Инструкция
1
Пусть прямая задана пересечением двух плоскостей (см. рис.), для которых даны их общие уравнения.A1x+B1y+C1z+D1=0 иA2x+B2y+C2z+D2=0. Искомая прямая принадлежит обеим этим плоскостям. Соответственно, можно сделать вывод, что все ее точки можно найти из решения системы двух этих уравнений.
2
Пусть, для примера, плоскости будут заданы следующими выражениями: 4x-3y4z+2=0 и 3x-y-2z-1=0.Решать подобную задачу можно любым удобным для вас способом. Пусть z=0, тогда данные уравнения можно переписать в виде:4x-3y=-2 и 3x-y=1.
3
Соответственно, «у» можно выразить следующим образом: y=3x-1. Таким образом, будут иметь место выражения: 4x-9x+3=-2; 5x=5; x=1; y=3-1=2. Первая точка искомой прямой – М1(1, 2, 0).
4
Теперь предположите, что z=1. Из исходных уравнений получится:1. 4x-3y-1+2=0 и 3x-y-2-1=0 или 4x-3y=-1 и 3x-y=3. 2. y=3x-3, тогда первое выражение будет иметь вид 4x-9x+9=-1, 5x=10, x=2, y=6-3=3. Исходя из этого, вторая точка имеет координаты М2(2, 3, 1).
5
Если провести через М1 и М2 прямую, то задача будет решена. Тем не менее, можно привести более наглядный способ нахождения положения искомой прямой уравнения – составление канонического уравнения.
6
Оно имеет вид (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p, здесь {m, n, p}=s – координаты направляющего вектора прямой. Поскольку в рассмотренном примере найдены две точки искомой прямой, то ее направляющий вектор s=M2M2={2-1, 3-2, 1-0}={1, 1, 1}. В качестве M0(x0, y0, z0) можно взять любую из точек (М1 или М2). Пусть это будет М1(1, 2, 0), тогда канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей примет вид:(x-1)=(y-2)=z.