Совет 1: Как найти уравнение касательной к графику функции

Эта инструкция содержит ответ на вопрос, как найти уравнение касательной к графику функции. Приведена исчерпывающая справочная информация. Применение теоретических выкладок разобрано на конкретном примере.
Как найти уравнение касательной к графику функции
Инструкция
1
Справочный материал.
Для начала дадим определение касательной. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей NM, когда точка N приближается вдоль кривой к точке М.

Найдем уравнение касательной к графику функции y = f(x).
2
Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Проведем секущую MN1, образующую с положительным направлением оси Ox угол α.
Координаты точки М (x; y), координаты точки N1(x+∆x; y+∆y).


Из полученного треугольника MN1N можно найти угловой коэффициент этой секущей:

tg α = Δy/Δx

MN = ∆x
NN1 = ∆y

При стремлении точки N1 по кривой к точке M секущая MN1 поворачивается вокруг точки M, причем угол α стремится к углу ϕ между касательной MT и положительным направлением оси Ox.

k = tg ϕ =〖 lim〗┬(∆x→0)⁡〖 〗 Δy/Δx = f`(x)

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. В этом заключается геометрический смысл производной.
3
Уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке М имеет вид:

y - y0 = f`(x0) (x - x0),
где (x0; y0) – координаты точки касания,
(x; y) – текущие координаты, т.е. координаты любой точки, принадлежащей касательной,
f`(x0) = k = tg α – угловой коэффициент касательной.
4
Найдем уравнение касательной на примере.

Дан график функции y=x2 – 2x. Нужно найти уравнение касательной в точке с абсциссой x0 = 3.

Из уравнения данной кривой находим ординату точки касания y0 = 32 - 2∙3 = 3.

Находим производную, а затем вычисляем ее значение в точке x0 = 3.
Имеем:
y`=2x – 2
f`(3) = 2∙3 – 2 = 4.

Теперь, зная точку (3; 3) на кривой и угловой коэффициент f`(3) = 4 касательной в этой точке, получаем искомое уравнение:
y – 3 = 4 (x – 3)
или
y – 4x + 9 = 0
Видео по теме

Совет 2: Как найти касательное уравнение

В учебнике 11 класса по алгебре учащиеся проходят тему производных. И вот в этом большом параграфе особое место уделено для выяснения, что же такое касательная к графику, и как найти и составить ее уравнение.
Как найти касательное уравнение
Инструкция
1
Пускай даны функция y=f(x) и определенная точка М с координатами а и f(a). И пусть известно, что существует f'(a). Ссоставим уравнение касательной. Это уравнение, как уравнение любой другой прямой, которая не параллельна оси ординат, имеет вид y=kx+m, поэтому для его составления необходимо найти неизвестные k и m. С угловым коэффициентом все ясно. Если М принадлежит графику и если от нее можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент k равен f'(a). Для вычисления неизвестного m используем то, что искомая прямая проходит через точку М. Следовательно, если подставить координаты точки в уравнение прямой, то получим верное равенство f(a)=ka+m. отсюда находим, что m=f(a)-ka. Осталось только подставить значения коэффициентов в уравнение прямой.

y=kx+m

y=kx+(f(a)-ka)

y=f(a)+f'(a)(x-a)

Из этого следует, что уравнение имеет вид y=f(a)+f'(a)(x-a).
2
Для того, чтобы найти уравнение касательной к графику используют определенный алгоритм. Во-первых, обозначьте х буквой а. Во-вторых, вычислите f(a). В третьих, найдите производную от х и вычислите f'(a). И наконец, подставьте найденные а, f(a) и f'(a) в формулу y=f(a)+f'(a)(x-a).
3
Для того, чтобы лучше понять, как использовать алгоритм, рассмотрите следующую задачу. Составьте уравнение касательной для функции y=1/x в точке х=1.
Для решения этой задачи воспользуйтесь алгоритмом составления уравнения. Но при этом учитывайте, что в данном примере дана функция f(x)=2-х-х3, а=0.

1. В условии задачи указано значение точки а;

2. Следовательно, f(a)=2-0-0=2;

3. f'(x)=0-1-3х=-1-3х; f'(a)=-1;

4. Подставьте найденные числа в уравнение касательной к графику:

y=f(a)+f'(a)(x-a)=2+(-1)(х-0)=2-х.

Ответ: y=2-х.
Полезный совет
Для подтверждения вы можете построить график функции и найденной прямой.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500