Совет 1: Какие числа кратны 10

Кратность - математический термин, который обозначает особое соотношение двух чисел между собой. При этом определенное число может быть кратным одному или одновременно нескольким числам.
Термин «кратность» относится к области математики: с точки зрения этой науки, он означает количество раз, которое определенное число входит в состав другого числа.

Понятие кратности


Упрощая приведенное определение, можно сказать, что кратность одного числа по отношению к другому показывает, во сколько раз первое число больше второго. Таким образом, тот факт, что одно число является кратным другому фактически означает, что большее из них способно быть разделенным на меньшее без остатка. Например, кратным числу 3 является 6.

Такое понимание термина «кратность» влечет за собой выведение из него нескольких важных следствий. Первое из них - то, что любое число может иметь неограниченное количество кратных ему чисел. Это связано с тем, что фактически для того, чтобы получить кратное некоторому числу другое число, необходимо первое из них умножить на любое целое положительное значение, которых, в свою очередь, имеется бесконечное множество. Например, кратными числу 3 являются числа 6, 9, 12, 15 и другие, получаемые умножением числа 3 на любое целое положительное число.

Второе важное свойство касается определения наименьшего целого числа, являющегося кратным рассматриваемому. Так, наименьшим кратным по отношению к любому числу является само это число. Это связано с тем, что наименьшим целым результатом деления одного числа на другое является единица, а именно деление числа само на себя и обеспечивает этот результат. Соответственно, число, кратное рассматриваемому, не может быть меньше, чем само это число. Например, для числа 3 наименьшим кратным числом будет 3. При этом определить наибольшее число, кратное рассматриваемому, фактически невозможно.

Числа, кратные 10


Числа, кратные 10, обладают всеми перечисленными свойствами наравне с другими кратными числами. Так, из перечисленных свойств следует, что наименьшим числом, кратным 10, является само число 10. При этом, поскольку число 10 является двузначным, можно сделать вывод, что кратным числу 10 могут быть только числа, состоящие не менее чем из двух знаков.

Для того чтобы получить другие числа, кратные 10, необходимо число 10 умножить на любое целое положительное число. Таким образом, в перечень чисел, кратных 10, войдут числа 20, 30, 40, 50 и так далее. Следует обратить внимание, что все полученные числа должны без остатка делиться на 10. При этом определить наибольшее число, кратное 10, как и в случаях с другими числами, невозможно.

Кроме того, обратите внимание, что существует простой практический способ определить, является ли конкретное рассматриваемое число кратным 10. Для этого следует выяснить, какова его последняя цифра. Так, если она равна 0, рассматриваемое число будет кратным 10, то есть может быть без остатка разделено на 10. В противном случае число не является кратным 10.

Совет 2: Как найти наименьшее общее кратное чисел

Школьники часто встречают среди заданий по математике такую формулировку: "найдите наименьшее общее кратное чисел". Этому обязательно нужно научиться делать, чтобы выполнять различные действия с дробями с неодинаковыми знаменателями.

Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Общее кратное натуральных чисел - это такое число, которое делится на них без остатка.

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}

К (6) = {12, 18, 24,  ...}

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

НОК (4, 6) = 24

Если числа большие, или нужно найти наименьшее общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.

Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.

Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.

В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.

Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.

50 = 2 * 5 * 5

20 = 2 * 5 * 2

В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители,  которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.

Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.

Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.

В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).

Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.

Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.

Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.

Например, НОК (10, 11) = 110.

Видео по теме

Совет 3: Как найти нод и нок чисел

Целые числа – множество математических чисел, имеющих большое применение в повседневной жизни. Неотрицательные целые числа используются при указании количества любых объектов, отрицательные числа - в сообщениях о прогнозе погоды и пр. НОД и НОК – это натуральные характеристики целых чисел, связанные с операциями деления.
Инструкция
1
Наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел – это наибольшее целое число, на которое делятся оба исходных числа без остатка. При этом хотя бы одно из них должно быть отличным от нуля, как и НОД.
2
НОД легко вычислить по алгоритму Евклида или бинарному методу. По алгоритму Евклида определения НОД чисел a и b, одно из которых не равно нулю, существует такая последовательность чисел r_1 > r_2 > r_3 > … > r_n, в которой элемент r_1 равен остатку от деления первого числа на второе. А другие члены последовательности равны остаткам от деления предпредыдущего члена на предыдущий, а предпоследний элемент делится на последний без остатка.
3
Математически последовательность можно представить в виде:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3

r_(n - 1) = r_n*k_n,
где k_i – целочисленный множитель.
НОД (a, b) = r_n.
4
Алгоритм Евклида называют взаимным вычитанием, поскольку НОД получается при последовательном вычитании меньшего из большего. Нетрудно предположить, что НОД (a, b) = НОД (b, r).
5
Пример.
Найдите НОД (36, 120). По алгоритму Евклида отнимите от 120 число, кратное 36, в данном случае это 120 – 36*3 = 12. Теперь отнимите от 120 число, кратное 12, получится 120 – 12*10 = 0. Следовательно, НОД (36, 120) = 12.
6
Бинарный алгоритм нахождения НОД основан на теории сдвига. Согласно этому методу НОД двух чисел обладает следующими свойствами:
НОД (a, b) = 2*НОД (a/2, b/2) для четных a и b
НОД (a, b) = НОД (a/2, b) для четного a и нечетного b (наоборот верно НОД (a, b) = НОД (a, b/2))
НОД (a, b) = НОД ((a - b)/2, b) для нечетных a > b
НОД (a, b) = НОД ((b - a)/2, a) для нечетных b > a
Таким образом, НОД (36, 120) = 2*НОД (18, 60) = 4*НОД (9, 30) = 4* НОД (9, 15) = 4*НОД ((15 - 9)/2=3, 9) = 4*3 = 12.
7
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел – это наименьшее целое число, которое делится на оба исходных числа без остатка.
НОК можно вычислить через НОД: НОК (a, b) = |a*b|/НОД (a, b).
8
Второй способ вычисления НОК – каноническое разложение чисел на простые множители:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
где r_i – простые числа, а k_i и m_i – целые числа ≥ 0.
НОК представляется в виде тех же простых множителей, где в качестве степеней берутся максимальные из двух чисел.
9
Пример.
Найдите НОК (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
НОК (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
Обратите внимание
Существует понятие взаимно-простых чисел, у которого нет общих делителей, кроме 1. Для таких чисел НОД (a, b) = 1.
Источники:
  • как найти наименьшее целое число
Источники:
  • Делители и кратные числа
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500