Совет 1: Как построить точку с тремя координатами

Если начертательная геометрия – это теоретический фундамент черчения, то построение точки в пространстве по координатам – основа геометрии. Положение любой точки в пространстве можно задать тремя координатами, и, если у вас есть три плоскости проекций, вам не составит труда ее найти.
Как построить точку с тремя координатами
Вам понадобится
  • - точка с координатами (a,b,c);
  • - система координат.
Инструкция
1
Постройте три координатные плоскости, чтобы иметь начало отсчета в точке О. На чертеже плоскости проекций обозначаются в виде трех осей – ох, оу и оz, причем ось оz направлена вверх, ось оу – вправо. Чтобы построить последнюю ось ох, разделите угол между осями оу и оz напополам (если вы рисуете на листе в клетку, просто проведите эту ось по диагоналям клеток).
2
Обратите внимание, если координаты точки А записаны в виде трех чисел в скобках (а, b, с), то первое число а – расстояние от плоскости х, второе b – от у, третье c – от z. Сначала возьмите первую координату а и отметьте ее на оси ох, влево и вниз, если число а положительное, вправо и вверх, если оно отрицательное. Полученную букву назовите В.
3
Далее возьмите число b и отложите его на оси оу – вправо, если оно положительное, и влево, если оно отрицательное. Назовите отмеченную точку буквой С.
4
Затем отложите последнее число с вверх по оси оz, если оно положительное, и вниз по этой же оси, если отрицательное. Отметьте полученную точку буквой D.
5
Из полученных точек проведите следы проекций искомой точки на плоскостях. То есть в точке В проведите две прямые, которые будут параллельны осям оу и oz, в точке С проведите прямые, параллельные осям ох и oz, в точке D – прямые, параллельные ох и оу.
6
Две прямые, проведенные в одной плоскости, пересекутся. Восстановите в этом месте перпендикуляр (от всех трех плоскостей), чтобы найти искомую точку. В результате вы получите чертеж параллелепипеда, отметьте точку буквой А. Проверьте, расстояния до плоскостей этой точки равны а, b, с.
7
Если одна из координат точки равна нулю, значит, точка лежит в одной из плоскостей проекций. В таком случае просто отметьте известные координаты на плоскости и найдите точку пересечения их проекций. Будьте внимательны при построении точек с координатами (а, 0, с) и (а, b, 0), не забывайте, что проекция на ось ох осуществляется под углом в 45⁰.
Видео по теме
Источники:
  • по координатам построить

Совет 2 : Как найти точку на прямой

В современной математике точкой называются элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства. Например, в n-мерном евклидовом пространстве точкой называется упорядоченная совокупность из n чисел.
Как найти точку на прямой
Вам понадобится
  • Знания по математике.
Инструкция
1
Прямая - одно из основных понятий в математике. Аналитически прямая на плоскости задается уравнением первого порядка вида Ax+By=C. Принадлежность точки к заданной прямой легко определить, подставив координаты точки в уравнение прямой. Если уравнение обращается в верное равенство, значит точка принадлежит прямой. Например, рассмотрим точку с координатами A(4, 5) и прямую заданную уравнением 4х+3у=1. Подставим в уравнение прямой координаты точки А и получим следующее: 4*4+3*5 = 1 или 31 = 1. Получили равенство, которое является не верным, а значит, эта точка не принадлежит прямой.
2
Для поиска точки на прямой достаточно взять одну из координат, и подставить в уравнение, а затем выразить из полученного уравнение вторую. Таким образом найдется точка с заданной одной из координат. Так как прямая проходит через всю плоскость, то и точек, которые ей принадлежат бесконечно много, а значит, для любой одной координаты всегда найдется другая, такая что полученная точка будет принадлежать заданной прямой. Возьмем для примера прямую с уравнением 3x-2y=2. И возьмем координату равную x=0. Тогда подставим значение x в уравнение прямой и получим следующее: 3*0-2у=2 или у=-1. Таким образом мы нашли точку лежащую на прямой и ее координаты равны (0, -1). Аналогичным образом можно найти точку, принадлежащую прямой, когда известна координата y.
3
В трехмерном пространстве у точки 3 координаты, а прямая задается системой из двух линейных уравнений вида Ax+By+Cz=D. Аналогичным образом, как и в двумерном случае, если вы знаете хоть одну координату точки, решив систему, найдете две остальные и эта точка будет принадлежать исходной прямой.
Видео по теме
Обратите внимание
После того как найдены все координаты точки, необходимо проверить их правильность. Подставьте найденные координаты в уравнение прямой, и если получится верное равенство, все решено корректно.
Полезный совет
Способ поиска точки по известной координате справедлив для любой размерности пространства, разница лишь в том, сколько необходимо уравнений решить, для поиска остальных координат.
Источники:
  • найти точки прямой

Совет 3 : Как найти проекции точек

Перед созданием конечного изображения объекта, на чертеже строятся раздельно все его детали (элементарные составляющие). Любой геометрический объект состоит из линий, плоскостей, которые состоят из точек. Как проецируются точки, рассмотрено в данной статье.
Как найти проекции точек
Вам понадобится
  • Карандаш, линейка, учебник по начертательной геометрии или черчению.
Инструкция
1
С использованием метода проекций, строится изображение геометрических тел на чертежах, при этом одного изображения недостаточно, для однозначной передачи формы тел, его элементарных геометрических составляющих требуется как минимум две проекции. Следовательно, две проекции требуется для определения точки в пространстве.
2
Рассмотрите пространство двугранного угла с точкой А, которая находится внутри, ее проекцию требуется построить. Используются две плоскости проекций: горизонтальная П1 и вертикальная П2 (перпендикулярна горизонтальной и расположена перед наблюдающим).

Проекции плоскости, прямой или точки на вертикальную плоскость называются фронтальными проекциями. Ось проекций – пересечение проекционных плоскостей, которое представляет собой линию.
3
На проекционные плоскости точка А проецируется ортогонально. Перпендикулярные проецирующие лучи объединяются в проецирующую плоскость, которая, в свою очередь, перпендикулярна плоскостям проекций.

Совмещая горизонтальную и фронтальную плоскости П1 и П2 вращением по оси П2/П1, получается плоский чертеж.
4
Перпендикулярно оси П2/П1оказывается линия, на которой расположены обе проекции точки. А1 и А2 – горизонтальная и фронтальная проекции точки соединены прямой А1А2 – вертикальной линией связи.
5
В результате получен комплексный чертеж, на котором положение точки по отношению проекционных плоскостей определено однозначно за счёт связанных между собой ортогональных проекций. Благодаря построенным отрезкам вертикальной линии связи можно определить положение точки по отношению к проекционным плоскостям.
Обратите внимание
Только двумя проекциями можно однозначно определить положение точки в пространстве.
Полезный совет
Высота h (АА1 =h) и глубина f(AA2 =f) позволяют определить положение точки в пространстве относительно плоскостей.

Совет 4 : Как найти проекцию точки на прямую

Для решения сложных геометрических задач часто оказывается достаточно знания алгоритмов простых операций. Так иногда оказывается достаточно просто найти проекцию точки на прямую и сделать несколько дополнительных построений, чтобы нерешаемая на первый взгляд задача превратилась в доступную.
Как найти проекцию точки на прямую
Инструкция
1
Научитесь пользовать координатной плоскостью. Основные затруднения могут возникнуть с отрицательными числами. Запомните, что всего имеется четыре квадранта: в первом расположены положительные значения, во втором – положительные только по оси абсцисс, в третьем – отрицательные по обеим осям, а в четвертом отрицательные сохраняются только на оси абсцисс. Вы можете произвольно задавать направления координатных осей, но в математике по традиции принято, чтобы ось ординат была направлена вверх (соответственно, внизу расположены отрицательные числа), а ось абсцисс шла слева направо (равно как и смена отрицательных чисел через ноль на положительные).
2
Зафиксируйте данные задачи. Вам нужно знать координаты точки, а также уравнение прямой, проекцию точки на которую необходимо найти. Нарисуйте чертеж. Начинайте с изображения координатной плоскости, обозначения центра координат, осей и их направления, а также единичных отрезков. Выполнив это действие, нанесите на полученную плоскость данную вам точку, исходя из знания о ее координатах, и проведите заданную прямую. Если вы хотите быть математически грамотным, ваша прямая должна занимать всю координатную плоскость, не выходя за ее пределы, но и не завершаться до их достижения.
3
Опустите перпендикуляр из данной точки на прямую. Найти проекцию точки означает найти координаты точки пересечения. Для этого проведите через исходную точку и точку пересечения прямую. Вы получите две перпендикулярных прямых. Воспользуйтесь теоремой о том, что у двух перпендикулярных прямых отношение угловых коэффициентов есть минус единица.
4
Исходя из этого, составьте систему уравнений. Координаты искомой точки – (А, В), данной – (А1, В1), уравнение прямой – Сх+Е, уравнение проведенной прямой – (-С)х+К, где К пока неизвестно. Первое уравнение: АС+Е=В. Оно верно, так как искомая точка лежит на данной прямой. Второе уравнение: А1(-С)+К=В1. И третье уравнение: А(-С)+К=В. Имея три линейных уравнения с тремя неизвестными (– А, В, К), вы легко решите поставленную задачу.

Совет 5 : Как найти проекцию прямой на плоскость

Проекцией того или иного объемного объекта называют его изображение на плоскости. Умение строить проекции необходимо представителям самых разных профессий. Это настолько распространенное явление, что люди зачастую даже о нем не думают, просто составляют планы и карты, изображения деталей под тем или иным углом и т.д. Прежде всего, необходимо научиться строить проекцию прямой линии.
Как найти проекцию прямой на плоскость
Вам понадобится
  • - плоскость;
  • - прямая, не принадлежащая данной плоскости;
  • - угольник;
  • - карандаш.
Инструкция
1
Представьте себе плоскость, на которую необходимо спроецировать прямую. Обозначьте ее, например, на листе бумаги. В любом случае, у вас получится изображение на плоскости, так что оно будет достаточно условным. Вам придется применить некоторое пространственное воображение, чтобы представить, как это будет выглядеть в трехмерном пространстве.
2
Проведите прямую, которая не лежит на этой плоскости. Конечно, можно построить и проекцию любой линии, принадлежащей данной плоскости, но она будет полностью совпадать с исходной прямой. Если никаких дополнительных параметров не задано, постройте произвольную прямую. Но в условиях может быть указан и угол между вашими объектами. Он образуется в точке их пересечения.
Проведите прямую, которая не принадлежит заданной плоскости
3
Для того, чтобы построить самую простую ортогональную (прямоугольную) проекцию, опустите из двух любых точек, принадлежащих заданной прямой, перпендикуляры на плоскость. Соедините их отрезком. Это и будет прямоугольная проекция данной линии на плоскость. Если исходная прямая представляет собой отрезок, то спроецировать необходимо его концы. Для луча берется начальная точка и любая другая. Для прямой произвольной длины лучше всего сначала найти место ее пересечения с плоскостью.
4
Чтобы лучше представить, как образуется прямоугольная проекция, проделайте следующий опыт. Повесьте на стену небольшой экран. Можно использовать и просто белую стену. Вам понадобится еще кусок веревки и 2 стула или прикрепленных к столу стойки, а также любой источник света. Привяжите веревку к стойкам. Поставьте их так, чтобы шнур был натянут и находился под углом к экрану. Измерьте шнур.

Поставьте настольную лампу так, чтобы ее луч падал на экран под прямым углом. При этом он должен освещать и веревку. Погасив верхний свет, вы увидите, что натянутый шнур отбрасывает тень на экран, и длина тени не совпадает с длиной шнура. Тень и представляет собой проекцию — в данном случае, прямоугольную. Поэкспериментируйте, размещая источник света так, чтобы его луч падал на экран под разными углами.
Источники:
  • Построение проекций в курсе начертательной геометрии
  • проекции прямой на плоскость

Совет 6 : Как построить три проекции

Чтобы изобразить тот либо иной предмет, сначала изображают его отдельные элементы в виде простейших фигур, а затем выполняется их проекция. Построение проекции довольно часто используется в начертательной геометрии.
Как построить три проекции
Вам понадобится
  • - карандаш;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - справочник «Начертательная геометрия»;
  • - резинка.
Инструкция
1
Вдумчиво прочитайте условия поставленной задачи: к примеру, дана фронтальная проекция F2. Принадлежащая ей точка F расположена на боковой поверхности цилиндра вращения. Требуется построение трех проекций точки F. Мысленно представьте, как все это должно выглядеть, после чего приступайте к построению изображения на бумаге.
Как построить три проекции
2
Цилиндр вращения может быть представлен в виде вращающегося прямоугольника, одна из сторон которого принимается за ось вращения. Вторая сторона прямоугольника - противоположная оси вращения - образует боковую поверхность цилиндра. Остальные две стороны представляют нижнее и верхнее основание цилиндра.
3
Ввиду того, что поверхность цилиндра вращения при построении заданных проекций выполняется в виде горизонтально-проецирующей поверхности, проекция точки F1 обязательно должна совпадать с точкой Р.
4
Изобразите проекцию точки F2: поскольку F находится на фронтальной поверхности цилиндра вращения, точка F2 будет спроецированной на нижнее основание точкой F1.
5
Третью проекцию точки F постройте при помощи оси ординаты: отложите на ней F3 (эта точка-проекция будет расположена правее оси z3).
Видео по теме
Обратите внимание
В ходе построения проекций изображения руководствуйтесь основными правилами, используемыми в начертательной геометрии. В противном случае, выполнить проекции не удастся.
Полезный совет
Чтобы построить изометрическое изображение, используйте верхнее основание цилиндра вращения. Для этого сначала постройте эллипс (он будет расположен в плоскости х'О'у'). После этого проведите касательные линии и нижний полуэллипс. Затем проведите координатную ломаную и с ее помощью постройте проекцию точки F, то есть точку F'.
Источники:
  • Построение проекций точек, принадлежащих цилиндру и конусу
  • как построеть проэкцию целиндра

Совет 7 : Как найти проекцию точки на плоскость

Метод проекций является основой теории построения чертежных изображений в инженерной графике. Чаще всего он используется, когда необходимо найти изображение тела в виде его проекции на плоскости либо получить данные о его положении в пространстве.
Как найти проекцию точки на плоскость
Инструкция
1
В многомерном пространстве любое изображение объекта на плоскости можно получить с помощью проецирования. Однако не стоит судить о геометрической форме тела либо о форме простейших образов в геометрии на основе одной проекции точки. Наиболее полную информацию об изображении геометрического тела дает несколько проекций точек. Для чего используют проекции точек тела минимум в двух плоскостях.
2
Например, необходимо построить проекцию точки А. Для этого расположите две плоскости перпендикулярно друг другу. Одну -горизонтально, называя ее горизонтальной плоскостью и обозначая все проекции элементов с индексом 1. Вторую - вертикально. Назовите ее, соответственно, фронтальной плоскостью, а проекциям элементов присвойте индекс 2. Обе эти плоскости считайте бесконечными и непрозрачными. Линией их пересечений становится ось координат ОХ.
3
Затем примите как факт, что пространство между плоскостями проекции условно делится на четверти. Вы находитесь в первой четверти и видите только те линии и точки, которые находятся в этой области двугранного угла.
4
Суть процесса проецирования состоит в проведении луча через заданную точку, пока луч не встретится с плоскостью проекций. Данный метод получил название метода ортогонального проецирования. Согласно нему, опустите из точки А перпендикуляр на горизонтальную и фронтальную плоскость. Основанием этого перпендикуляра как раз и будет горизонтальная проекция точки А1 либо фронтальная проекция точки А2. Таким образом, вы получите положение этой точки в пространстве заданных плоскостей проекций.
Видео по теме
Обратите внимание
На основе метода проецирования вы можете найти проекцию не одной, а нескольких точек фигуры. И если соедините их линиями на чертеже, получите проекцию этой фигуры в нескольких плоскостях.

