Совет 1: Как найти наклонную асимптоту

Асимптота функции — линия, к которой неограниченно приближается график этой функции. В широком смысле асимптотическая линия может быть и криволинейной, однако чаще всего этим словом обозначают прямые линии.
Инструкция
1
Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными или наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.
2
Предположим, что вам дана функция f(x). Если она не определена в некоторой точке x0 и по мере приближения x к x0 слева или справа f(x) стремится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту. Например, в точке x = 0 лишаются смысла функции 1/x и ln(x). Если x → 0, то 1/x → ∞, а ln(x) → -∞. Следовательно, обе функции в этой точке имеют вертикальную асимптоту.
3
Наклонная асимптота — прямая, к которой неограниченно стремится график функции f(x) по мере того, как x неограниченно возрастает или убывает. Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты.

В практических целях различают наклонные асимптоты при x → ∞ и при x → -∞. В ряде случаев функция может стремиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.
4
Асимптота, как и всякая наклонная прямая, имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы.

Прямая будет наклонной асимптотой функции при x → ∞, если по мере стремления x к бесконечности разность f(x) - (kx+b) стремится к нулю. Аналогично, если эта разность стремится к нулю при x → -∞, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.
5
Чтобы понять, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту, и если имеет — найти ее уравнение, нужно вычислить константы k и b. Метод вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту.

Константа k, также называемая угловым коэффициентом наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x → ∞.

Например, путь задана функция f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x будет в этом случае равно 1 + 1/(x^2). Его предел при x → ∞ равен 1. Следовательно, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом 1.

Если коэффициент k получается нулевым, это значит, что наклонная асимптота заданной функции горизонтальна, и ее уравнение y = b.
6
Чтобы найти константу b, то есть смещение нужной нам прямой, понадобится вычислить предел разности f(x) - kx. В нашем случае эта разность равна (1/x + x) - x = 1/x. При x → ∞ предел 1/x равен нулю. Таким образом, b = 0.
7
Окончательный вывод состоит в том, что функция 1/x + x имеет наклонную асимптоту в направлении плюс бесконечности, уравнение которой y = x. Тем же способом легко доказать, что эта же прямая является наклонной асимптотой заданной функции и в направлении минус бесконечности.

Совет 2: Как находить асимптоты

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, график которой неограниченно прибли-жается к графику функции при неограниченном удалении произвольной точки M (x,y), принадлежащей f(x) на бесконечность (положительную или отрицательную), никогда не пересекая график функции. Удаление точки на бесконечность подразумевает под собой и случай, когда к бесконечности стремится только ордината или абсцисса у=f(x). Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
На практике вертикальные асимптоты отыскиваются совсем просто. Это точки нулей знаменателя функции f(x).
Вертикальная асимптота – это вертикальная прямая. Ее уравнение x=a. Т.е. при х стремящимся к a (справа или слева), функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной).
Как находить асимптоты
2
Горизонтальная асимптота – это горизонтальная прямая y=A, к которой график функции неограниченно приближается при стремлении х к бесконечности (положительной или отрицательно) (см. рис.1), т.е.
рис.1 Вертикальная и горизонтальные асимптоты
3
Наклонные асимптоты находят немного более сложно. Определение их остается прежним, но задаются они уравнением прямой линии y=kx+b. Расстояние от асимптоты до графика функции здесь, в соответствии с рисунком 1 составляет |MP|. Очевидно, что если |MP| стремится к нулю, то к нулю стремится и длина отрезка |MN |. Точка М – ордината асимптоты, N – функции f(x). Абсцисса у них общая.
Расстояние |MN|=f(xM)- (kxM + b) или просто f(x)- (kx + b) , где k - тангенс угла наклона пряной (асимптоты) к оси абсцисс. f(x)- (kx + b) стремится к нулю, поэтому k можно найти как предел отношения (f(x)- b)/х, при х стремящемся к бесконечности (см. рис.2).
Как находить асимптоты
4
После нахождения k, следует определить b, вычислив предел разности f(x)- kх, при х стремящимся к бесконечности (см. рис.3).
Далее вам необходимо построить график асимптоты, также как и прямой y=kx+b.
Как находить асимптоты
5
Пример. Найти асимптоты графика функции y=(x^2+2x-1)/(x-1).
1. Очевидная вертикальная асимптота x=1 (как ноль знаменателя).
2. y/x = (x^2+2x-1)/(x-1)x = (x^2+2x-1)/(x^2-x). Поэтому, вычислив предел
на бесконечности от последней рациональной дроби, получиттся k=1.
f(x)-kx= (x^2+2x-1)/(x-1) – x = (x^2+2x-1-x^2+x)/(x-1)=3x/(x-1) - 1/(x-1).
Таким образом, вы получите b=3. . исходное уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: y=x+3 (см. рис.4).
Как находить асимптоты
Видео по теме

