Совет 1: Как вычислить предел последовательности

Если переменная, последовательность или функция имеет бесконечное количество значений, которые изменяются по некоторому закону, она может стремиться к определенному числу, которое и является пределом последовательности. Вычислять пределы можно различными способами.
Вам понадобится
  • - понятие числовой последовательности и функции;
  • - умение брать производные;
  • - умение преобразовывать и сокращать выражения;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Чтобы вычислить предел, подставьте в его выражение предельное значение аргумента. Попробуйте произвести вычисление. Если это возможно, то значение выражения с подставленным значением и есть искомое число. Пример: Найдите значения предела последовательности с общим членом (3•x?-2)/(2•x?+7), если x > 3. Произведите подстановку предела в выражение последовательности (3•3?-2)/(2•3?+7)=(27-2)/(18+7)=1.
2
Если при попытке подстановки есть неопределенность, выберите способ, которым ее можно устранить. Это можно сделать, преобразовав выражения, в которых записывается последовательность. Произведя сокращения, получите результат. Пример: Последовательность (x+vx)/(x-vx), когда x > 0. При прямой подстановке получается неопределенность 0/0. Избавьтесь от нее, вынеся из числителя и знаменателя общий множитель. В данном случае это будет vx. Получите (vx•(vx+1))/(vx•(vx-1))= (vx+1)/(vx-1). Теперь поле подстановки получите 1/(-1)=-1.
3
Когда при неопределенности дробь невозможно сократить (особенно, если последовательность содержит иррациональные выражения) умножьте ее числитель и знаменатель на спряженное выражение, для того, чтобы убрать иррациональность из знаменателя. Пример: Последовательность x/(v(x+1)-1). Значение переменной x > 0. Умножьте числитель и знаменатель на спряженное выражение (v(x+1)+1). Получите (x• (v(x+1)+1))/( (v(x+1)-1)•(v(x+1)+1))=(x• (v(x+1)+1))/(x+1-1)= (x• (v(x+1)+1))/x=v(x+1)+1. Произведя подстановку, получите =v(0+1)+1=1+1=2.
4
При неопределенностях типа 0/0 или ?/? используйте правило Лопиталя. Для этого числитель и знаменатель последовательности представьте как функции, возьмите из них производные. Предел их отношений будет равен пределу отношений самих функций. Пример: Найти предел последовательности ln(x)/vx, при x > ?. Прямая подстановка дает неопределенность ?/?. Возьмите производные из числителя и знаменателя и получите (1/x)/(1/2•vx)=2/vx=0.
5
Для раскрытия неопределенностей пользуйтесь первым замечательным пределом sin(x)/x=1 при x>0, или вторым замечательным пределом (1+1/x)^x=exp при x>?. Пример: Найти предел последовательности sin(5•x)/(3•x) при x>0. Преобразуйте выражение sin(5•x)/(3/5•5•x) вынесите множитель из знаменателя 5/3•( sin(5•x)/(5•x)) используя первый замечательный предел получите 5/3•1=5/3.
6
Пример: Найти предел (1+1/(5•x))^(6•x) при x>?. Умножьте и поделите показатель степени на 5•x. Получите выражение ((1+1/(5•x))^(5•x)) ^(6•x)/(5•x). Применив правило второго замечательного предела, получите exp^(6•x)/(5•x)=exp.

Совет 2: Как вычислить предел

Теория пределов – довольно обширная область математического анализа. Это понятие применимо к функции и представляет собой конструкцию из трех элементов: обозначение lim, выражение под знаком предела и предельное значение аргумента.
Инструкция
1
Чтобы вычислить предел, необходимо определить, чему равна функция в точке, соответствующей предельному значению аргумента. В некоторых случаях задача не имеет конечного решения, а подстановка значения, к которому стремится переменная, дает неопределенность вида «ноль на ноль» или «бесконечность на бесконечность». В этом случае применимо правило, выведенное Бернулли и Лопиталем, которое подразумевает взятие первой производной.
2
Как и любое другое математическое понятие, предел может содержать под своим знаком выражение функции, слишком громоздкое или неудобное для простой подстановки. Тогда необходимо прежде упростить его, пользуясь обычными методами, например, группировка, вынесение общего множителя и замена переменной, при которой меняется и предельное значение аргумента.
3
Рассмотрите пример, чтобы сделать теорию более наглядной. Найдите предел функции (2•x² – 3•x – 5)/(x + 1) при х, стремящемся к 1. Сделайте простую подстановку:(2•1² – 3•1 – 5)/(1 + 1) = -6/2 = -3.
4
Вам повезло, выражение функции имеет смысл при данном предельном значении аргумента. Это простейший случай вычисления предела. Теперь решите следующую задачу, в которой фигурирует неоднозначное понятие бесконечности:lim_(x→∞) (5 - x).
5
В этом примере x стремится к бесконечности, т.е. постоянно возрастает. В выражении переменная фигурирует со знаком минус, следовательно, чем больше значение переменной, тем больше убывает функция. Поэтому предел в этом случае равен -∞.
6
Правило Бернулли-Лопиталя:lim_(x→-2) (x^5 – 4•x³)/(x³ + 2•х²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = [0/0].Продифференцируйте выражение функции:lim (5•x^4 – 12•x²)/(3•x² + 4•x) = (5•16 – 12•4)/(3•4 - 8) = 8.
7
Замена переменной:lim_(x→125) (x + 2•∛x)/(x + 5) = [y=∛x] = lim_(y→5) (y³ + 2•y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/(125 + 5) = 27/26.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500