Инструкция
1
Объем геометрического тела – это некоторое положительное число, которое ставится ему в соответствие и является одной из основных числовых характеристик наряду с площадью и периметром. Если тело имеет объем, то его называют кубируемым, т.е. состоящим из определенного количества кубов со стороной единичной длины.
2
Чтобы определить объем произвольного геометрического тела, нужно разбить его на части, представляющие собой простые фигуры, а затем сложить их объемы. Для этого необходимо вычислить определенный интеграл от функции площади горизонтального сечения:

V = ∫_(a, b) S (x) dx, где (a, b) – интервал на координатной оси Ox, на котором существует функция S (x).
3
Тело, обладающее линейными измерениями (длиной, шириной и высотой), является многогранником. Такие фигуры имеют широкое распространение в геометрии. Это стандартные тетраэдр, параллелепипед и его разновидности, призма, цилиндр, сфера и пр. Для каждой из них существуют готовые доказанные формулы, которые используются при решении задач.
4
В общем виде объем можно найти, умножив площадь основания на высоту. В некоторых случаях ситуация еще больше упрощается. Например, в прямом и прямоугольном параллелепипеде объем равен произведению всех его измерений, а для куба эта величина превращается в длину стороны в третьей степени.
5
Объем призмы рассчитывается через произведение площади сечения, перпендикулярного боковому ребру, и длины этого ребра. Если призма прямая, то первая величина равна площади основания. Призма – разновидность обобщенного цилиндра с многоугольником в основании. Распространен круговой цилиндр, объем которого определяется по следующей формуле:

V = S•l•sin α, где S – площадь основания, l – длина образующей линии, α – угол между этой линией и основанием. Если этот угол прямой, то V = S•l, т.к. sin 90° = 1. Поскольку в основании кругового цилиндра лежит окружность, то V = 2•π•r²•l, где r – ее радиус.
6
Часть пространства, ограниченная сферой, называется шаром. Чтобы получить его объем, нужно найти определенный интеграл от площади боковой поверхности по x от 0 до r:

V = ∫_(0, r) 4•π•x² dx = 4/3•π•r³.