Совет 3: Как найти горизонтальную асимптоту

Что такое асимптота? Это такая прямая, к которой приближается график функции, но не пересекает её. Горизонтальная асимптота выражается уравнением y=A, где A - некоторое число. Геометрически горизонтальная асимптота изображается прямой, параллельной оси Ox и пересекающей ось Oy в точке A.
Инструкция
1
Найдите предел функции при устремлении аргумента "x" к плюс бесконечности. Если этот предел равен некоторому числу A, то y=A - горизонтальная асимптота функции.
2
Найдите предел функции при устремлении аргумента "x" к минус бесконечности. Опять же, если этот предел равен некоторому числу B, то y=B - горизонтальная асимптота функции. Пределы функции при стремлении аргумента к минус и плюс бесконечности могут совпадать, в этом случае имеем только одну горизонтальную асимптоту.
3
Отметьте на оси ординат Oy точки A и B (одну точку, если они совпадают). Проведите через каждую точку прямую параллельно оси абсцисс Ox. Это и будет горизонтальная асимптота функции.
4
Используйте найденную горизонтальную асимптоту при построении графика функции. Помните, что при большом увеличении (уменьшении) аргумента он будет бесконечно приближаться к асимптоте, но никогда не пересечет её.

Совет 4: Как найти асимптоты графика функции

Асимптоты – это прямые, к которым неограниченно приближается кривая графика функции при стремлении аргумента функции к бесконечности. Прежде чем приступить к построению графика функции, нужно найти все вертикальные и наклонные (горизонтальные) асимптоты, если они существуют.
Инструкция
1
Найдите вертикальные асимптоты. Пусть дана функция y=f(x). Найдите ее область определения и выделите все точки a, в которых эта функция не определена. Подсчитайте пределы lim(f(x)), когда x стремится к a, к (a+0) или к (a−0). Если хотя бы один такой предел равен +∞ (или -∞), то вертикальной асимптотой графика функции f(x) будет прямая x=a. Вычислив два односторонних предела, вы определите как себя ведет функция при приближении к асимптоте с разных сторон.
2
Изучите несколько примеров. Пусть функция y=1/(x²−1). Подсчитайте пределы lim(1/(x²−1)), когда x стремится к (1±0), (-1±0). Функция имеет вертикальные асимптоты x=1 и x=-1, так как эти пределы равны +∞. Пусть дана функция y=cos(1/x). У этой функции нет вертикальной асимптоты x=0, так как область изменения функции косинус отрезок [-1; +1] и ее предел никогда не будет равен ±∞ при любых значениях x.
3
Найдите теперь наклонные асимптоты. Для этого подсчитайте пределы k=lim(f(x)/x) и b=lim(f(x)−k×x) при x, стремящемся к +∞ (или -∞). Если они существуют, то наклонная асимптота графика функции f(x) будет задана уравнением прямой y=k×x+b. Если k=0, прямая y=b называется горизонтальной асимптотой.
4
Рассмотрите для наилучшего понимания следующий пример. Пусть дана функция y=2×x−(1/x). Подсчитайте предел lim(2×x−(1/x)) при x, стремящемся к 0. Этот предел равен ∞. То есть вертикальной асимптотой функции y=2×x−(1/x) будет прямая x=0. Найдите коэффициенты уравнения наклонной асимптоты. Для этого подсчитайте предел k=lim((2×x−(1/x))/x)=lim(2−(1/x²)) при x, стремящимся к +∞, то есть получается k=2. И теперь подсчитайте предел b=lim(2×x−(1/x)−k×x)= lim(2×x−(1/x)−2×x)=lim(-1/x) при x, стремящимся к +∞, то есть b=0. Таким образом, наклонная асимптота данной функции задана уравнением y=2×x.
5
Обратите внимание, что асимптота может пересекать кривую. Например, для функции y=x+e^(-x/3)×sin(x) предел lim(x+e^(-x/3)×sin(x))=1 при x, стремящимся к ∞, а lim(x+e^(-x/3)×sin(x)−x)=0 при x, стремящимся к ∞. То есть асимптотой будет прямая y=x. Она пересекает график функции в нескольких точках, например, в точке x=0.
Обратите внимание
Знак ^ обозначает возведение в степень.
Источники:
  • уравнения асимптот графика

Совет 5: Как найти асимптоты функции

Полное исследование функции и построение ее графика предполагают целый спектр действий, включая нахождение асимптот, которые бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Инструкция
1
Асимптоты функции применяются для облегчения построения ее графика, а также исследования свойств ее поведения. Асимптота – это прямая линия, к которой приближается бесконечная ветвь кривой, заданной функцией. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.
2
Вертикальные асимптоты функции параллельны оси ординат, это прямые вида x = x0, где x0 – граничная точка области определения. Граничной называется точка, в которой односторонние пределы функции являются бесконечными. Для того, чтобы найти асимптоты этого рода, нужно исследовать ее поведение, вычислив пределы.
3
Найдите вертикальную асимптоту функции f(х) = х²/(4•х² - 1). Для начала определите ее область определения. Это может быть только значение, при котором знаменатель обращается в ноль, т.е. решите уравнение 4•х² – 1 = 0 → х=±1/2.
4
Вычислите односторонние пределы: lim_(х→-1/2) х²/(4•х² - 1) = lim х²/((2•х - 1)•(2•х + 1)) = +∞.lim_(х→1/2) х²/(4•х² - 1) = -∞.
5
Таким образом, вы выяснили, что оба односторонних предела являются бесконечными. Следовательно, прямые х=1/2 и х=-1/2 являются вертикальными асимптотами.
6
Наклонные асимптоты – это прямые вида k•х+b, в которых k = lim f/х и b = lim (f – k•х) при х→∞. Такая асимптота станет горизонтальной при k=0 и b≠∞.
7
Узнайте, имеет ли функция из предыдущего примера наклонные или горизонтальные асимптоты. Для этого определите коэффициенты уравнения прямой асимптоты через следующие пределы:k = lim (х²/(4•х² - 1))/х = 0;b = lim (х²/(4•х² - 1) – k•х) = lim х²/(4•х² - 1) = 1/4.
8
Итак, у этой функции есть и наклонная асимптота, а поскольку выполняется условие нулевого коэффициента k и b, не равного бесконечности, то она горизонтальная.Ответ: функция х²/(4•х² - 1) имеет две вертикальные x = 1/2; x = -1/2 и одну горизонтальную у = 1/4 асимптоты.
Видео по теме

Совет 6: Как найти вертикальную асимптоту

Что представляет собой вертикальная асимптота? Этот вопрос следует выяснить прежде, чем вы приступите к проведению расчетов. Все расчеты выполняются по определенным формулам. Мало кто полагает процесс нахождения асимптот увлекательным занятием, однако, если вы изучаете математический анализ, искать вертикальную асимптоту вам жизненно необходимо.
Вам понадобится
  • Лист бумаги, ручка, калькулятор.
Инструкция
1
Первый этап — нахождение двух пределов.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
2
Второй шаг — нахождение двух пределов.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
3
Если k=o в п. 2, то kx=0, и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
4
Выясняем, какие данные у нас есть для проведения всех необходимых расчетов. Если каких либо данных не хватает, нужно проверить есть ли возможность найти недостающие величины.
5
Подставляем все имеющиеся данные в формулу и проводим расчеты.
Видео по теме
Обратите внимание
Выполняйте все расчеты очень аккуратно, велика вероятность допустить ошибку.
Полезный совет
Нужно помнить о свойствах асимптот — среди всех конических сечений, асимптоты есть только у гиперболы.
Источники:
  • На этом сайте вы найдете порядок нахождения вертикальной асимптоты.
Источники:
  • когда не может быть горизонтальных асимптот
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше