Совет 1: Как начертить высоту треугольника

Высота треугольника - это прямая, которая проведена из одной из его вершин к противоположной стороне под углом в 90 градусов. Любой треугольник имеет 3 высоты. Но в зависимости от типа треугольника построение его высот имеет некоторые особенности.
Вам понадобится
  • Лист бумаги с изображенным треугольником, линейка, карандаш, угольник.
Инструкция
1
Чтобы начертить высоту любого треугольника из его вершины, сначала определите его противоположную сторону. Противоположная сторона для вершины треугольника является стороной, которая не образует угол вершины. Она называется противолежащей этой вершине треугольника.
2
Поместите угольник на противолежащую сторону так, чтобы его сторона находилась к противолежащей под прямым углом. Сдвигая угольник по линии противолежащей стороны, совместите его с вершиной треугольника и начертите отрезок между вершиной угла и прямой противоположной стороны. Получившийся отрезок является высотой треугольника.
3
В остроугольном треугольнике все вершины располагаются внутри, а высота проводится прямо к противолежащей стороне. Но две стороны тупоугольного треугольника не образуют перпендикуляр к нужной вершине. Чтобы начертить высоту тупоугольного треугольника, продолжите противолежащую прямую за пределы треугольника на расстояние достаточное для проведения перпендикуляра, после чего постройте высоту к продолженной части прямой.
4
В прямоугольном треугольнике высотой двух вершин уже являются его катеты. Постройте только высоту к вершине, противолежащей стороной для которой является гипотенуза прямоугольного треугольника.
5
Если требуется, после построения всех трех высот треугольника отметьте точку их пересечения, которая называется ортоцентром.

Совет 2: Как провести высоту треугольника

Решение геометрических задачек часто пригождается в повседневной жизни, а потому не грех вспомнить некоторые простые вещи, например, как найти высоту треугольника
Инструкция
1
Высота треугольника - это перпендикуляр, который был опущен из любой вершины треугольника на прямо противоположную сторону. А сторона, на которую опустили перпендикуляр - основание треугольника.
2
В тупоугольном треугольнике две его высоты лежат снаружи треугольника, и только третья высота находится внутри треугольника.
3
В треугольнике с острыми углами все его высоты расположены внутри треугольника.
4
В треугольнике прямоугольном катеты являются высотами треугольника.
5
Свойства высоты треугольника:

• Все три высоты в итоге неизменно пересекаются в одной точке, которая имеет название - Ортоцентр.

• В прямоугольном треугольнике высотой является перпендикуляр, который проведен из вершины прямого угла

• Основания высот образуют ортотреугольник, он обладает собственными свойствами
6
Способ вычисления высоты зависит от вида треугольника, в котором находится искомая высота. Вычислить высоту треугольника можно через другие его стороны и углы.

Совет 3: Как построить высоту треугольника

Высотой треугольника называется прямая, опущенная из одной из его вершин, перпендикулярно на прямую, содержащую сторону треугольника, противолежащую этой вершине треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты.
Инструкция
1
Для того, чтобы построить высоту остроугольного треугольника, проведите из его вершины прямую, перпендикулярную противолежащей стороне. Отрезок, соединяющий точку пересечения перпендикулярных прямых и вершину, и будет являться вершиной треугольника, опущенной из заданной высоты. При этом все три высоты остроугольного треугольника должны лежать внутри треугольника.
2
В случае тупоугольного треугольника, для того, чтобы построить высоты, опущенные из двух его острых углов, необходимо продолжить прямые, содержащие стороны, прилегающие к тупому углу. Высота, опущенная из острого угла тупоугольного треугольника, лежит на продолжении противолежащей вершине стороны, за пределами треугольника.
3
Если один из углов треугольника прямой, то стороны треугольника, прилегающие к прямому углу (катеты) уже являются его высотами (совпадают с высотами треугольника). Третья высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, лежит внутри пределов сторон треугольника.
4
Для того чтобы построить высоту любого треугольника возьмите циркуль и начертите окружности из двух его вершин, радиусом, равным прилегающей стороне треугольника. Окружности буду иметь две точки пересечения, соединив которые, вы получите прямую, содержащую высоту треугольника, проведенную к его третьей вершине.
Полезный совет
Все три прямые, содержащие высоты любого треугольника имеют общую точку – точку пересечения. Данная точка называется ортоцентром треугольника. В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника и лежит на отрезках, являющихся высотами треугольника. В прямоугольном треугольнике ортоцентром треугольника является одна из его вершин - вершина прямого угла треугольника. В тупоугольном треугольнике точка пересечения его высот лежит за пределами треугольника, вне отрезков, соединяющих соответствующие вершины треугольников с точками пересечения высоты треугольника и прямой содержащей его противолежащую сторону.
Источники:
  • высоты остроугольного треугольника

Совет 4: Как найти высоту треугольника по 3 сторонам

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из угла к противолежащей стороне. Высота необязательно лежит внутри этой геометрической фигуры. В некоторых видах треугольников перпендикуляр попадает на продолжение противолежащей стороны и оказывается за пределами площади, ограниченной линиями. В любом случае образуются новые прямоугольные треугольники, часть параметров которых вам известна. По ним можно вычислить высоту.
Вам понадобится
  • - треугольник с заданными сторонами;
  • - карандаш;
  • - угольник;
  • - свойства высоты треугольника;
  • - теорема Герона;
  • - формулы площади треугольника.
Инструкция
1
Постройте треугольник с заданными сторонами. Обозначьте его как АВС. Известные стороны обозначьте цифрами или буквами а, b и с. Сторона а лежит напротив угла А, стороны b и с — соответственно, напротив углов В и С. Проведите высоты ко всем сторонам треугольника и обозначьте их как h1, h2 и h3.
2
Высоту треугольника по трем сторонам можно найти через разные формулы его площади. Вспомните, чему равна площадь треугольника. Она вычисляется перемножением основания на высоту и делением полученного результата на 2. В то же время, площадь можно найти по формуле Герона. В этом случае она равна квадратному корню из произведения полупериметра и разностей его со всеми сторонами. То есть а*h/2=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c), где h – высота, p – полупериметр, а, b, c – стороны треугольника.
3
Найдите полупериметр. Он вычисляется сложением размеров всех сторон. Его можно выразить формулой p=(a+b+c)/2. Вместо букв подставьте соответствующие числовые значения. Посчитайте разность полупериметра с каждой из его сторон.
4
Найдите высоту h1, опущенную на сторону a. Она может быть выражена дробью, в знаменателе которой стоит величина а. Числитель этой дроби представляет собой квадратный корень из произведения полупериметра и его разностей со всеми сторонами данного треугольника. h1=(√p*(p-a)*(p-b)*(p-c))/a,
5
Можно полупериметр специально не вычислять, а выразить площадь по другому варианту этой же формулы. Она равна четверти квадратного корня из произведения суммы всех сторон на суммы каждых двух из них с вычтенным из этой суммы размером третьей стороны. То есть S=1/4*√(a+b+c)*(a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a). Дальше высота вычисляется точно так же, как и в первом случае.
6
Остальные две высоты можно вычислить по этой же формуле. Но можно воспользоваться и тем, что отношение высот между собой связано с отношением соответствующих сторон и может быть выражено формулой h1:h2=1/a:1/b. Вам уже известна h1, а стороны a и b заданы в условиях. Поэтому решите пропорцию, перемножив h1 и 1/а и разделив все это на 1/b. Точно таким же образом через любую из уже известных высот можно найти и третью сторону.

Совет 5: Как начертить шар

Шар – одна из основных геометрических форм, которой должен владеть художник. Без шара не нарисуешь ни яблока, ни цветка, ни солнца. Чтобы научиться воспроизводить на бумаге красоту видимого мира, требуется терпение и труд, которыми добывается навык. Рисование и живопись – одно из немногих искусств, где начинать с азов можно в любом возрасте. Кто знает, возможно, вы владеете нераскрытым даром.

Вам понадобится
  • - карандаш,
  • - бумага.
Инструкция
1
Нарисуйте разметку для окружности: начертите посередине листа крест, две пересекающиеся под прямым углом линии. Точка пересечения линий будет центром окружности.
2
Отмерьте равные расстояния от центра вправо, влево, вверх и вниз, и отметьте их точками на линиях креста. Соединяя полученные точки, нарисуйте окружность. Можете добавить еще пару вспомогательных линий, пересекающихся в центре, чтобы сделать разметку чаще.
3
Повторите эти действия столько раз, сколько потребуется для того, чтобы уверенно рисовать ровную окружность.
4
Нарисуйте эллипс: начертите две пересекающиеся под прямым углом прямые для разметки. Поставьте две точки справа и слева от центра, на равном расстоянии от него. На вертикальной прямой поставьте две точки вверху и внизу на расстоянии вдвое меньшем, чем по горизонтали.
5
Соедините точки плавной линией так, чтобы получился правильный овал. Повторите черчение овала несколько раз, чтобы закрепить навык.
6
Нарисуйте шар: сначала начертите разметки для окружности и окружность, затем разделите вертикальную линию от центра вверх тремя точками на четыре равные отрезка, так же разделите вертикальную линию от центра вниз. Через третью точку от центра вверх проведите прямую, параллельную центральной горизонтали, такую же линию проведите через третью точку от центра вниз.
7
Начертите эллипс на основе центральной горизонтали, при этом верхняя и нижняя границы эллипса проходят через первые от центра точки на вертикальной прямой. Затем так же нарисуйте эллипсы на основе верхней и нижней вертикалей, при этом нижние границы эллипсов проходят посередине между точками 2 и 3 на вертикали, верхние границы – посередине между точками 3 и верхними точками окружности.
8
Понаблюдайте за тем, как шар отражает свет, где находится наиболее освещенное место, а где – самое темное. Положим, свет падает на шар сверху, тогда самое освещенное место будет в верхней трети шара, самое темное – ровно посередине, в нижней трети – менее темное место, слабо освещенное отраженным светом. Отметьте области разного освещения на полученной окружности, используя в качестве разметки нанесенные эллипсы. Заштрихуйте окружность по разметке.
Видео по теме
Источники:
  • Рисуем шар

Совет 6: Как начертить прямоугольный треугольник по острому углу и гипотенузе

Прямоугольным называют треугольник, угол в одной из вершин которого равен 90°. Сторону, лежащую напротив этого угла, называют гипотенузой, а стороны, противолежащие двум острым углам треугольника, называются катетами. Если известна длина гипотенузы и величина одного из острых углов, то этих данных достаточно, чтоб построить треугольник, как минимум, двумя способами.
Вам понадобится
  • Лист бумаги, карандаш, линейка, циркуль, калькулятор.
Инструкция
1
Первый способ требует наличия кроме карандаша и бумаги еще и линейки, транспортира и угольника. Сначала начертите ту сторону, которая является гипотенузой - поставьте точку A, отложите от нее известную длину гипотенузы, поставьте точку С и соедините точки.
2
Приложите транспортир к проведенному отрезку таким образом, чтобы нулевая отметка совпала с точкой A, отмерьте величину известного острого угла и поставьте вспомогательную точку. Проведите линию, которая будет начинаться в точке A и проходить через вспомогательную точку.
3
Приложите угольник к отрезку AC таким образом, чтобы прямой угол начинался от точки C. Точку пересечения угольником линии, проведенной на предыдущем шаге, обозначьте буквой B и соедините ее с точкой C. На этом построение прямоугольного треугольника с известной длиной стороны AC (гипотенузы) и острым углом в вершине A будет закончено.
4
Другой способ кроме карандаша и бумаги потребует наличия линейки, циркуля и калькулятора. Начните с вычисления длин катетов - знания величины одного острого угла и длины гипотенузы для этого вполне достаточно.
5
Рассчитайте длину того катета (AB), который лежит напротив угла известной величины (β) - он будет равен произведению длины гипотенузы (AC) на синус известного угла AB=AC*sin(β).
6
Определите длину другого катета (BC) - она будет равна произведению длины гипотенузы на косинус известного угла BC=AC*cos(β).
7
Поставьте точку A, отмерьте от нее длину гипотенузы, поставьте точку C и проведите между ними линию.
8
Отложите на циркуле длину катета AB, рассчитанную в пятом шаге и начертите вспомогательный полукруг с центром в точке A.
9
Отложите на циркуле длину катета BC, рассчитанную в шестом шаге и начертите вспомогательный полукруг с центром в точке С.
10
Отметьте точку пересечения двух полукругов буквой B и проведите отрезки между точками A и B, C и B. На этом построение прямоугольного треугольника будет завершено.
Источники:
  • как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе

Совет 7: Как начертить прямоугольный треугольник

Две короткие стороны прямоугольного треугольника, которые принято называть катетами, по определению должны быть перпендикулярны между собой. Это свойство фигуры значительно облегчает ее построение. Однако возможность точно определить перпендикулярность есть не всегда. В таких случаях можно рассчитать длины всех сторон - они позволят построить треугольник единственно возможным, а поэтому правильным, способом.
Вам понадобится
  • Бумага, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, угольник.
Инструкция
1
Если требуется начертить прямоугольный треугольник произвольных размеров, то начните с одного из катетов. Поставьте точку, которая будет вершиной 90° угла, и проведите горизонтальную отрезок подходящей длины. Затем из той же точки проведите вертикальный отрезок - второй катет. Он должен быть строго перпендикулярен горизонтальной стороне треугольника.
2
Если используемая для построения бумага не размечена «в клеточку», то воспользуйтесь угольником для такого построения. Если и его нет, задействуйте транспортир. Затем соедините оба отрезка третьей линией - это будет гипотенуза прямоугольного треугольника. На этом построение будет завершено.
3
Если требуется построить фигуру с заданными в исходных условиях параметрами, то может потребоваться проведение предварительных вычислений. При отсутствии бумаги в клеточку, транспортира и угольника для построения надо знать длины всех сторон треугольника. Если не все они даны в исходных условиях, то придется по известным формулам рассчитать недостающие.
4
При известных длинах двух катетов длину третьей стороны определите в соответствии с теоремой Пифагора - возведите каждую из длин в квадрат, результаты сложите и извлеките из полученного значения квадратный корень. А если в условиях дана длина гипотенузы и величина одного из острых углов, то сначала воспользуйтесь теоремой синусов дли нахождения длины одного из катетов - умножьте длину известной стороны на синус этого угла. Затем с помощью теоремы Пифагора определите длину другого катета. Аналогично рассчитайте длины при других наборах исходных данных.
5
Начинайте построение, когда будут рассчитаны длины всех сторон. Поставьте точку в вершине будущего прямого угла и по линейке проведите отрезок с длиной одного из катетов. Затем отложите на циркуле длину гипотенузы и проведите полукруг с центром в конце этого отрезка - он должен быть направлен в сторону поставленной в начале построения точки.
6
Отложите на циркуле длину второго катета, установите его в ту же начальную точку и отметьте место пересечения начерченного полукруга с воображаемым кругом отмеренного радиуса. Затем соедините отмеченное место с начальной точкой (это будет второй катет) и с окончанием проведенного ранее отрезка (это - гипотенуза). На этом построение будет завершено.
Видео по теме

Совет 8: Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.
Инструкция
1
Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.
2
Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
3
Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.
4
Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.
Источники:
  • даны точки найти площадь треугольника

Совет 9: Что такое высота треугольника

Геометрия покажется не такой сложной, если знать ее законы. В пространственных построениях есть не только строгая логика, но и своеобразная поэзия. Но сначала нужно запомнить термины и определения.



Треугольник — это плоский многоугольник, ограниченный тремя отрезками прямой. Эти отрезки называются сторонами, а точки пересечения сторон — вершинами. Все три внутренних угла фигуры могут быть разными. Если один угол прямой или тупой, то два других обязательно острые. Три угла треугольника в сумме составляют триста шестьдесят градусов.

Внутри треугольника можно провести разные линии. Свойства некоторых из них изучены и служат для определения геометрических параметров. К таким особым линиям относятся высоты. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины угла на противоположную сторону. Сторона в этом случае является основанием треугольника.

Очевидно, что у данной фигуры может быть не более трех высот. В прямоугольном треугольнике можно провести только одну высоту — из вершины прямого угла на гипотенузу. В тупоугольном треугольнике высоты из вершин острых углов проводятся на продолжение сторон и находятся за пределами площади, но тем не менее это именно высоты треугольника со всеми их свойствами.

Проведите высоту к любой из сторон произвольного треугольника, и исходная фигура будет разделена на два прямоугольных треугольника. Наличие прямого угла облегчает решение геометрических задач. Для прямоугольных треугольников известны многие соотношения, начиная с теоремы Пифагора.

Высота входит в различные формулы решения треугольников. Самая известная — формула площади, которая для треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

В правильных многоугольниках случается совпадение высот с другими «замечательными» линиями — медианой, биссектрисой или осью симметрии. В равностороннем треугольнике все три высоты равны между собой и являются одновременно медианами и биссектрисами.


Видео по теме

Совет 10: Почему Мертвое море так называется

Мертвое море – так называется огромное озеро, расположенное между Иорданией, Израилем и Палестинской автономией. «Ни птица над ним не летит, ни зверь не бежит мимо, человек, осмелившийся по нему плыть, погибает», – говорили о нем еще в древности.
Озеро назвали «морем» из-за его большого размера, ведь длина его составляет 67 км, а ширина в некоторых местах достигает 18 км. Эпитет «мертвое» связан с тем, что в озере действительно нет никакой жизни: ни рыб, ни водорослей, ни членистоногих. Правда, в позднейшие времена микроскоп позволил доказать, что безжизненность Мертвого моря несколько преувеличена, бактерии в его воде все-таки есть. Но в древности о бактериях ничего не было известно, так что безжизненность этого водоема представлялась абсолютной.

Свойства воды



Вода Мертвого моря губительная и для человека, если пить ее. Трагически оканчивались и попытки переплыть Мертвое море: лодки опрокидывались, а смельчакам, решившимся на такой подвиг, далеко не сразу удавалось добраться до берега. В ряде случаев люди после этого умирали от отравления.

Такая смертоносность воды Мертвого моря объясняется высокой концентрацией соли в ней, которая достигает 300-350 промилле. Для сравнения: соленость воды в Черном море составляет 18 промилле, а в Красном – 41. По этому показателю с Мертвым морем может равняться только озеро Баскунчак в Астраханской области (300 промилле), а опережает его только небольшое озеро Дон-Жуан в Антарктиде (402 промилле).

Высокой концентрацией соли объясняется не только ядовитость воды Мертвого моря, но и ее плотность. Она выталкивает любой предмет, поэтому по озеру невозможно плыть, в том числе на лодке.

Мертвое море и люди



Отношение людей к Мертвому морю никогда не ограничивалось страхом. Уже в древности было замечено, что вода из этого озера, если правильно ее применять, оказывает благотворное влияние на человеческий организм: улучшает состояние кожи, помогает при псориазе и других кожных заболеваниях, способствует хорошему кровообращению, снимает усталость и напряжение мышц. Красавицы Древнего мира с удовольствием пользовались ваннами с солью Мертвого моря, и в их числе – знаменитая египетская царица, поэтому такие ванны и по сей день называются «ваннами Клеопатры».

Эти древние знания не забыты и сейчас. На основе соли Мертвого моря делают различные средства для ухода за кожей: кремы, соли для ванны, скрабы, а на Мертвое море ежегодно приезжают туристы.

Соль – это не единственное, что давало людям Мертвое море. В древности со дна озера добывали асфальт, который использовали для строительства кораблей и мумификации, отсюда еще одно название моря – Асфальтическое.

Существовали и другие наименования этого водоема – Содомское море и море Лота. Согласно Библии, озеро образовалось на месте города Содома, который был уничтожен огненным дождем за грехи его жителей, и только одному праведнику по имени Лот удалось спастись. Из-за этой библейской легенды христиане и иудеи никогда не купаются в Мертвом море и не пользуются косметикой, изготовленной на основе его соли.
Источники:
  • Путеводитель по Израилю: Мертвое море
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше