угла

• Основания высот образуют ортотреугольник, он обладает собственными свойствами
6
Способ вычисления высоты зависит от вида треугольника, в котором находится искомая высота. Вычислить высоту треугольника можно через другие его стороны и углы.

Совет 4: Как найти высоты треугольника

Геометрия - не только школьный предмет, по которому надо получить хорошую оценку. Расчет высоты треугольника может понадобиться и в практической жизни. Например, если вы строите дом с высокой крышей и вам надо рассчитать количество и толщину бревен.
Вам понадобится
  • Линейка Угольник Карандаш Транспортир Таблицы синусов и косинусов
Инструкция
1
Постройте треугольник с заданными параметрами. Вам известны либо два угла треугольника и сторона между ними, либо угол и длина двух сторон, между которыми он находится, либо три стороны.

Обозначьте вершины углов треугольника как А, В и С. Обозначьте углы соответственно как ?,?, ? Противолежащие стороны обозначьте как a,b,c.

Вспомните, что такое высота. Это перпендикуляр, проведенный из угла треугольника к его противоположной стороне. Возьмите угольник и проведите такие перпендикуляры ко всем сторонам треугольника. Обозначьте высоты буквой h с соответствующими сторонам треугольника индексами a,b,c.
Как найти <strong>высоты</strong> <b>треугольника</b>
2
Вычислите длину всех сторон треугольника и все его углы по теоремам синусов и косинусов.

Вычислите высоту, опущенную из заданного угла, по формуле: высота, опущенная из угла С, равна произведению синуса любого другого угла на длину прилежащей к нему стороны.
Как найти <strong>высоты</strong> <b>треугольника</b>
Видео по теме
Обратите внимание
Высоты остроугольного треугольника находятся внутри него. У тупоугольного треугольника одна высота (та, которая идет от тупого угла) проходит внутри треугольника, а две другие - вне его. У прямоугольного треугольника две высоты совпадают с катетами, а одна находится внутри треугольника. Все три высоты пересекаются в ортоцентре, который может находиться внутри, вне или на катете треугольника. В прямоугольном треугольнике две высоты известны, поскольку они же являются катетами. Третью высоту находим по теореме Пифагора,отняв от квадрата отрезка АС, который является одновременно гипотенузой треугольника СDА, квадрат отрезка АD. Размер этого отрезка легко вычислить, зная о подобии треугольников. Гипотенуза АВ относится к гипотенузе СВ так же, как катет ВС относится к катету DB. Стороны прямоугольного треугольника вычисляются по теореме Пифагора. Стороны остроугольного треугольника вычисляются по теоремам синуса или косинуса
Полезный совет
Для определения синусов и косинусов пользуйтесь математическими таблицами.

Совет 5: Как вычислить высоту треугольника

Отрезок прямой, проведенный из вершины треугольника в направлении противолежащей стороны и перпендикулярный ей называется высотой треугольника. Противоположная сторона называется основанием, а поскольку вершин и сторон у треугольника по три, то и высот по разным основаниям столько же. В зависимости от известных параметров треугольника, для вычисления высоты можно использовать разные формулы, некоторые из которых приведены ниже.
Инструкция
1
Используйте для нахождения высоты треугольника формулу Ha=2*S/A, если известны его площадь (S) и длина стороны, противолежащей углу, из которого проведена высота (A). Эта сторону называют основанием, а высоту обозначают, как «высота по основанию A» (Ha). Например, если площадь треугольника равна 40 квадратным сантиметрам, а длина основания составляет 10 см, то высота будет вычислена так: 2*40/10 = 8 см.
2
Если длина основания не известна, но известна длина прилежащей к нему стороны (B) и угол между основанием и этой стороной (γ), то высоту (Ha) можно выразить, как половину произведения длины этой стороны на синус известного угла: Ha=B*sin(γ). Например, если длина прилегающей стороны равна 10 см, а угол составляет 40°, то высоту можно вычислить так: 10*sin(40°) = 10*0,643 = 6,43 см.
3
Если известны длины всех трех сторон треугольника (A, B и C) и радиус вписанного в него круга (r), то высоту, проведенную из любой из сторон можно выразить как произведение радиуса вписанной окружности на сумму длин сторон треугольника, поделенное на длину основания. Например, для высоты, проведенной из стороны A, эту формулу можно записать так: Ha=r*(A+B+C)/A.
4
Из предыдущей формулы вытекает, что знать длины всех сторон не обязательно, если известны длина периметра (P), длина основания (A) и радиус вписанной в треугольник окружности (r). Тогда для вычисления высоты по основанию A будет достаточно перемножить длину периметра на радиус вписанной окружности и разделить на длину основания: Ha=r*P/A.
5
Если вместо радиуса вписанной окружности известен радиус описанной (R) и длины всех сторон треугольника (A, B и C), то для нахождения высоты по любому основанию надо перемножить длины всех сторон, а полученный результат разделить на удвоенное произведение радиуса описанной окружности на длину основания. Например, для высоты, проведенной из стороны A, эту формулу можно записать так: Ha=A*B*C/(2*R*A).
Видео по теме
Источники:
  • вычисление высоты треугольника

Совет 6: Как найти высоту треугольника по 3 сторонам

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из угла к противолежащей стороне. Высота необязательно лежит внутри этой геометрической фигуры. В некоторых видах треугольников перпендикуляр попадает на продолжение противолежащей стороны и оказывается за пределами площади, ограниченной линиями. В любом случае образуются новые прямоугольные треугольники, часть параметров которых вам известна. По ним можно вычислить высоту.
Вам понадобится
  • - треугольник с заданными сторонами;
  • - карандаш;
  • - угольник;
  • - свойства высоты треугольника;
  • - теорема Герона;
  • - формулы площади треугольника.
Инструкция
1
Постройте треугольник с заданными сторонами. Обозначьте его как АВС. Известные стороны обозначьте цифрами или буквами а, b и с. Сторона а лежит напротив угла А, стороны b и с — соответственно, напротив углов В и С. Проведите высоты ко всем сторонам треугольника и обозначьте их как h1, h2 и h3.
2
Высоту треугольника по трем сторонам можно найти через разные формулы его площади. Вспомните, чему равна площадь треугольника. Она вычисляется перемножением основания на высоту и делением полученного результата на 2. В то же время, площадь можно найти по формуле Герона. В этом случае она равна квадратному корню из произведения полупериметра и разностей его со всеми сторонами. То есть а*h/2=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c), где h – высота, p – полупериметр, а, b, c – стороны треугольника.
3
Найдите полупериметр. Он вычисляется сложением размеров всех сторон. Его можно выразить формулой p=(a+b+c)/2. Вместо букв подставьте соответствующие числовые значения. Посчитайте разность полупериметра с каждой из его сторон.
4
Найдите высоту h1, опущенную на сторону a. Она может быть выражена дробью, в знаменателе которой стоит величина а. Числитель этой дроби представляет собой квадратный корень из произведения полупериметра и его разностей со всеми сторонами данного треугольника. h1=(√p*(p-a)*(p-b)*(p-c))/a,
5
Можно полупериметр специально не вычислять, а выразить площадь по другому варианту этой же формулы. Она равна четверти квадратного корня из произведения суммы всех сторон на суммы каждых двух из них с вычтенным из этой суммы размером третьей стороны. То есть S=1/4*√(a+b+c)*(a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a). Дальше высота вычисляется точно так же, как и в первом случае.
6
Остальные две высоты можно вычислить по этой же формуле. Но можно воспользоваться и тем, что отношение высот между собой связано с отношением соответствующих сторон и может быть выражено формулой h1:h2=1/a:1/b. Вам уже известна h1, а стороны a и b заданы в условиях. Поэтому решите пропорцию, перемножив h1 и 1/а и разделив все это на 1/b. Точно таким же образом через любую из уже известных высот можно найти и третью сторону.

Совет 7: Как найти большую высоту

Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других величину. Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма.
Инструкция
1
Определите, которая из высот многоугольника должна иметь наибольшую длину. В треугольнике это отрезок, опущенный на самую короткую сторону, поэтому если в исходных условиях даны размеры всех трех сторон, то гадать не придется.
2
Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена площадь (S) фигуры, формула расчета большей из высот (Hₐ) будет достаточно проста. Удвойте площадь и разделите полученное значение на длину короткой стороны - это и будет искомая высота: Hₐ = 2*S/a.
3
Не зная площади, но имея длины всех сторон треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины - полупериметра (р). Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат пополам: р = (a+b+c)/2.
4
Трижды умножьте полупериметр на разность между ним и каждой из сторон: р*(р-a)*(р-b)*(р-c). Из полученного значения извлеките квадратный корень √(р*(р-a)*(р-b)*(р-c)) и не удивляйтесь - вы использовали формулу Герона для нахождения площади треугольника. Для определения длины наибольшей высоты осталось заменить полученным выражением площадь в формуле из второго шага: Hₐ = 2*√(р*(р-a)*(р-b)*(р-c))/a.
5
Большая высота параллелограмма (Hₐ) вычисляется еще проще, если известна площадь этой фигуры (S) и длина ее короткой стороны (a). Разделите первое на второе и получите нужный результат: Hₐ = S/a.
6
Если известна величина угла (α) в какой-либо из вершин параллелограмма, а также длины сторон (a и b), образующих этот угол, найти большую из высот тоже будет не очень несложно. Для этого величину длинной стороны умножьте на синус известного угла, а результат разделите на длину короткой стороны: Hₐ = b*sin(α)/a.
Источники:
  • как найти меньшую высоту параллелограмма

Совет 8: Как по высоте в равностороннем треугольнике найти его площадь

В равностороннем треугольнике высота h делит фигуру на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из них h — катет, сторона a — гипотенуза. Можно выразить a через высоту равносторонней фигуры, а потом найти площадь.
Инструкция
1
Определите острые углы прямоугольного треугольника. Один из них равен 180° / 3 = 60°, потому что в заданном равностороннем треугольнике все углы равны. Второй равен 60° / 2 = 30°, потому что высота h делит угол на две равные части. Здесь использованы стандартные свойства треугольников, зная которые, все стороны и углы можно найти друг через друга.
2
Выразите сторону a через высоту h. Угол между этим катетом и гипотенузой a — прилежащий и равен 30°, как было выяснено на первом шаге. Поэтому h = a * cos 30°. Противолежащий угол равен 60°, поэтому h = a * sin 60°. Отсюда a = h / cos 30° = h / sin 60°.
3
Избавьтесь от косинусов и синусов. cos 30° = sin 60° = √3 / 2. Тогда a = h / cos 30° = h / sin 60° = h / (√3 / 2) = h * 2 / √3.
4
Определите площадь равностороннего треугольника S = (1 / 2) * a * h = (1 / 2) * (h * 2 / √3) * h = h² / √3. Первая часть этой формулы находится в математических справочниках и учебниках. Во вторую часть вместо неизвестного a подставлено выражение, найденное на третьем шаге. В результате получилась формула, в конце которой нет неизвестных частей. Теперь ее можно использовать для нахождения площади равностороннего треугольника, который по-другому называют правильным, потому что у него равны стороны и углы.
5
Определите исходные данные и решите задачу. Пусть h = 12 см. Тогда S = 12 * 12 / √3 = 144 / 1,73 = 83,24 см.
Видео по теме
Обратите внимание
Когда решаете задачи, обязательно делайте проверку, используя калькулятор и другие формулы. Ошибки появляются просто из-за невнимательности, торопливости и излишней самоуверенности. Хороший способ проверить вычисления — дать эту же задачу другому человеку и сверить результаты.
Полезный совет
Хорошо усвойте принцип получения нужных формул, потому что треугольники — фигуры, которые часто используются в быту, и вам, возможно, не раз придется делать вычисления. Знание математики облегчает жизнь.

Совет 9: Что такое высота треугольника

Геометрия покажется не такой сложной, если знать ее законы. В пространственных построениях есть не только строгая логика, но и своеобразная поэзия. Но сначала нужно запомнить термины и определения.



Треугольник — это плоский многоугольник, ограниченный тремя отрезками прямой. Эти отрезки называются сторонами, а точки пересечения сторон — вершинами. Все три внутренних угла фигуры могут быть разными. Если один угол прямой или тупой, то два других обязательно острые. Три угла треугольника в сумме составляют триста шестьдесят градусов.

Внутри треугольника можно провести разные линии. Свойства некоторых из них изучены и служат для определения геометрических параметров. К таким особым линиям относятся высоты. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины угла на противоположную сторону. Сторона в этом случае является основанием треугольника.

Очевидно, что у данной фигуры может быть не более трех высот. В прямоугольном треугольнике можно провести только одну высоту — из вершины прямого угла на гипотенузу. В тупоугольном треугольнике высоты из вершин острых углов проводятся на продолжение сторон и находятся за пределами площади, но тем не менее это именно высоты треугольника со всеми их свойствами.

Проведите высоту к любой из сторон произвольного треугольника, и исходная фигура будет разделена на два прямоугольных треугольника. Наличие прямого угла облегчает решение геометрических задач. Для прямоугольных треугольников известны многие соотношения, начиная с теоремы Пифагора.

Высота входит в различные формулы решения треугольников. Самая известная — формула площади, которая для треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

В правильных многоугольниках случается совпадение высот с другими «замечательными» линиями — медианой, биссектрисой или осью симметрии. В равностороннем треугольнике все три высоты равны между собой и являются одновременно медианами и биссектрисами.


Видео по теме
Видео по теме
Обратите внимание
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника.
Полезный совет
Прежде, чем выяснить, как найти высоту треугольника, выясним, что же такое высота треугольника. Высота треугольника это прямая линия, опущеная из его вершины перпендикулярно основанию. Для того, чтобы найти высоту треугольника, необходимо знать величину одной из его сторон и величину угла между этой стороной и основанием треугольника.
Источники:
  • как находить высоту
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше