Как построить асимптоту

Исследование любой функции, например f(x), на определение у нее максимума и минимума, точек перегиба, намного облегчает работу по построению графика самой функции. Но на кривой функции f(x) должны присутствовать асимптоты. Прежде чем построить график функции, рекомендуется проверить ее на наличие асимптот.

Вам понадобится

• – линейка;
• – карандаш;
• – калькулятор.

Инструкция

1. Перед началом поиска асимптот, найдите область определения вашей функции и наличие точек разрыва.
   
   При x=а функция f(x) имеет точку разрыва в том случае, если lim(x стремится к а) f(х) не равен а.
   
   1. Точка a – точка устранимого разрыва в том случае, если функция в точке а является неопределённой и выполняется такое условие:
   Lim (х стремится к а -0) f(x) = Lim (х стремится к а +0).
   2. Точка a – точка разрыва первого рода, если существуют:
   Lim (х стремится к а -0) f(x) и Lim (х стремится к а +0), когда фактически выполняется второе условие непрерывности, при этом не выполняются остальные или хотя бы одно из них.
   3. a является точкой разрыва второго рода, в случае если один из пределов Lim (х стремится к а -0) f(x) =+/- бесконечность или Lim (х стремится к а +0) = +/- бесконечность.
2. Определите наличие вертикальных асимптот. Вертикальные асимптоты определяйте с помощью точек разрыва второго рода и границами определяемой области функции, которую исследуете. Получаете f(x0+/-0)= +/- бесконечность, либо f(x0 ± 0)=+ бесконечность, либо f (x0 ± 0) = − ∞.
3. Определите наличие горизонтальных асимптот.
   Если у вашей функции выполняется условие – Lim(при х стремящемуся к )f(x) = b, то у = b —горизонтальная асимптота функции кривой y = f (x), где:
   1. правая асимптота – при х, который стремится к положительной бесконечности;
   2. левая асимптота – при х, который стремится к отрицательной бесконечности;
   3. двусторонняя асимптота – пределы при х, который стремится к , равны.
4. Определите наличие наклонных асимптот.
   Уравнение для наклонной асимптоты y = f (x) определяйте уравнением y =k•x + b. При этом:
   1. k равен lim (при x стремящемуся к ) от функции (f(x)/x);
   2. b равен lim (при x стремящемуся к ) от функции [f(x) – k*x].
   Для того чтобы y = f (x ) имела наклонную асимптоту y = k •x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы, которые указаны выше.
   Если при определении наклонной асимптоты вы получили условие k=0, то, соответственно, y = b, и вы получаете горизонтальную асимптоту.