Совет 8 : Как найти проекцию

В прямоугольном треугольнике существует два вида сторон – короткая сторона «катет» и длинная сторона «гипотенуза». Если провести проекцию катета на гипотенузу, та разделится на два отрезка. Чтобы определить величину одного из них, нужно прописать набор исходных данных.
Как найти проекцию
Инструкция
1
В исходных данных задачи может быть прописана длина гипотенузы D и длина катета N, чью проекцию требуется найти. Чтобы определить величину проекции Nd, воспользуйтесь свойствами прямоугольного треугольника. Определите длину катета A, используя тот факт, что среднее геометрическое, взятое от длины гипотенузы и проекции катета, равняется искомой величине катета. То есть N = √(D*Nd).
2
Учитывая, что корень из произведения означает то же самое, что и среднее геометрическое, возведите в квадрат значение N (длину искомого катета), и разделите на длину гипотенузы. То есть Nd = (N/√D)² = N²/D.В исходных данных задачи длина могут быть даны значения только катетов N и T. В этом случае длину проекции Nd находите с помощью теоремы Пифагора.
3
Определите длину гипотенузы D, используя значения катетов √(N²+T²) и подставьте полученное значение в формулу для нахождения проекции. Для чего Nd = N²/√(N²+T²).
4
Если в исходных данных содержится информация о длине проекции катета Rd и величине гипотенузы D, то длину проекции второго катета Nd вычислите с помощью простейшей формулы вычитания – Nd = D – Rd.
5
В ситуации, когда известно лишь значение длины гипотенузы D и дано простое соотношение длин катетов (m/h) обратитесь за помощью к формулам из первого шага и третьего шага.
6
Согласно формуле из первого шага примите как факт, что соотношение проекций Nd и Rd приравнивается к соотношению квадратных значений их длин. То есть Nd/Rd = m²/h². Также сумма проекций катетов Nd и Rd равняется длине гипотенузы.
7
Выразите значение проекции катета Rd через искомый катет Nd и подставьте в формулу суммирования. В результате вы получите Nd + Nd*m²/h² = Nd*(1 + m²/h²) = D, после чего выведите формулу нахождения Nd = D/(1 + m²/h²). Значение Nd и укажет величину искомого катета.

Совет 9 : Как найти координаты проекций точек

Пара точек, одна из которых является проекцией другой на плоскость, позволяет составить уравнение прямой, если известно уравнение плоскости. После этого задачу нахождения координат точки проекции можно свести к определению точки пересечения построенной прямой и плоскости в общем виде. После получения системы уравнений в нее останется подставить значения координат исходной точки.
Как найти координаты проекций точек
Инструкция
1
Рассмотрите прямую, проходящую через точку A₁(X₁;Y₁;Z₁), координаты которой известны из условий задачи, и ее проекцию на плоскость Aₒ(Xₒ;Yₒ;Zₒ), координаты которой нужно определить. Эта прямая должна быть перпендикулярна плоскости, поэтому в качестве направляющего вектора используйте нормальный к плоскости вектор. Плоскость задается уравнением a*X + b*Y + c*Z - d = 0, значит, нормальный вектор можно обозначить как ā = {a;b;c}. Исходя из этого вектора и координат точки, составьте канонические уравнения рассматриваемой прямой: (X-X₁)/a=(Y-Y₁)/b=(Z-Z₁)/c.
2
Найдите точку пересечения прямой с плоскостью, записав полученные в предыдущем шаге уравнения в параметрической форме: X = a*t+X₁, Y = b*t+Y₁ и Z = c*t+Z₁. Эти выражения подставьте в известное из условий уравнение плоскости, чтобы найти такое значение параметра tₒ, при котором прямая пересекает плоскость:a*(a*tₒ+X₁) + b*(b*tₒ+Y₁) + c*(c*tₒ+Z₁) - d = 0Преобразуйте его так, чтобы в левой части равенства осталась только переменная tₒ:a²*tₒ + a*X₁ + b²*tₒ + b*Y₁ + c²*tₒ + c*Z₁ - d = 0a²*tₒ + b²*tₒ + c²*tₒ = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ*(a² + b² + c²) = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ = (d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)
3
Подставьте полученное значение параметра для точки пересечения в уравнения проекций на каждую координатную ось из второго шага:Xₒ = a*tₒ+X₁ = a*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + X₁Yₒ = b*tₒ+Y₁ = b*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Y₁Zₒ = c*tₒ+Z₁ = c*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Z₁Рассчитанные по этим формулам величины и будут значениями абсциссы, ординаты и аппликаты точки проекции. Например, если исходная точка A₁ задана координатами (1;2;-1), а плоскость определена формулой 3*X-Y+2*Z-27 = 0, координаты проекции этой точки будут равны:Xₒ = 3*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 1 = 3*28/14 + 1 = 7Yₒ = -1*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 2 = -1*28/14 + 2 = 0Zₒ = 2*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + (-1) = 2*28/14 - 1 = 3Значит, координаты точки проекции Aₒ(7;0;3).
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500