Совет 1: Как в дроби избавиться от иррациональности в знаменателе

Существует несколько типов иррациональности дроби в знаменателе. Она связана с присутствием в нем алгебраического корня одной или различных степеней. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно выполнить определенные математические действия в зависимости от ситуации.
Инструкция
1
Прежде чем избавиться от иррациональности дроби в знаменателе, следует определить ее тип, и в зависимости от этого продолжать решение. И хотя любая иррациональность следует из простого присутствия корней, различные их комбинации и степени предполагают разные алгоритмы.
2
Квадратный корень в знаменателе, выражение вида a/√bВведите дополнительный множитель, равный √b. Чтобы дробь не изменилась, умножать нужно и числитель, и знаменатель:a/√b → (a•√b)/b.Пример 1: 10/√3 → (10•√3)/3.
3
Наличие под чертой дроби корня дробной степени вида m/n, причем n>mЭто выражение выглядит следующим образом:a/√(b^m/n).
4
Избавьтесь от подобной иррациональности также путем ввода множителя, на этот раз более сложного: b^(n-m)/n, т.е. из показателя степени самого корня нужно вычесть степень выражения под его знаком. Тогда в знаменателе останется только первая степень:a/(b^m/n) → a•√(b^(n-m)/n)/b.Пример 2: 5/(4^3/5) → 5•√(4^2/5)/4 = 5•√(16^1/5)/4.
5
Сумма квадратных корнейУмножьте обе составляющих дроби на аналогичную разность. Тогда из иррационального сложения корней знаменатель преобразуется в разность выражений/чисел под знаком корня:a/(√b + √c) → a•(√b - √c)/(b - c).Пример 3: 9/(√13 + √23) → 9•(√13 - √23)/(13 - 23) = 9•(√23 - √13)/10.
6
Сумма/разность кубических корнейВыберите в качестве дополнительного множителя неполный квадрат разности, если в знаменателе стоит сумма, и соответственно неполный квадрат суммы для разности корней:a/(∛b ± ∛c) → a•(∛b² ∓ ∛(b•c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c)• ∛b² ∓ ∛(b•c) + ∛c²) →a•(∛b² ∓ ∛(b•c) + ∛c²)/(b ± c).Пример 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7•(∛25- ∛20 + ∛16)/9.
7
Если в задаче присутствует и квадратный и кубический корень, тогда разделите решение на два этапа: последовательно выведите из знаменателя квадратный корень, а затем кубический. Делается это по уже известным вам методам: в первом действии нужно выбрать множитель разности/суммы корней, во втором – неполный квадрат суммы/разности.

Совет 2: Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Корректная запись дробного числа не содержит иррациональности в знаменателе. Такая запись и легче воспринимается на вид, поэтому при появлении иррациональности в знаменателе разумно от нее избавиться. В этом случае иррациональность может перейти в числитель.
Инструкция
1
Для начала можно рассмотреть простейший пример - 1/sqrt(2). Квадратный корень из двух - иррациональное число в знаменателе.В этом случае необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на ее знаменатель. Это обеспечит рациональное число в знаменателе. Действительно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Умножение двух одинаковых квадратных корней друг на друга даст в итоге то, что находится под каждым из корней: в данном случае - двойку.В итоге: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Этот алгоритм подходит также к дробям, в знаменателе которых корень умножается на рациональное число. Числитель и знаменатель в этом случае нужно умножить на корень, находящийся в знаменателе.Пример: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt(3)/6.
2
Абсолютно аналогично нужно действовать, если в знаменателе находится не квадратный корень, а, скажем кубический или любой другой степени. Корень в знаменателе нужно умножать на точно такой же корень, на этот же корень умножать и числитель. Тогда корень перейдет в числитель.
3
В более сложном случае в знаменателе присутствует сумма или разность иррационального и рационального числа или двух иррациональных чисел.В случае суммы (разности) двух квадратных корней или квадратного корня и рационального числа можно воспользоваться хорошо известной формулой (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Она поможет избавиться от иррациональности в знаменателе. Если в знаменателе разность, то домножать числитель и знаменатель нужно на сумму таких же чисел, если сумма - то на разность. Эта домножаемая сумма или разность будет называться сопряженной к выражению, стоящему в знаменателе.Эффект этой схеме хорошо виден на примере: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.
4
Если в знаменателе присутствует сумма (разность), в которой присутствует корень большей степени, то ситуация становится нетривиальной и избавление от иррациональности в знаменателе не всегда возможно
Источники:
  • избавиться от корня в знаменателе

Совет 3: Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Дробь состоит из числителя, расположенного сверху линии, и знаменателя, на который он делится, расположенного внизу. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби с целым числом в числителе и натуральным в знаменателе. Такими числами являются, например, квадратный корень из двух или пи. Обычно, когда говорят об иррациональности в знаменателе, подразумевается корень.
Инструкция
1
Избавьтесь от иррациональности умножением на знаменатель. Таким образом иррациональность будет перенесена в числитель. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби не меняется. Воспользуйтесь этим вариантом, если весь знаменатель представляет собой корень.
2
Умножьте числитель и знаменатель на знаменатель нужное число раз, в зависимости от корня. Если корень квадратный, то один раз.
3
Рассмотрите пример с квадратным корнем. Возьмите дробь (56-y)/√(x+2). В ней есть числитель (56-y) и иррациональный знаменатель √(x+2), представляющий собой квадратный корень.
4
Умножьте числитель и знаменатель дроби на знаменатель, то есть на √(x+2). Изначальный пример (56-y)/√(x+2) превратится в ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). В итоге получится ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Теперь корень находится в числителе, а в знаменателе нет иррациональности.
5
Не всегда знаменатель дроби весь находится под корнем. Избавьтесь от иррациональности, воспользовавшись формулой (x+y)*(x-y)=x²-y².
6
Рассмотрите пример с дробью (56-y)/(√(x+2)-√y). Ее иррациональный знаменатель содержит разницу двух квадратных корней. Дополните знаменатель до формулы (x+y)*(x-y).
7
Умножьте знаменатель на сумму корней. Умножьте на то же самое числитель, чтобы значение дроби не изменилось. Дробь примет вид ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y)).
8
Воспользуйтесь вышеупомянутым свойством (x+y)*(x-y)=x²-y² и освободите знаменатель от иррациональности. В результате получится ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Теперь корень находится в числителе, а знаменатель избавился от иррациональности.
9
В сложных случаях повторяйте оба этих варианта, применяя по необходимости. Учтите, что не всегда возможно избавиться от иррациональности в знаменателе.
Источники:
  • Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Совет 4: Как решать алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают любые числовые или буквенные выражения. Зачастую числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют громоздкий вид, но действия с такими дробями следует совершать по тем же правилам, что и действия с обыкновенными, где числитель и знаменатель — целые положительные числа.
Инструкция
1
Если даны смешанные дроби, переведите их в неправильные (дробь, в которой числитель больше знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.
2
Если надо перевести десятичную дробь в неправильную, то представьте ее как деление числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит после запятой. Например, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 - как 361/100. Оперировать с неправильными дробями зачастую легче, чем со смешанными или десятичными.
3
Если дроби имеют одинаковые знаменатели, а вам надо их сложить, то просто сложите числители; знаменатели остаются без изменений.
4
При необходимости произвести вычитание дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычтите числитель второй дроби. Знаменатели при этом также не меняются.
5
Если надо сложить дроби или вычесть одну дробь из другой, а они имеют разные знаменатели, приведите дроби к общему знаменателю. Для этого найдите число, которое будет наименьшим общим кратным (НОК) обоим знаменателям или нескольким, если дробей больше двух. НОК — это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.
6
После знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к каждому слагаемому дополнительные множители — то число, на которое надо домножить и числитель, и знаменатель, чтобы получить НОК. Последовательно умножайте числители на дополнительные множители, сохраняя знак сложения или вычитания.
7
Посчитайте результат, сократите его при необходимости или выделите целую часть. Для примера - необходимо сложить ⅓ и ¼. НОК для обеих дробей — 12. Тогда дополнительный множитель к первой дроби — 4, ко второй — 3. Итого: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.
8
Если дан пример на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель результата) и знаменатели (получится знаменатель результата). В этом случае к общему знаменателю их приводить не надо.
9
Чтобы разделить дробь на дробь, надо перевернуть вторую дробь «вверх ногами» и перемножить дроби. То есть а/b : с/d = a/b · d/c.
10
Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Например, выносите общий множитель за скобку или раскладывайте по формулам сокращённого умножения, чтобы затем можно было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД - наименьший общий делитель.
Обратите внимание
Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Например, нельзя сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма или разность — 3a±4b.
Источники:
  • Умножение и деление дробей

Совет 5: Как представить в виде дроби

В быту чаще всего встречаются не натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и т.д. (5 кг. картофеля), а дробные, нецелые числа (5,4 кг лука). Большинство из них представлены в виде десятичных дробей. Но десятичную дробь представить в виде дроби достаточно просто.
Инструкция
1
Например, дано число "0,12". Если не сокращать эту десятичную дробь и представить ее так, как есть, то выглядеть она будет так: 12/100 ("двенадцать сотых"). Чтобы избавиться от сотни в знаменателе, нужно и числитель, и знаменатель поделить на такое число, которое делит их на целые числа. Это число 4. Тогда, поделив числитель и знаменатель, получается число: 3/25.
2
Если рассматривать более бытовую ситуацию, то часто на ценнике у продуктов видно, что вес его составляет, к примеру, 0,478 кг или пр. Такое число тоже легко представить в виде дроби:
478/1000 = 239/500. Дробь эта достаточно некрасивая, и если бы была возможность, то эту десятичную дробь можно было бы сокращать и далее. И все тем же методом: подбора числа, которое делит как числитель, так и знаменатель. Это число называется наибольшим общим множителем. "Наибольшим" множитель назван потому, что гораздо удобнее и числитель, и знаменатель сразу поделить на 4 (как в первом примере), чем делить дважды на 2.
Видео по теме

Совет 6: Как представить дробь в виде десятичной дроби

Десятичная дробь - разновидность дроби, у которой в знаменателе есть "круглое" число: 10, 100, 1000 и т.д., Например, дробь 5/10 имеет десятичную запись 0,5. Исходя из этого принципа, дробь можно представить в виде десятичной дроби.
Инструкция
1
Допустим, надо представить в виде десятичной дробь 18/25.
Сначала нужно сделать так, чтобы в знаменателе появилось одно из "круглых" чисел: 100, 1000 и т.д. Для этого нужно знаменатель умножить на 4. Но на 4 потребуется умножить и числитель, и знаменатель.
2
Умножив числитель и знаменатель дроби 18/25 на 4, получается 72/100. Записывается эта дробь в десятичном виде так: 0,72.

Совет 7: Как делить десятичные дроби

При делении двух десятичных дробей, когда под рукой не оказывается калькулятора, многие испытывают некоторые затруднения. На самом деле тут нет ничего сложного. Десятичные дроби называются таковыми, если в их знаменателе число, кратное 10. Как правило, такие числа записываются в одну строчку и имеют запятую, отделяющую дробную часть от целой. Видимо по причине наличия дробной части, которая к тому же отличается количеством знаков после запятой, многим не понятно, как производить без калькулятора математические действия с такими числами.
Вам понадобится
  • лист бумаги, карандаш
Инструкция
1
Итак, для того, чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, нужно посмотреть на оба числа и определить, у какого из них больше знаков после запятой. Умножаем оба числа на число, кратное 10, т.е. 10, 1000 или 100000, количество нулей в котором равно большему количеству знаков после запятой одного из двух наших исходных чисел. Теперь обе десятичные дроби превратились в обыкновенные целые числа. Берем лист бумаги с карандашом и делим два получившихся числа "уголком". Получаем результат.
2
Например, нам нужно разделить число 7,456 на 0,43. Первое число имеет больше знаков после запятой (3 знака), поэтому умножаем оба числа не 1000 и получаем два простых целых числа: 7456 и 430. Теперь делим "уголком" 7456 на 430 и получаем, что, если 7,456 разделить 0,43 выйдет примерно 17,3.
3
Существует еще один способ деления. Записываем десятичные дроби в виде простых дробей с числителем и знаменателем, для нашего случая это 7456/1000 и 43/100. После этого записываем выражение для деления двух простых дробей:
7456*100/1000*43,
затем сокращаем десятки, получаем:
7456/10*43 = 7456/430
В конечном итоге опять получаем деление двух простых чисел 7456 и 430, которое можно произвести "уголком".
Видео по теме
Полезный совет
Таким образом, метод деления десятичных дробей заключается к приведению их к целым числам с помощью умножения каждого из них на одно и то же число. Выполнение операций с целыми числами, как правило, не вызывает ни у кого затруднений.
Источники:
  • десятичные дроби без калькулятора
Видео по теме
Источники:
  • как избавиться от иррациональности в дроби
Поиск
Совет полезен?
Комментарии 1
Пожаловаться
написалa
Непонятно ни фига что за дроби. одной строкой записаны лучше фотки киньте
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше