Совет 1: Как найти наклонную асимптоту

Асимптота функции — линия, к которой неограниченно приближается график этой функции. В широком смысле асимптотическая линия может быть и криволинейной, однако чаще всего этим словом обозначают прямые линии.
Как найти наклонную асимптоту
Инструкция
1
Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными или наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.
2
Предположим, что вам дана функция f(x). Если она не определена в некоторой точке x0 и по мере приближения x к x0 слева или справа f(x) стремится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту. Например, в точке x = 0 лишаются смысла функции 1/x и ln(x). Если x → 0, то 1/x → ∞, а ln(x) → -∞. Следовательно, обе функции в этой точке имеют вертикальную асимптоту.
3
Наклонная асимптота — прямая, к которой неограниченно стремится график функции f(x) по мере того, как x неограниченно возрастает или убывает. Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты.

В практических целях различают наклонные асимптоты при x → ∞ и при x → -∞. В ряде случаев функция может стремиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.
4
Асимптота, как и всякая наклонная прямая, имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы.

Прямая будет наклонной асимптотой функции при x → ∞, если по мере стремления x к бесконечности разность f(x) - (kx+b) стремится к нулю. Аналогично, если эта разность стремится к нулю при x → -∞, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.
5
Чтобы понять, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту, и если имеет — найти ее уравнение, нужно вычислить константы k и b. Метод вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту.

Константа k, также называемая угловым коэффициентом наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x → ∞.

Например, путь задана функция f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x будет в этом случае равно 1 + 1/(x^2). Его предел при x → ∞ равен 1. Следовательно, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом 1.

Если коэффициент k получается нулевым, это значит, что наклонная асимптота заданной функции горизонтальна, и ее уравнение y = b.
6
Чтобы найти константу b, то есть смещение нужной нам прямой, понадобится вычислить предел разности f(x) - kx. В нашем случае эта разность равна (1/x + x) - x = 1/x. При x → ∞ предел 1/x равен нулю. Таким образом, b = 0.
7
Окончательный вывод состоит в том, что функция 1/x + x имеет наклонную асимптоту в направлении плюс бесконечности, уравнение которой y = x. Тем же способом легко доказать, что эта же прямая является наклонной асимптотой заданной функции и в направлении минус бесконечности.
Ваши деньги должны работать на вас!
вклад на выгодных условиях
Стабильный доход и уверенность в завтрашнем дне - это то, что вы получите, сделав вклад на самых выгодных для себя условиях.
Возможность вернуть до 260 000 рублей
Если вы решили взять ипотеку
Каждый россиянин имеет право вернуть часть уплаченных налогов за покупку жилья.
Карта с большими бонусами
Дебетовая карта
Возвращается до 10% от стоимости покупок. Выгодна при крупных тратах.
Настроить автоплатежи просто
настройка автоплатежей за пару минут
В мобильном приложении Сбербанка все ваши платежи будут происходить в срок и без вашего участия.
Источники:
  • когда не может быть горизонтальных асимптот

Совет 2: Как находить асимптоты

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, график которой неограниченно прибли-жается к графику функции при неограниченном удалении произвольной точки M (x,y), принадлежащей f(x) на бесконечность (положительную или отрицательную), никогда не пересекая график функции. Удаление точки на бесконечность подразумевает под собой и случай, когда к бесконечности стремится только ордината или абсцисса у=f(x). Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Как находить асимптоты
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
На практике вертикальные асимптоты отыскиваются совсем просто. Это точки нулей знаменателя функции f(x).
Вертикальная асимптота – это вертикальная прямая. Ее уравнение x=a. Т.е. при х стремящимся к a (справа или слева), функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной).
Как находить асимптоты
2
Горизонтальная асимптота – это горизонтальная прямая y=A, к которой график функции неограниченно приближается при стремлении х к бесконечности (положительной или отрицательно) (см. рис.1), т.е.
рис.1 Вертикальная и горизонтальные асимптоты
3
Наклонные асимптоты находят немного более сложно. Определение их остается прежним, но задаются они уравнением прямой линии y=kx+b. Расстояние от асимптоты до графика функции здесь, в соответствии с рисунком 1 составляет |MP|. Очевидно, что если |MP| стремится к нулю, то к нулю стремится и длина отрезка |MN |. Точка М – ордината асимптоты, N – функции f(x). Абсцисса у них общая.
Расстояние |MN|=f(xM)- (kxM + b) или просто f(x)- (kx + b) , где k - тангенс угла наклона пряной (асимптоты) к оси абсцисс. f(x)- (kx + b) стремится к нулю, поэтому k можно найти как предел отношения (f(x)- b)/х, при х стремящемся к бесконечности (см. рис.2).
Как находить асимптоты
4
После нахождения k, следует определить b, вычислив предел разности f(x)- kх, при х стремящимся к бесконечности (см. рис.3).
Далее вам необходимо построить график асимптоты, также как и прямой y=kx+b.
Как находить асимптоты
5
Пример. Найти асимптоты графика функции y=(x^2+2x-1)/(x-1).
1. Очевидная вертикальная асимптота x=1 (как ноль знаменателя).
2. y/x = (x^2+2x-1)/(x-1)x = (x^2+2x-1)/(x^2-x). Поэтому, вычислив предел
на бесконечности от последней рациональной дроби, получиттся k=1.
f(x)-kx= (x^2+2x-1)/(x-1) – x = (x^2+2x-1-x^2+x)/(x-1)=3x/(x-1) - 1/(x-1).
Таким образом, вы получите b=3. . исходное уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: y=x+3 (см. рис.4).
Как находить асимптоты
Видео по теме

Совет 3: Как найти горизонтальную асимптоту

Что такое асимптота? Это такая прямая, к которой приближается график функции, но не пересекает её. Горизонтальная асимптота выражается уравнением y=A, где A - некоторое число. Геометрически горизонтальная асимптота изображается прямой, параллельной оси Ox и пересекающей ось Oy в точке A.
Как найти горизонтальную асимптоту
Инструкция
1
Найдите предел функции при устремлении аргумента "x" к плюс бесконечности. Если этот предел равен некоторому числу A, то y=A - горизонтальная асимптота функции.
2
Найдите предел функции при устремлении аргумента "x" к минус бесконечности. Опять же, если этот предел равен некоторому числу B, то y=B - горизонтальная асимптота функции. Пределы функции при стремлении аргумента к минус и плюс бесконечности могут совпадать, в этом случае имеем только одну горизонтальную асимптоту.
3
Отметьте на оси ординат Oy точки A и B (одну точку, если они совпадают). Проведите через каждую точку прямую параллельно оси абсцисс Ox. Это и будет горизонтальная асимптота функции.
4
Используйте найденную горизонтальную асимптоту при построении графика функции. Помните, что при большом увеличении (уменьшении) аргумента он будет бесконечно приближаться к асимптоте, но никогда не пересечет её.

Совет 4: Как найти асимптоты графика функции

Асимптоты – это прямые, к которым неограниченно приближается кривая графика функции при стремлении аргумента функции к бесконечности. Прежде чем приступить к построению графика функции, нужно найти все вертикальные и наклонные (горизонтальные) асимптоты, если они существуют.
Как найти асимптоты графика функции
Инструкция
1
Найдите вертикальные асимптоты. Пусть дана функция y=f(x). Найдите ее область определения и выделите все точки a, в которых эта функция не определена. Подсчитайте пределы lim(f(x)), когда x стремится к a, к (a+0) или к (a−0). Если хотя бы один такой предел равен +∞ (или -∞), то вертикальной асимптотой графика функции f(x) будет прямая x=a. Вычислив два односторонних предела, вы определите как себя ведет функция при приближении к асимптоте с разных сторон.
2
Изучите несколько примеров. Пусть функция y=1/(x²−1). Подсчитайте пределы lim(1/(x²−1)), когда x стремится к (1±0), (-1±0). Функция имеет вертикальные асимптоты x=1 и x=-1, так как эти пределы равны +∞. Пусть дана функция y=cos(1/x). У этой функции нет вертикальной асимптоты x=0, так как область изменения функции косинус отрезок [-1; +1] и ее предел никогда не будет равен ±∞ при любых значениях x.
3
Найдите теперь наклонные асимптоты. Для этого подсчитайте пределы k=lim(f(x)/x) и b=lim(f(x)−k×x) при x, стремящемся к +∞ (или -∞). Если они существуют, то наклонная асимптота графика функции f(x) будет задана уравнением прямой y=k×x+b. Если k=0, прямая y=b называется горизонтальной асимптотой.
4
Рассмотрите для наилучшего понимания следующий пример. Пусть дана функция y=2×x−(1/x). Подсчитайте предел lim(2×x−(1/x)) при x, стремящемся к 0. Этот предел равен ∞. То есть вертикальной асимптотой функции y=2×x−(1/x) будет прямая x=0. Найдите коэффициенты уравнения наклонной асимптоты. Для этого подсчитайте предел k=lim((2×x−(1/x))/x)=lim(2−(1/x²)) при x, стремящимся к +∞, то есть получается k=2. И теперь подсчитайте предел b=lim(2×x−(1/x)−k×x)= lim(2×x−(1/x)−2×x)=lim(-1/x) при x, стремящимся к +∞, то есть b=0. Таким образом, наклонная асимптота данной функции задана уравнением y=2×x.
5
Обратите внимание, что асимптота может пересекать кривую. Например, для функции y=x+e^(-x/3)×sin(x) предел lim(x+e^(-x/3)×sin(x))=1 при x, стремящимся к ∞, а lim(x+e^(-x/3)×sin(x)−x)=0 при x, стремящимся к ∞. То есть асимптотой будет прямая y=x. Она пересекает график функции в нескольких точках, например, в точке x=0.
Обратите внимание
Знак ^ обозначает возведение в степень.
Источники:
  • уравнения асимптот графика

Совет 5: Как найти асимптоты функции

Полное исследование функции и построение ее графика предполагают целый спектр действий, включая нахождение асимптот, которые бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Как найти асимптоты функции
Инструкция
1
Асимптоты функции применяются для облегчения построения ее графика, а также исследования свойств ее поведения. Асимптота – это прямая линия, к которой приближается бесконечная ветвь кривой, заданной функцией. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.
2
Вертикальные асимптоты функции параллельны оси ординат, это прямые вида x = x0, где x0 – граничная точка области определения. Граничной называется точка, в которой односторонние пределы функции являются бесконечными. Для того, чтобы найти асимптоты этого рода, нужно исследовать ее поведение, вычислив пределы.
3
Найдите вертикальную асимптоту функции f(х) = х²/(4•х² - 1). Для начала определите ее область определения. Это может быть только значение, при котором знаменатель обращается в ноль, т.е. решите уравнение 4•х² – 1 = 0 → х=±1/2.
4
Вычислите односторонние пределы: lim_(х→-1/2) х²/(4•х² - 1) = lim х²/((2•х - 1)•(2•х + 1)) = +∞.lim_(х→1/2) х²/(4•х² - 1) = -∞.
5
Таким образом, вы выяснили, что оба односторонних предела являются бесконечными. Следовательно, прямые х=1/2 и х=-1/2 являются вертикальными асимптотами.
6
Наклонные асимптоты – это прямые вида k•х+b, в которых k = lim f/х и b = lim (f – k•х) при х→∞. Такая асимптота станет горизонтальной при k=0 и b≠∞.
7
Узнайте, имеет ли функция из предыдущего примера наклонные или горизонтальные асимптоты. Для этого определите коэффициенты уравнения прямой асимптоты через следующие пределы:k = lim (х²/(4•х² - 1))/х = 0;b = lim (х²/(4•х² - 1) – k•х) = lim х²/(4•х² - 1) = 1/4.
8
Итак, у этой функции есть и наклонная асимптота, а поскольку выполняется условие нулевого коэффициента k и b, не равного бесконечности, то она горизонтальная.Ответ: функция х²/(4•х² - 1) имеет две вертикальные x = 1/2; x = -1/2 и одну горизонтальную у = 1/4 асимптоты.
Видео по теме

Совет 6: Как найти вертикальную асимптоту

Что представляет собой вертикальная асимптота? Этот вопрос следует выяснить прежде, чем вы приступите к проведению расчетов. Все расчеты выполняются по определенным формулам. Мало кто полагает процесс нахождения асимптот увлекательным занятием, однако, если вы изучаете математический анализ, искать вертикальную асимптоту вам жизненно необходимо.
Как найти вертикальную асимптоту.
Вам понадобится
  • Лист бумаги, ручка, калькулятор.
Инструкция
1
Первый этап — нахождение двух пределов.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
2
Второй шаг — нахождение двух пределов.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
3
Если k=o в п. 2, то kx=0, и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты.
Как найти вертикальную <strong>асимптоту</strong>
4
Выясняем, какие данные у нас есть для проведения всех необходимых расчетов. Если каких либо данных не хватает, нужно проверить есть ли возможность найти недостающие величины.
5
Подставляем все имеющиеся данные в формулу и проводим расчеты.
Видео по теме
Обратите внимание
Выполняйте все расчеты очень аккуратно, велика вероятность допустить ошибку.
Полезный совет
Нужно помнить о свойствах асимптот — среди всех конических сечений, асимптоты есть только у гиперболы.
Источники:
  • На этом сайте вы найдете порядок нахождения вертикальной асимптоты. в 2018
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500