Совет 1: Как решить неравенство логарифмов

Логарифмическое неравенство - это неравенство, содержащее в себе логарифмы. Если вы готовитесь сдавать ЕГЭ по математике, важно уметь решать логарифмические уравнения и неравенства.
Как решить неравенство логарифмов
Инструкция
1
Переходя к изучению неравенств с логарифмами, вы должны уже уметь решать логарифмические уравнения, знать свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество.
2
Решение всех задач на логарифмы начинайте с нахождения ОДЗ - области допустимых значений. Выражение под логарифмом должно быть положительным, основание логарифма должно быть больше нуля и не равняться единице. Следите за равносильностью преобразований. ОДЗ на каждом шаге должно оставаться одним и тем же.
3
При решении логарифмических неравенств важно, чтобы с двух сторон от знака сравнения были логарифмы, причем с одним и тем же основанием. Если с какой-либо стороны представлено число, запишите его в виде логарифма, применяя основное логарифмическое тождество. Число b равняется числу a в степени log, где log - логарифм b по основанию a. Основное логарифмическое торжество является, по сути, определением логарифма.
4
Решая логарифмическое неравенство, обратите внимание на основание логарифма. Если оно больше единицы, то при избавлении от логарифмов, т.е. при переходе к простому числовому неравенству, знак неравенства остается тем же. Если основание логарифма от нуля до единицы, знак неравенства меняется на противоположный.
5
Полезно помнить ключевые свойства логарифмов. Логарифм единицы равен нулю, логарифм числа a по основанию a равен единице. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного равен разности логарифмов. Если подлогарифменное выражение возводится в степень B, то ее можно вынести за знак логарифма. Если основание логарифма возводится в степень A, за знак логарифма можно вынести число 1/A.
6
Если основание логарифма представлено некоторым выражением Q, содержащим переменную x, необходимо рассмотреть два случая: Q(x) ϵ (1;+∞) и Q(x) ϵ (0;1). Соответственно этому ставится и знак неравенства при переходе от логарифмического сравнения к простому алгебраическому.

Совет 2: Как решать логарифмическое неравенство

Логарифмические неравенства - это неравенства, содержащие неизвестное под знаком логарифма и (или) в его основании. При решении логарифмических неравенств часто используют следующие утверждения.
Как решать логарифмическое неравенство
Вам понадобится
  • Умение решать системы и совокупности неравенств
Инструкция
1
Если основание логарифма а>0, то неравенство logaF(x)>logaG(x) равносильно системе неравенств F(x)>G(x), F(x)>0, G(x)>0. Рассмотрим пример: lg(2x^2+4x+10)>lg(x^2-4x+3). Перейдем в равносильной системе неравенств: 2x^2+4x+10>x^2-4x+3, 2x^2+4x+10>0, x^2-4x+3>0. Решив эту систему, получаем решение данного неравенства: х принадлежит промежуткам (-бесконечности,-7), (-1,1), (3,+бесконечности).
2
Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то неравенство logaF(x)>logaG(x) равносильно системе неравенств F(x)0, G(x)>0. Например, log(x+25) по основанию 0.5>log(5x-10) по основанию 0,5. Перейдем в равносильной системе неравенств: x+25<8x-10, x+25>0, 8x-10>0. При решении данной системы неравенств, получаем x>5, что и будет являться решением первоначального неравенства.
3
Если неизвестное стоит и под знаком логарифма и в его основании, то уравнение logF(x) по основанию h(x)>logG(x) по основанию h(x) равносильно совокупности систем: 1 система - h(x)>1, F(x)>G(x), F(x)>0, G(x)>0; 2 - 00, G(x)>0. Например, log(5-x) по основанию (x+2)/(x-3)>log(4-x) по основанию (x+2). Совершим равносильный переход к совокупности систем неравенств: 1 система - (x+2)/(x-3)>1, x+2>4-x, x+2>0, 4-x>0; 2 система - 0<(x+2)/(x-3)<1, x+2<4-x, x+2>0, 4-x>0. Решая данную совокупность систем, получаем 3
4
Некоторые логарифмические уравнения возможно решить с помощью замены переменной. Например, (lgX)^2+lgX-2>=0. Обозначим lgX=t, тогда получаем уравнение t^2+t-2>=0, решая которое получаем t<=-2 или t>=1. Таким образом получаем совокупность неравенств lgX<=2, lgX>=1. Решаем их, x>=10^(-2)? 00.
Видео по теме
Обратите внимание
В 1-3 утверждениях могут стоять любые знаки (>=,
Полезный совет
Логарифм с основанием 10, называется десятичным и обозначается lgX.
Логарифм с основанием 2,7 называется натуральным и обозначается lnX.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500