Совет 1: Как найти наклонную асимптоту

Асимптота функции — линия, к которой неограниченно приближается график этой функции. В широком смысле асимптотическая линия может быть и криволинейной, однако чаще всего этим словом обозначают прямые линии.
Как найти наклонную асимптоту
Инструкция
1
Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными или наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.
2
Предположим, что вам дана функция f(x). Если она не определена в некоторой точке x0 и по мере приближения x к x0 слева или справа f(x) стремится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту. Например, в точке x = 0 лишаются смысла функции 1/x и ln(x). Если x → 0, то 1/x → ∞, а ln(x) → -∞. Следовательно, обе функции в этой точке имеют вертикальную асимптоту.
3
Наклонная асимптота — прямая, к которой неограниченно стремится график функции f(x) по мере того, как x неограниченно возрастает или убывает. Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты.

В практических целях различают наклонные асимптоты при x → ∞ и при x → -∞. В ряде случаев функция может стремиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.
4
Асимптота, как и всякая наклонная прямая, имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы.

Прямая будет наклонной асимптотой функции при x → ∞, если по мере стремления x к бесконечности разность f(x) - (kx+b) стремится к нулю. Аналогично, если эта разность стремится к нулю при x → -∞, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.
5
Чтобы понять, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту, и если имеет — найти ее уравнение, нужно вычислить константы k и b. Метод вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту.

Константа k, также называемая угловым коэффициентом наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x → ∞.

Например, путь задана функция f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x будет в этом случае равно 1 + 1/(x^2). Его предел при x → ∞ равен 1. Следовательно, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом 1.

Если коэффициент k получается нулевым, это значит, что наклонная асимптота заданной функции горизонтальна, и ее уравнение y = b.
6
Чтобы найти константу b, то есть смещение нужной нам прямой, понадобится вычислить предел разности f(x) - kx. В нашем случае эта разность равна (1/x + x) - x = 1/x. При x → ∞ предел 1/x равен нулю. Таким образом, b = 0.
7
Окончательный вывод состоит в том, что функция 1/x + x имеет наклонную асимптоту в направлении плюс бесконечности, уравнение которой y = x. Тем же способом легко доказать, что эта же прямая является наклонной асимптотой заданной функции и в направлении минус бесконечности.
Источники:
  • когда не может быть горизонтальных асимптот

Совет 2: Как находить асимптоты

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, график которой неограниченно прибли-жается к графику функции при неограниченном удалении произвольной точки M (x,y), принадлежащей f(x) на бесконечность (положительную или отрицательную), никогда не пересекая график функции. Удаление точки на бесконечность подразумевает под собой и случай, когда к бесконечности стремится только ордината или абсцисса у=f(x). Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Как находить асимптоты
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
На практике вертикальные асимптоты отыскиваются совсем просто. Это точки нулей знаменателя функции f(x).
Вертикальная асимптота – это вертикальная прямая. Ее уравнение x=a. Т.е. при х стремящимся к a (справа или слева), функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной).
Как находить асимптоты
2
Горизонтальная асимптота – это горизонтальная прямая y=A, к которой график функции неограниченно приближается при стремлении х к бесконечности (положительной или отрицательно) (см. рис.1), т.е.
рис.1 Вертикальная и горизонтальные асимптоты
3
Наклонные асимптоты находят немного более сложно. Определение их остается прежним, но задаются они уравнением прямой линии y=kx+b. Расстояние от асимптоты до графика функции здесь, в соответствии с рисунком 1 составляет |MP|. Очевидно, что если |MP| стремится к нулю, то к нулю стремится и длина отрезка |MN |. Точка М – ордината асимптоты, N – функции f(x). Абсцисса у них общая.
Расстояние |MN|=f(xM)- (kxM + b) или просто f(x)- (kx + b) , где k - тангенс угла наклона пряной (асимптоты) к оси абсцисс. f(x)- (kx + b) стремится к нулю, поэтому k можно найти как предел отношения (f(x)- b)/х, при х стремящемся к бесконечности (см. рис.2).
Как находить асимптоты
4
После нахождения k, следует определить b, вычислив предел разности f(x)- kх, при х стремящимся к бесконечности (см. рис.3).
Далее вам необходимо построить график асимптоты, также как и прямой y=kx+b.
Как находить асимптоты
5
Пример. Найти асимптоты графика функции y=(x^2+2x-1)/(x-1).
1. Очевидная вертикальная асимптота x=1 (как ноль знаменателя).
2. y/x = (x^2+2x-1)/(x-1)x = (x^2+2x-1)/(x^2-x). Поэтому, вычислив предел
на бесконечности от последней рациональной дроби, получиттся k=1.
f(x)-kx= (x^2+2x-1)/(x-1) – x = (x^2+2x-1-x^2+x)/(x-1)=3x/(x-1) - 1/(x-1).
Таким образом, вы получите b=3. . исходное уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: y=x+3 (см. рис.4).
Как находить асимптоты
Видео по теме

Совет 3: Как найти вертикальную асимптоту

Что представляет собой вертикальная асимптота? Этот вопрос следует выяснить прежде, чем вы приступите к проведению расчетов. Все расчеты выполняются по определенным формулам. Мало кто полагает процесс нахождения асимптот увлекательным занятием, однако, если вы изучаете математический анализ, искать вертикальную асимптоту вам жизненно необходимо.
Как найти вертикальную асимптоту.
Вам понадобится
  • Лист бумаги, ручка, калькулятор.
Инструкция
1
Первый этап — нахождение двух пределов.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
2
Второй шаг — нахождение двух пределов.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
3
Если k=o в п. 2, то kx=0, и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
4
Выясняем, какие данные у нас есть для проведения всех необходимых расчетов. Если каких либо данных не хватает, нужно проверить есть ли возможность найти недостающие величины.
5
Подставляем все имеющиеся данные в формулу и проводим расчеты.
Видео по теме
Обратите внимание
Выполняйте все расчеты очень аккуратно, велика вероятность допустить ошибку.
Полезный совет
Нужно помнить о свойствах асимптот — среди всех конических сечений, асимптоты есть только у гиперболы.
Источники:
  • На этом сайте вы найдете порядок нахождения вертикальной асимптоты. в 2018
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500