Совет 1: Можно ли делить на 0 в высшей математике

Математика – это наука, которая сначала ставит запреты и ограничения, а затем сама их нарушает. В частности, начав изучение высшей алгебры в ВУЗе, вчерашние школьники с удивлением узнают, что не все так однозначно в вопросах извлечения квадратного корня из отрицательного числа или деления на ноль.
Можно ли делить на 0 в высшей математике

Школьная алгебра и деление на ноль

В курсе школьной арифметики все математические операции проводятся с вещественными числами. Множество этих чисел (или непрерывное упорядоченное поле) имеет ряд свойств (аксиом): коммутативность и ассоциативность умножения и сложения, существование нуля, единицы, противоположного и обратного элементов. Также аксиомы порядка и непрерывности, применяемые для сравнительного анализа, позволяют определить все свойства вещественных чисел.

Поскольку деление является операцией, обратной умножению, при делении на ноль вещественных чисел неизбежно возникновение двух неразрешимых проблем. Во-первых, проверка результата деления на ноль при помощи умножения не имеет числового выражения. Каким бы числом не было частное, если его умножить на ноль, делимое получить невозможно. Во-вторых, в примере 0:0 ответом может служить абсолютно любое число, которое при перемножении с делителем всегда обращается в ноль.

Деление на ноль в высшей математике

Перечисленные трудности деления на ноль привели к наложению табу на эту операцию, по крайней мере, в рамках школьного курса.  Однако в высшей математике находят возможности обойти этот запрет.

Например, за счет построения другой алгебраической структуры, отличной от знакомой всем числовой прямой. Примером такой структуры является колесо. Здесь существуют свои законы и правила. В частности, деление не привязано к умножению и превращается из бинарной операции (с двумя аргументами) в унарную (с одним аргументом), обозначается символом /х.

Расширение поля вещественных чисел происходит за счет введения гиперреальных чисел, которое охватывает бесконечно большие и бесконечно малые величины. Такой подход позволяет рассматривать термин «бесконечность» как некое число. Причем это число при расширении числовой прямой теряет свой знак, превращаясь в идеализированную точку, соединяющую два конца этой прямой. Такой подход можно сравнить с линией смены дат, когда при переходе между двумя часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 можно оказаться в следующем дне или же в предыдущем. При этом становится верным утверждение х/0=∞ для любых х≠0.

Чтобы устранить неопределенность 0/0, для колеса вводится новый элемент ⏊=0/0. При этом в данной алгебраической структуре есть свои нюансы: 0·х≠0; х-х≠0 в общем случае. Также х·/х≠1, поскольку деление и умножение больше не считаются обратными операциями. Но данные особенности колеса хорошо объясняются с помощью тождеств  дистрибутивного закона, действующего в такой алгебраической структуре несколько иначе. Более подробные разъяснения можно найти в специализированной литературе.

Алгебра, к которой все привыкли, является, по сути, частным случаем более сложных систем, например, того же колеса. Как видим, делить на ноль в высшей математике можно. Для этого требуется выйти за границы привычных представлений о числах, алгебраических операциях и законах, которым они подчиняются. Хотя это вполне естественный процесс, сопровождающий любой поиск новых знаний.

Почему нельзя делить на ноль?
Связанная статья
Почему нельзя делить на ноль?
Источники:

Совет 2 : Можно ли 0 делить на отрицательное число

Математические действия с нулем часто выделяются особыми правилами и даже запретами. Так, все школьники еще с начальной школы усваивают правило: «На ноль делить нельзя». Относительно отрицательных чисел правил и условностей еще больше. Все это заметно усложняет понимание школьником материала, так что иногда даже непонятно, можно ли ноль поделить на отрицательное число.
Можно ли 0 делить на отрицательное число

Что такое деление

Прежде всего, чтобы разобраться можно ли ноль поделить на отрицательное число, следует вспомнить, как вообще выполняется деление отрицательных чисел. Математическая операция деления представляет собой действие, обратное умножению.

Это можно описать следующим образом: если a и b рациональные числа, то разделить a на b, это значит найти такое число с, которое при умножении на b даст в результате число a. Данное определение деления верно как для положительных, так и для отрицательных чисел, если делители отличны от нуля. При этом строго соблюдается условие, что на ноль делить нельзя.

Поэтому, например, чтобы разделить число 32 на число -8, следует найти такое число, которое при умножении на число -8 даст в итоге число 32. Таким числом будет -4, так как

(-4) х (-8) = 32. Знаки при этом складываются, и минус на минус даст в итоге плюс.

Таким образом:

32 : (-8) = -3.

Другие примеры деления рациональных чисел:

21 : 7 = 3, так как 7 х 3 = 21,

(−9) : (−3) = 3, так как 3 · (−3) = −9.

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы определить модуль частного, необходимо разделить модуль делимого числа на модуль делителя. При этом важно учитывать знак и того, и другого элемента операции. 

Чтобы поделить два числа с одинаковыми знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, а перед результатом поставить знак плюс.

Чтобы поделить два числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, но перед результатом поставить знак минус, причем неважно, какой именно из элементов, делитель или делимое, был отрицательным.

Указанные правила и соотношения между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, справедливы и для всех рациональных чисел, кроме числа ноль.

Для нуля есть важное правило: частное от деления нуля на любое отличное от нуля число также равно нулю.

0 : b = 0,   b ≠ 0. Причем b может быть и положительным, и отрицательным числом.

Таким образом, можно сделать вывод, что ноль поделить на отрицательное число можно, причем в результате всегда будет ноль.

Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500