Совет 1: Как находить промежутки возрастания и убывания

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для произвольных х2>x1 f(x2)>f(x1). Если же при этом f(х2)
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Известно, что для возрастающей функции y=f(x) ее производная f’(x)>0 и соответственно f’(x)
2
Пример: найдите промежутки монотонности y=(x^3)/(4-x^2). Решение. Функция определена на всей числовой оси, кроме х=2 и х=-2. Корме того она нечетна. Действительно, f(-x)=((-x)^3)/(4-(-x)^2)= -(x^3)/(4-x^2)=f(-x). Это означает, что f(x) симметрична относительно начала координат. Поэтому исследование поведение функции можно совершить только для положительных значений х, а затем достроить отрицательную ветвь симметрично положительной.y’=(3(x^2)(4-x^2)+2x(x^3))/((4-x^2)^2)=(x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2).y’ - не существует при x=2 и x=-2, но при этом не существует и сама функция.
3
Теперь необходимо найти интервалы монотонности функции. Для этого следует решить неравенство: (x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2)>0 или (x^2)(x-2sqrt3)(x+2sqrt3)((x-2)^2)((x+2)^2))0. Используйте метод интервалов, при решении неравенства. Тогда получится (см. рис.1).
4
Далее рассмотрите поведение функции на интервалах монотонности, присоединяя сюда все сведения из области отрицательных значений числовой оси (в силу симметрии все сведения там обратны, в том числе и по знаку).f’(x)>0 при –∞
5
Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции y=x+lnx/x.Решение. Область определения функции – x>0.y’=1+(1-lnx)/(x^2)=(x^2+1-lnx)/(x^2). Знак производной при x>0 полностью определяется скобкой (x^2+1-lnx). Так как x^2+1>lnx, то y’>0. Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.
6
Пример 3. Найти интервалы монотонности функции y’=x^4-2x^2-5.Решение. y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1). Применяя метод интервалов (см. рис.2), необходимо найти промежутки положительных и отрицательных значений производной. Используя метод интервалов, вы сможете быстро определить, что на промежутках x0 функция возрастает.

Совет 2: Как определить промежутки монотонности

Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает. Ряд определенных действий поможет найти такие диапазоны для функции, что нередко требуется в алгебраических задачах подобного рода.
Инструкция
1
Первым шагом в решении задачи по определению интервалов, в которых функция монотонно возрастает или убывает, станет вычисление области определения данной функции. Для этого узнайте все значения аргументов (значения по оси абсцисс), для которых можно найти значение функции. Отметьте точки, в которых наблюдаются разрывы. Найдите производную функции. Определив выражение, которое представляет собой производную, приравняйте его к нулю. После этого следует найти корни получившегося уравнения. Не забывайте про область допустимых значений.
2
Точки, в которых функция не существует либо в которых ее производная равна нулю, представляют собой границы интервалов монотонности. Эти диапазоны, а также точки, их разделяющие, следует последовательно внести в таблицу. Найдите знак производной функции в полученных промежутках. Для этого подставьте в выражение, соответствующее производной, любой аргумент из интервала. Если результат положительный, функция в данном диапазоне возрастает, в обратном случае — убывает. Результаты вносятся в таблицу.
3
В строку, обозначающую производную функции f’(x), записывается соответствующий значениям аргументов символ: «+» — если производная положительна,«-» — отрицательна или «0» – равна нулю. В следующей строке отметьте монотонность самого исходного выражения. Стрелка вверх соответствует возрастанию, стрелка вниз – убыванию. Отметьте точки экстремума функции. Это точки, в которых производная равна нулю. Экстремум может быть либо точкой максимума, либо точкой минимума. Если предыдущий участок функции возрастал, а текущий убывает, значит это точка максимума. В случае, когда до данной точки функция убывала, а теперь возрастает – это точка минимума. Внесите в таблицу значения функции в точках экстремума.
Источники:
  • что такое определение монотонность

Совет 3: Как найти промежутки монотонности и экстремума

Исследование поведения функции, имеющей сложную зависимость от аргумента, проводится с помощью производной. По характеру изменения производной можно найти критические точки и участки роста или убывания функции.
Инструкция
1
На различных участках числовой плоскости функция ведет себя по-разному. При пересечении оси ординат функция меняет знак, проходя нулевое значение. Монотонный подъем может сменяться убыванием при прохождении функции через критические точки — экстремумы. Найти экстремумы функции, точки пересечения с координатными осями, участки монотонного поведения — все эти задачи решаются при анализе поведения производной.
2
Перед началом исследования поведения функции Y = F(x) оцените область допустимых значений аргумента. Принимайте к рассмотрению только те значения независимой переменной «х», при которой возможно существование функции Y.
3
Проверьте, является ли заданная функция дифференцируемой на рассматриваемом интервале числовой оси. Найдите первую производную заданной функции Y' = F'(x). Если F'(x)>0 для всех значений аргумента, то функция Y = F(x) на этом отрезке возрастает. Верно и обратное утверждение: если на интервале F'(x)<0, то на этом участке функция монотонно убывает.
4
Для нахождения экстремумов решите уравнение F'(x)=0. Определите значение аргумента x₀, при котором первая производная функции равна нулю. Если функция F(x) существует при значении х=х₀ и равна Y₀=F(x₀), то полученная точка является экстремумом.
5
Чтобы определить, является найденный экстремум точкой максимума или минимума функции, вычислите вторую производную F"(x) исходной функции. Найдите значение второй производной в точке x₀. Если F"(x₀ )>0, то x₀ - точка минимума. Если F"(x₀ )<0, то x₀- точка максимума функции.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше