Совет 1: Как найти уравнение касательной к графику функции

Эта инструкция содержит ответ на вопрос, как найти уравнение касательной к графику функции. Приведена исчерпывающая справочная информация. Применение теоретических выкладок разобрано на конкретном примере.
Инструкция
1
Справочный материал.
Для начала дадим определение касательной. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей NM, когда точка N приближается вдоль кривой к точке М.

Найдем уравнение касательной к графику функции y = f(x).
2
Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Проведем секущую MN1, образующую с положительным направлением оси Ox угол α.
Координаты точки М (x; y), координаты точки N1(x+∆x; y+∆y).


Из полученного треугольника MN1N можно найти угловой коэффициент этой секущей:

tg α = Δy/Δx

MN = ∆x
NN1 = ∆y

При стремлении точки N1 по кривой к точке M секущая MN1 поворачивается вокруг точки M, причем угол α стремится к углу ϕ между касательной MT и положительным направлением оси Ox.

k = tg ϕ =〖 lim〗┬(∆x→0)⁡〖 〗 Δy/Δx = f`(x)

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. В этом заключается геометрический смысл производной.
3
Уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке М имеет вид:

y - y0 = f`(x0) (x - x0),
где (x0; y0) – координаты точки касания,
(x; y) – текущие координаты, т.е. координаты любой точки, принадлежащей касательной,
f`(x0) = k = tg α – угловой коэффициент касательной.
4
Найдем уравнение касательной на примере.

Дан график функции y=x2 – 2x. Нужно найти уравнение касательной в точке с абсциссой x0 = 3.

Из уравнения данной кривой находим ординату точки касания y0 = 32 - 2∙3 = 3.

Находим производную, а затем вычисляем ее значение в точке x0 = 3.
Имеем:
y`=2x – 2
f`(3) = 2∙3 – 2 = 4.

Теперь, зная точку (3; 3) на кривой и угловой коэффициент f`(3) = 4 касательной в этой точке, получаем искомое уравнение:
y – 3 = 4 (x – 3)
или
y – 4x + 9 = 0

Совет 2: Как найти касательное уравнение

В учебнике 11 класса по алгебре учащиеся проходят тему производных. И вот в этом большом параграфе особое место уделено для выяснения, что же такое касательная к графику, и как найти и составить ее уравнение.
Инструкция
1
Пускай даны функция y=f(x) и определенная точка М с координатами а и f(a). И пусть известно, что существует f'(a). Ссоставим уравнение касательной. Это уравнение, как уравнение любой другой прямой, которая не параллельна оси ординат, имеет вид y=kx+m, поэтому для его составления необходимо найти неизвестные k и m. С угловым коэффициентом все ясно. Если М принадлежит графику и если от нее можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент k равен f'(a). Для вычисления неизвестного m используем то, что искомая прямая проходит через точку М. Следовательно, если подставить координаты точки в уравнение прямой, то получим верное равенство f(a)=ka+m. отсюда находим, что m=f(a)-ka. Осталось только подставить значения коэффициентов в уравнение прямой.

y=kx+m

y=kx+(f(a)-ka)

y=f(a)+f'(a)(x-a)

Из этого следует, что уравнение имеет вид y=f(a)+f'(a)(x-a).
2
Для того, чтобы найти уравнение касательной к графику используют определенный алгоритм. Во-первых, обозначьте х буквой а. Во-вторых, вычислите f(a). В третьих, найдите производную от х и вычислите f'(a). И наконец, подставьте найденные а, f(a) и f'(a) в формулу y=f(a)+f'(a)(x-a).
3
Для того, чтобы лучше понять, как использовать алгоритм, рассмотрите следующую задачу. Составьте уравнение касательной для функции y=1/x в точке х=1.
Для решения этой задачи воспользуйтесь алгоритмом составления уравнения. Но при этом учитывайте, что в данном примере дана функция f(x)=2-х-х3, а=0.

1. В условии задачи указано значение точки а;

2. Следовательно, f(a)=2-0-0=2;

3. f'(x)=0-1-3х=-1-3х; f'(a)=-1;

4. Подставьте найденные числа в уравнение касательной к графику:

y=f(a)+f'(a)(x-a)=2+(-1)(х-0)=2-х.

Ответ: y=2-х.
Полезный совет
Для подтверждения вы можете построить график функции и найденной прямой.

Совет 3: Как написать уравнение касательной

Касательная к кривой — прямая, которая прилегает к этой кривой в заданной точке, то есть проходит через нее так, что на небольшом участке вокруг этой точки можно без особой потери точности заменить кривую на отрезок касательной. Если эта кривая является графиком функции, то касательную к ней можно построить по специальному уравнению.
Инструкция
1
Предположим, что у вас есть график некоторой функции. Через две точки, лежащие на этом графике, можно провести прямую. Такая прямая, пересекающая график заданной функции в двух точках, называется секущей.

Если, оставляя первую точку на месте, постепенно двигать в ее направлении вторую точку, то секущая постепенно станет поворачиваться, стремясь к какому-то определенному положению. В конце концов, когда две точки сольются в одну, секущая будет плотно прилегать к вашему графику в этой единственной точке. Иными словами, секущая превратится в касательную.
2
Любая наклонная (то есть не вертикальная) прямая на координатной плоскости является графиком уравнения y = kx + b. Секущая, проходящая через точки (x1, y1) и (x2, y2), должна, таким образом, соответствовать условиям:
kx1 + b = y1, kx2 + b = y2.
Решая эту систему двух линейных уравнений, получаем: kx2 - kx1 = y2 - y1. Таким образом, k = (y2 - y1)/(x2 - x1).
3
Когда расстояние между x1 и x2 стремится к нулю, разности превращаются в дифференциалы. Таким образом, в уравнении касательной, проходящей через точку (x0, y0) коэффициент k будет равен ∂y0/∂x0 = f′(x0), то есть значению производной от функции f(x) в точке x0.
4
Чтобы узнать коэффициент b, подставим уже вычисленное значение k в уравнение f′(x0)*x0 + b = f(x0). Решая это уравнение относительно b, мы получим, что b = f(x0) - f′(x0)*x0.
5
Окончательный вариант уравнения касательной к графику заданной функции в точке x0, выглядит так:
y = f′(x0)*(x - x0) + f(x0).
6
В качестве примера рассмотрим уравнение касательной к функции f(x) = x^2 в точке x0 = 3. Производная от x^2 равна 2x. Следовательно, уравнение касательной приобретает вид:
y = 6*(x - 3) + 9 = 6x - 9.
Правильность этого уравнения легко проверить. График прямой y = 6x - 9 проходит через ту же точку (3;9), что и исходная парабола. Построив оба графика, вы сможете убедиться, что эта прямая действительно прилегает к параболе в этой точке.
7
Таким образом, график функции имеет касательную в точке x0 только тогда, когда функция имеет производную в этой точке. Если в точке x0 функция обладает разрывом второго рода, то касательная превращается в вертикальную асимптоту. Однако одно только наличие производной в точке x0 еще не гарантирует непременного существования касательной в этой точке. Например, функция f(x) = |x| в точке x0 = 0 непрерывна и дифференцируема, но провести касательную к ней в этой точке невозможно. Стандартная формула в этом случае дает уравнение y = 0, но эта прямая не является касательной к графику модуля.
Источники:
  • Математика для школьников — уравнение касательной
  • составить уравнение касательной

Совет 4: Как найти абсциссу точки касания

При составлении уравнения касательной к графику функции используется понятие «абсцисса точки касания». Данная величина может задаваться изначально в условиях задачи или же ее необходимо определять самостоятельно.
Инструкция
1
Начертите на листе в клеточку оси координат х и у. Изучите заданное уравнение для графика функции. Если оно является линейным, то достаточно узнать два значения для параметра у при любых х, после чего построить найденные точки на оси координат и соединить их прямой линией. Если же график нелинейный, то составьте таблицу зависимости у от х и подберите как минимум пять точек для построения графика.
2
Постройте график функции и поставьте на оси координат заданную точку касательной. Если она совпадает с функцией, то ее координата х приравнивается к букве «а», которой обозначается абсцисса точки касания.
3
Определите значение абсциссы точки касания для случая, когда заданная точка касательной не совпадает с графиком функции. Задаем третий параметр буквой «а».
4
Запишите уравнение функции f(a). Для этого в исходное уравнение вместо х подставьте а. Найдите производную функции f(x) и f(a). Подставьте необходимые данные в общее уравнение касательной, которое имеет вид: y = f(a) + f '(a)(x – a). В результате получить уравнение, которое состоит из трех неизвестных параметров.
5
Подставьте в него вместо х и у координаты заданной точки, через которую проходит касательная. После этого найдите решение полученного уравнения для всех а. Если оно является квадратным, то будет два значения абсциссы точки касания. Это значит, что касательная проходит два раза возле графика функции.
6
Нарисуйте график заданной функции и параллельной прямой, которые заданы по условию задачи. В этом случае необходимо также задать неизвестный параметр а и подставить его в уравнение f(a). Приравняйте производную f(a) к производной уравнения параллельной прямой. Данное действие выходит из условия параллельности двух функций. Найдите корни полученного уравнения, которые будут являться абсциссами точки касания.

Совет 5: Как найти угловой коэффициент касательной

Прямая y=f(x) будет касательной к изображенному на рисунке графику в точке х0 в том случае, если она проходит через точку с координатами (х0; f(x0)) и обладает угловым коэффициентом f'(x0). Найти такой коэффициент, зная особенности касательной, несложно.
Вам понадобится
  • - математический справочник;
  • - простой карандаш;
  • - тетрадь;
  • - транспортир;
  • - циркуль;
  • - ручка.
Инструкция
1
Обратите внимание на то, что график дифференцируемой в точке х0 функции f(x) ничем не отличается от отрезка касательной. Ввиду этого, он достаточно близок к отрезку l, который проходит через точки (х0; f(х0)) и (х0+Δx; f(x0 + Δx)). Для того чтобы задать прямую, которая проходит через некую точку А с коэффициентами (х0; f(х0)), следует указать ее угловой коэффициент. При этом угловой коэффициент равен Δy/Δx секущей касательной (Δх→0) и стремится к числу f‘(x0).
2
Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f'(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной.
3
Изобразите на рисунке дополнительные касательные, которые бы соприкасались с графиком функции в точках x1, х2 и х3, а также отметьте углы, образуемые этими касательными с осью абсцисс (такой угол отсчитывают в положительном направлении от оси до касательной прямой). К примеру, первый угол, то есть, α1, будет острым, второй (α2) – тупой, а третий (α3) равен нулю, поскольку проведенная касательная прямая параллельна оси ОХ. В таком случае тангенс тупого угла – отрицательное значение, тангенс острого угла – положительное, а при tg0 результат равен нулю.
Обратите внимание
Правильно определите угол, образуемый касательной. Для этого используйте транспортир.
Полезный совет
Две наклонные прямые будут параллельными в том случае, если их угловые коэффициенты равны между собой; перпендикулярными, если произведение угловых коэффициентов этих касательных равно -1.
Источники:
  • Касательная к графику функции

Совет 6: Как найти координаты точки касания

Прежде чем приступить к нахождению координат точки касания, необходимо проверить возможность проведения касательной. Для этого выполните анализ функции, описывающей заданную кривую на определенном участке.
Инструкция
1
Касательная к произвольной линии на плоскости в прямоугольной системе координат — это предел, к которому стремится секущая к данной кривой при максимальном сближении точек пересечения кривой и прямой.
2
Следовательно, касательная имеет только одну общую точку с кривой. Однако это утверждение справедливо для строго определенного участка. В зависимости от поведения кривой в других областях координатной плоскости, касательная может пересекать заданную линию или, наоборот, удаляться от нее.
3
К некоторым кривым можно провести касательную в любой точке. Примеры таких линий — окружность, эллипс. Другие непрерывные кривые могут иметь точки, в которых построить касательную невозможно. Это происходит на участках, где секущая не стремится к одному предельному положению.
4
Пусть произвольная кривая описывается выражением Y=F(x). Общий вид уравнения прямой Y=kx+a. Очевидно, что в точке касания с координатами (Xo, Yо) справедливо равенство: F(Xo)=kXo+a.
5
Если функция F(x) дифференцируема в точке Xo, в этой точке можно провести касательную к кривой, и коэффициент наклона касательной к оси OX равен значению производной функции: k=F'(Xo). Уравнение касательной в точке касания принимает вид Yo=F'(Xo)*Xo+a. Задача нахождения координат точки касания сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными Yo=F(Xo) и Yo= F'(Xo)*Xo+a.
6
Плоскость является касательной к поверхности, если имеет общую с поверхностью точку и прямую или плоскую кривую линию. Определение координат (Xo Yo Zo) общей точки касательной плоскости и заданной криволинейной поверхности Z=F(x,y) возможно в случае если функция F(x,y) имеет полный дифференциал в данной точке.
Видео по теме

Совет 7: Как решать график функции и касательной

Задача составления уравнения касательной к графику функции сводится к необходимости совершения отбора из множества прямых тем, которые могут удовлетворить заданным требованиям. Все этим прямые могут задаваться либо точками, либо угловым коэффициентом. Для того чтобы решить график функции и касательной, необходимо выполнить определенные действия.
Инструкция
1
Прочитайте внимательно задачу по составлению уравнения касательной. Как правило, имеется определенное уравнение графика функции, выраженное через x и y, а также координаты одной из точек касательной.
2
Постройте график функции в координатах осей x и y. Для этого необходимо составить таблицу соотношения равенства y при заданном значении x. Если график функции нелинейный, то для ее построения понадобится, как минимум, пять значений координат. Начертите оси координат и график функции. Поставьте также точку, которая указана в условии задачи.
3
Найдите значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет равно ее х-координате. Определите значение функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы.
4
Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а».
5
Возьмите общее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него найденные значения a, f(a), f '(a). В результате будет найдено решение графика функций и касательной.
6
Решите задачу иным способом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае необходимо в уравнение касательной вместо цифр подставить букву «а». После этого вместо букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором буква «а» является неизвестной. Поставьте полученное значение в уравнение касательной.
7
Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии относительно искомой касательной. После этого необходимо найти производную функции параллельной прямой, чтобы определить координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию.

Совет 8: Как найти тангенс угла наклона касательной

Геометрический смысл производной первого порядка функции F(х) представляет собой касательную прямую к ее графику, проходящую через заданную точку кривой и совпадающую с ней в этой точке. Причем значение производной в данной точке х0 является угловым коэффициентом или иначе – тангенсом угла наклона касательной прямой k = tg a = F`(х0). Вычисление данного коэффициента – одна из наиболее распространенных задач теории функций.
Инструкция
1
Запишите заданную функцию F(x), например F(x) = (x³ + 15х +26). Если в задаче явно указана точка, через которую проводится касательная, например, ее координата х0 = -2, можно обойтись без построения графика функции и дополнительных прямых на декартовой системе ОХY. Найдите производную первого порядка от заданной функции F`(x). В рассматриваемом примере F`(x) = (3x² + 15). Подставьте заданное значение аргумента х0 в производную функции и вычислите ее значение: F`(-2) = (3(-2)² + 15) = 27. Таким образом, вы нашли tg a = 27.
2
При рассмотрении задачи, где требуется определить тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке пересечения этого графика с осью абсцисс, вам понадобится сначала найти числовое значение координат точки пересечения функции с ОХ. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика функции на двухмерной плоскости ОХY.
3
Задайте координатный ряд для абсцисс, например, от -5 до 5 с шагом 1. Подставляя в функцию значения х, вычислите соответствующие им ординаты у и отложите на координатной плоскости полученные точки (х, у). Соедините точки плавной линией. Вы увидите на выполненном графике место пересечения функцией оси абсцисс. Ордината функции в данной точке равна нулю. Найдите численное значение соответствующего ей аргумента. Для этого заданную функцию, например F(x) = (4x² - 16), приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение с одной переменной и вычислите х: 4x² - 16 = 0, x² = 4, х = 2. Таким образом, согласно условию задачи, тангенс угла наклона касательной к графику функции необходимо найти в точке с координатой х0 = 2.
4
Аналогично описанному ранее способу определите производную функции: F`(x) = 8*x. Затем вычислите ее значение в точке с х0 = 2, что соответствует точке пересечения исходной функции с ОХ. Подставьте полученное значение в производную функции и вычислите тангенс угла наклона касательной: tg a = F`(2) = 16.
5
При нахождении углового коэффициента в точке пересечения графика функции с осью ординат (ОY) выполните аналогичные действия. Только координату искомой точки х0 сразу следует принять равной нулю.

Совет 9: Как найти нормальный вектор

Перед тем как ответить на поставленный вопрос, требуется определить, нормаль чего именно необходимо искать. В данном случае, предположительно, в задаче рассматривается некая поверхность.
Инструкция
1
Приступая к решению поставленной задачи, следует помнить, что нормаль к поверхности определяется как нормаль к касательной плоскости. Исходя именно из этого и будет выбираться методика решения.
2
График функции двух переменных z=f(x, y)=z(x, y) – это поверхность в пространстве. Таким образом ее чаще всего и задают. В первую очередь необходимо найти касательную плоскость к поверхности в некоторой точке М0(x0, y0, z0), где z0=z(x0, y0).
3
Для этого следует вспомнить, что геометрический смысл производной функции одного аргумента, это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке, где y0=f(x0). Частные производные функции двух аргументов находят, фиксируя «лишний» аргумент точно так же, как и производные обычных функций. Значит геометрический смысл частной производной по x функции z=z(x, y) в точке (x0,y0) состоит в равенстве ее углового коэффициента касательной, к кривой, образуемой пересечением поверхности и плоскости y=y0 (см. рис. 1).
4
Данные, отраженные на рис. 1, позволяют заключить, что уравнение касательной к поверхности z=z(x, y), содержащей точку М0(xo, y0, z0) в сечении при y=y0: m(x-x0)=(z-z0), y=y0. В каноническом виде можно записать:(x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Значит направляющий вектор этой касательной s1(1/m, 0, 1).
5
Теперь, если угловой коэффициент касательно для частной производной по y обозначить n, то совершенно очевидно, что аналогично предыдущему выражению, это приведет к (y-y0)/(1/n)=(z-z0), x=x0 и s2(0, 1/n, 1).
6
Далее продвижение решения в виде поиска уравнения касательной плоскости можно прекратить и перейти непосредственно к искомой нормали n. Ее можно получить как векторное произведение n=[s1, s2]. Вычислив его, будет определено, что в заданной точке поверхности (x0, y0, z0). n={-1/n, -1/m, 1/mn}.
7
Так как любой пропорциональный вектор также останется вектором нормали, удобнее всего ответ представить в виде n={-n, -m, 1} и окончательно n(дz/дx, дz/дx, -1).
Видео по теме
Обратите внимание
У незамкнутой поверхности имеется две стороны. В данном случае ответ дан для «верхней» стороны, там где нормаль образует острый угол с осью 0Z.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше