Совет 1: Как найти стороны прямоугольного треугольника, зная площадь

В прямоугольном треугольнике один угол прямой, другие два - острые. Сторона, противостоящая прямому углу, называется гипотенузой, другие две стороны - катеты. Зная площадь прямоугольного треугольника, можно вычислить стороны по известной формуле.
Инструкция
1
В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, общая формула площади треугольника S = (c*h)/2 (где с - основание, а h - высота, проведенная к этому основанию) превращается в половину произведения длин катетов S = (a*b)/2.
2
Задача 1.
Найдите длины всех сторон прямоугольного треугольника, если известно, что длина одного катета превышает длину другого на 1 см, а площадь треугольника равна 28 см.

Решение.
Запишите основную формулу площади S = (a*b)/2 = 28. Известно, что b = a + 1, подставьте это значение в формулу: 28 = (a*(a+1))/2.
Раскройте скобки, получите квадратное уравнение с одной неизвестной a^2 + a - 56 = 0.
Найдите корни этого уравнения, для чего посчитайте дискриминант D = 1 + 224 = 225. Уравнение имеет два решения: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 и a_2 = (-1 - √225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8.
Второй корень не имеет смысла, поскольку длина отрезка не может быть отрицательной величиной, так что a = 7 (см).
Найдите длину второго катета b = a + 1 = 8 (см).
Осталось найти длину третьей стороны. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, отсюда c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (см).
3
Задача 2.
Найдите длины всех сторон прямоугольного треугольника, если известно, что его площадь равна 14 см, а угол ACB равен 30°.

Решение.
Запишите основную формулу S = (a*b)/2 = 14.
Теперь выразите длины катетов через произведение гипотенузы и тригонометрических функций по свойству прямоугольного треугольника:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0.87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0.5*c.

Подставьте полученные значения в формулу площади:
14 = (0.87*0.5*c^2)/2, откуда:
28 ≈ 0.435*c^2 → c = √64.4 ≈ 8 (см).
Вы нашли длину гипотенузы, теперь найдите длины двух других сторон:
a = 0.87*c = 0.87*8 ≈ 7 (см), b = 0.5*c = 0.5*8 = 4 (см).

Совет 2: Как найти площадь прямоугольного треугольника

Для начала договоримся об обозначениях. Катетом называют сторону прямоугольного треугольника, которая прилежит к прямому углу (т.е. составляет с другой стороной угол 90 градусов). Длины катетов условимся обозначать a и b. Величины острых углов прямоугольного треугольника, противолежащих катетам, назовём A и B соответственно. Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, которая противолежит прямому углу (т.е. находится напротив прямого угла, с другими сторонами треугольника образует острые углы). Длину гипотенузы обозначим через с. Искомую площадь обозначим через S.
Инструкция
1
Определите, какие величины рассматриваемого прямоугольного треугольника вам известны. Исходя из этого, выберите подходящее выражение.
2
Вычислите площадь прямоугольного треугольника, как половину произведения катетов, т.е. S=0.5*a*b в том случае, если вам известны их длины.
3
Расчитайте площадь по формуле S = b*c*sin(A)/2, если вам задан один из катетов (b), гипотенуза (с), а так же угол между ними (A). Эта формула справедлива не только для прямоугольного треугольника, но для любого треугольника вообще.
4
Примените формулу S = (a^2)/(2*tg(A)) в том случае, если вам задан только один из катетов (a), но также известен и противолежащий этому катету угол (A). Знаком "^2" обозначена операция возведения в квадрат.
5
Используйте формулу S=(a^2)*tg(B)/2 d случае, если вам задан только один из катетов (a), но также известен и прилежащий этому катету угол (B).
6
Вычислите площать по формуле S = a*sqrt(c^2 – a^2)/2, если вам известны величины катета (a) и гипотенузы (c). Операцию sqrt обозначает квадратный корень.
7
Воспользуйтесь выражением S = (c^2)*sin(A)*cos(A)/2, eсли задана гипотенуза (c) и один из острых углов (A).
Видео по теме
Источники:
  • "Пособие по математике для поступающих в вузы", под ред. Г.Н. Яковлева, 1982.

Совет 3: Как найти стороны прямоугольного треугольника

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника рассматриваются в разделе математики, который называется тригонометрией. Для нахождения сторон прямоугольного треугольника достаточно знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, и иметь какое-либо средство для нахождения значений тригонометрических функций, например, калькулятор или таблицы Брадиса. Рассмотрим ниже основные случаи задач нахождения сторон прямоугольного треугольника.
Вам понадобится
  • Калькулятор, таблицы Брадиса.
Инструкция
1
Примем следующие обозначения:

с – длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу);

a, b – длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу);

A – угол, противолежащий катету a;

В – угол, противолежащий катету b.
2
В случае, когда вам известны гипотенуза с и один из катетов (например, катет а), второй катет можно вычислить из теоремы Пифагора: b=sqrt(с^2-а^2). Здесь и далее «sqrt» – операция извлечения квадратного корня, «^2» - операция возведения в квадрат.
3
Если известны оба катета, гипотенуза находится также из теоремы Пифагора: с=sqrt(а^2+b^2).
4
Если вам задан один из острых углов, например, A, и гипотенуза, то катеты можно найти из определений основных тригонометрических функций:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).
5
Если задан один из острых углов, например, A, и один из катетов, например, a, то гипотенуза и другой катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).
Полезный совет
В том случае, если вам не известно значение синуса или косинуса какого-то из необходимых для расчёта углов, вы можете воспользоваться таблицами Брадиса, в них приводятся значения тригонометрических функций для большого числа углов. Кроме того, большинство современных калькуляторов способны рассчитывать синусы и косинусы углов.
Источники:
  • как вычислить сторону прямоугольного треугольника

Совет 4: Как найти основание прямоугольного треугольника

В такой фигуре как прямоугольный треугольник обязательно существует четкое соотношение сторон относительно друг друга. Зная две из них, всегда можно найти третью. То, каким образом это возможно сделать, вы узнаете из инструкции, предложенной ниже.
Вам понадобится
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Возведите в квадрат оба катета, а после сложите их между собой a2+b2. Полученный результат является гипотенузой (основанием) в квадрате c2. Далее нужно лишь извлечь корень из последнего числа, и гипотенуза найдена. Данный метод является самым простым и удобным в применении на практике. Главное в процессе нахождения сторон треугольника таким образом - не забывать извлекать корень из предварительного результата, чтобы избежать самой распространенной ошибки. Формула выведена, благодаря самой известной в мире теореме Пифагора, которая во всех источниках имеет такой вид: a2+b2 = c2.
2
Разделите один из катетов a на синус противолежащего ему угла sin α. В том случае, если в условии известны стороны и синусы, этот вариант нахождения гипотенузы будет наиболее приемлемым. Формула в данном случае будет иметь совсем простой вид: c=a/sin α. Будьте внимательны при всех вычислениях.
3
Умножьте сторону a на два. Гипотенуза вычислена. Это, пожалуй, самый элементарный способ нахождения нужной нам стороны. Но, к сожалению, этот метод применяется только в одном случае - если существует сторона, которая лежит напротив угла в градусную меру, равную числу тридцать. При наличии таковой вы можете быть уверены, что она всегда будет являть собой ровно половину гипотенузы. Соответственно, вам остается лишь увеличить ее в два раза и ответ готов.
4
Разделите катет a на косинус прилежащего к нему угла cos α. Такой метод подойдет исключительно в том случае, если вам известен один из катетов и косинус угла к нему прилежащего. Этот способ напоминает уже представленный вам ранее, в котором используется также катет, но вместо косинуса - синус противолежащего угла. Только вот формула в этом случае будет иметь несколько другой измененный внешний вид: с=a/ cos α. Вот и все.

Совет 5: Как найти угол, если известны стороны прямоугольного треугольника

Треугольник, один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих трех сторон известны, то найти величины всех углов треугольника не составит труда, так как фактически потребуется вычислить всего один из углов. Сделать это можно несколькими способами.
Инструкция
1
Используйте для вычисления величин углов (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный треугольник. Такое определение, например, для синуса острого угла формулируется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если известны длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то найти, например, синус угла α, лежащего напротив катета A можно, разделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла можно найти его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию - арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можно найти и величину другого острого угла в треугольнике, но в этом нет необходимости. Так как сумма всех углов треугольника всегда составляет 180°, а в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, то величину третьего угла можно посчитать как разность между 90° и величиной найденного угла: β=180°-90°-α=90°-α.
2
Вместо определения синуса можно использовать определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к искомому углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И здесь задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), чтобы найти величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). После этого, как и в предыдущем шаге, останется найти величину недостающего угла: β=90°-α.
3
Можно воспользоваться аналогичным определением тангенса - он выражается соотношением длины противолежащего искомому углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. Величину угла в градусах снова определяйте через обратную тригонометрическую функцию - арктангенс: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величины недостающего угла останется без изменений: β=90°-α.
Видео по теме

Совет 6: Как найти длину стороны прямоугольного треугольника

Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника, расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника, можно воспользоваться несколькими способами.
Инструкция
1
Можно узнать размер третьей стороны, зная длины двух других сторон треугольника. Это можно выполнить с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. (a² = b²+ c²). Отсюда можно выразить длины всех сторон прямоугольного треугольника:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
К примеру, у прямоугольного треугольника известна длина гипотенузы a (18 см) и одного из катетов, например c (14 см). Чтобы найти длину другого катета, требуется совершить 2 алгебраических действия:
с² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 см
c = √128 см
Ответ: длина второго катета составляет √128 см или, приблизительно, 11.3 см
2
Можно прибегнуть к другому способу, если известны длина гипотенузы и величина одного из острых углов данного прямоугольного треугольника. Пусть длина гипотенузы равна c, один из острых углов равен α. В таком случае, найти 2 другие стороны прямоугольного треугольника можно будет при помощи следующих формул:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Можно привести пример: длина гипотенузы равна 15 см, один из острых углов равен 30 градусам. Для нахождения длин двух других сторон нужно выполнить 2 действия:
a = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 см
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 см (приблизительно)
3
Самый нетривиальный способ найти длину стороны прямоугольного треугольника - это выразить ее из периметра данной фигуры:
P = a + b + c, где P - периметр прямоугольного треугольника. Из этого выражения легко выразить длину любой из сторон прямоугольного треугольника.

Совет 7: Как вычислить площадь прямоугольного треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и имеющая три угла. У прямоугольного треугольника один угол должен быть прямым. Своими сторонами треугольник замыкает определенную площадь на плоскости.
Вам понадобится
  • Навыки арифметического счета.
Инструкция
1
Возьмите любой прямоугольный треугольник АВС и достройте его до прямоугольника. Для этого из острых углов А и С проведите линии, параллельные катетам треугольника. Линии пересекутся в точке D. При этом стороны АВ и СD будут равными, так же как и сторона AD будет равной BC. Гипотенуза треугольника АВС становится диагональю прямоугольника ABCD.
Как вычислить площадь прямоугольного треугольника
2
Площадь любого четырехугольного прямоугольника на плоскости определяется произведением его длины на ширину.

В вашем случае площадь прямоугольника ABCD вычисляется перемножением AB x BC или CD x AD.

Допустим, в полученном прямоугольнике

AB = CD = 2 см.
AD = DC = 4 см.

Перемножьте. Площадь прямоугольника составит

AB x BC = 2 х 4 = 8 (см).
3
Из всех разновидностей треугольников площадь прямоугольного треугольника вычисляется наиболее просто и не требует особых, замысловатых расчетов.

Так как диагональ в прямоугольнике делит его площадь ровно пополам, то изначально построенный вами треугольник АВС будет составлять как раз эту половину, и его площадь будет равна ½ площади прямоугольника ABCD.
8 : 2 = 4 (см).
4
Продолжая, рассуждайте так:

Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD одновременно являются катетами треугольника АВС.
Исходя из этого, делайте вывод.

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника, надо перемножить числовые значения его катетов и, учитывая, что площадь треугольника – это ½ площади прямоугольника с подобными сторонами, разделить результат пополам.

В результате вы получили формулу:
Sтр. = ½ AB*ВС.
5
Вывод:

Прямоугольный треугольник по своей сути является половиной прямоугольника. Его гипотенуза – это диагональ, а катеты – длина и ширина легко достраиваемого прямоугольника. Следовательно, площадь прямоугольного треугольника будет составлять ровно половину прямоугольника с подобными сторонами.
Видео по теме

Совет 8: Как найти уравнения сторон треугольника

Чтобы найти уравнения сторон треугольника, прежде всего надо постараться решить вопрос о том, как найти уравнение прямой на плоскости, если известен ее направляющий вектор s(m, n) и некоторая точка М0(x0, y0), принадлежащая прямой.
Инструкция
1
Возьмите произвольную (переменную, плавающую) точку М(x, y) и постройте вектор М0M ={x-x0, y-y0} (можно записать и М0M(x-x0, y-y0)), который, очевидно будет коллинеарен (параллелен) по отношению к s. Тогда, можно заключить, что координаты этих векторов пропорциональны, поэтому можно составить каноническое уравнение прямой: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Именно это соотношение будет использоваться в дальнейшем при решении поставленной задачи.
2
Все дальнейшие действия определяются исходя из способа задания треугольника.1-й способ. Треугольник задан координатами точек трех его вершин, что в школьной геометрии соответствует заданию длин трех его сторон (см. рис. 1). То есть в условии даны точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Им соответствуют их радиус-векторы ) OM1, 0M2 и ОМ3 с такими же, как и у точек, координатами. Для получения уравнения стороны М1М2 требуется ее направляющий вектор М1М2=ОМ2 – ОМ1=М1М2(x2-x1, y2-y1) и любая из точек М1 или М2 (здесь взята точка с меньшим индексом).
3
Итак, для стороны М1М2 каноническое уравнение прямой (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Действуя чисто индуктивно можно записать уравнения остальных сторон.Для стороны М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Для стороны М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).
4
2-й способ. Треугольник задан двумя точками (теми же, что и ранее М1(x1, y1) и M2(x2, y2)), а также ортами направлений двух других сторон. Для стороны М2М3: p^0(m1, n1). Для М1М3: q^0(m2, n2). Поэтому ответ для стороны М1М2 будет тем же, что и в первом способе:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
5
Для стороны М2М3 в качестве точки (x0, y0) канонического уравнения берется (x1, y1), а направ-ляющий вектор – это p^0(m1, n1). Для стороны М1М3 в качестве точки (x0, y0) берется (x2, y2), направляющий вектор – q^0(m2, n2). Таким образом, для М2М3: уравнение (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Для М1М3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.
Видео по теме

Совет 9: Как найти угол прямоугольного треугольника, зная все стороны

Знания всех трех сторон в прямоугольном треугольнике более чем достаточно для вычисления любого из его углов. Этой информации настолько много, что у вас даже появляется возможность выбрать, которые из сторон задействовать в расчетах, чтобы использовать наиболее вам симпатичную тригонометрическую функцию.
Инструкция
1
Если вы предпочтете иметь дело с арксинусом, используйте в расчете длину гипотенузы (С) - самой длинной стороны - и того катета (А), который лежит напротив искомого угла (α). Деление длины этого катета на длину гипотенузы даст величину синуса искомого угла, а обратная синусу функция - арксинус - из полученного значения восстановит величину угла в градусах. Поэтому используйте в вычислениях такую формулу: α = arcsin(A/C).
2
Для замены арксинуса арккосинусом задействуйте в вычислениях длины тех сторон, которые и образуют искомый угол (α). Одна из них будет гипотенузой (С), а другая - катетом (В). По определению косинус - это отношение длины прилегающего к углу катета к длине гипотенузы, а восстановлением угла из значения косинуса занимается функция арккосинус. Используйте такую формулу расчетов: α = arccos(B/C).
3
Можно использовать в расчетах и арктангенс. Для этого вам нужны длины двух коротких сторон - катетов. Тангенс острого угла (α) в прямоугольном треугольнике определяется отношением длины катета (А), лежащего напротив него, к длине прилежащего катета (В). По аналогии с описанными выше вариантами используйте такую формулу: α = arctg(А/B).
4
Эти же стороны - катеты А и В - нужны и при использовании арккотангенса в формуле вычисления острого угла (α) прямоугольного треугольника. Для получения значения котангенса достаточно поменять местами делимое и делитель в определении тангенса, поэтому используйте такую формулу: α = arcctg(В/А).
5
Если есть желание использовать еще более экзотические тригонометрические функции, обратите внимание, например, на арксеканс. Вам понадобится та же пара сторон, что и во втором шаге - прилегающий к искомому углу (α) катет (В) и гипотенуза (С). Но делимое и делитель надо поменять местами, поэтому формула в окончательном виде будет иметь такой вид: α = arcsec(С/В).
6
Пару секансу составляет функция косеканс, определяемая отношением длины гипотенузы (С) к противолежащему искомому углу (α) катету (А). Чтобы задействовать в расчетах арккосеканс используйте такую формулу: α = arccsc(С/А).

Совет 10: Как найти площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике один угол всегда известен. Как найти площадь прямоугольного треугольника?
Сначала необходимо задать некоторые исходные данные. Пусть у нас имеется прямоугольный треугольник, в котором катеты обозначены буквами «a» и «b», «с» – гипотенуза. Цифрами «1» и «2» показаны углы фигуры. Искомым параметром является площадь. Далее будут рассмотрены самые типичные задачи из школьного курса по геометрии.

1. Известны значения двух катетов

В таком случае площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
S= 0.5ab

2. Известен один катет и гипотенуза

При подобных условиях логичнее всего воспользоваться теоремой Пифагора и вышеизложенной формулой:
S = 0.5∙sqrt(c^2-a^2) ∙a,
где sqrt –квадратный корень, c^2-a^2 – подкоренное выражение, обозначающее разность квадрата гипотенузы и катета.

3. Даны значения всех сторон треугольника

Для таких задач можно использовать формулу Герона:
S = (p-a)(p-b),
где p – полупериметр, который находится по следующему выражению: p = 0.5∙ (a+b+c)

4. Известен один катет и угол

Тут стоит обратиться к тригонометрическим функциям. Например, tg(1) = 1/сtg (1) = b/a. То есть, благодаря этому соотношению можно определить значение неизвестного катета. Далее задача сводится к первому пункту.

5. Известна гипотенуза и угол

В данном случае также используются тригонометрические функции синуса и косинуса: сos(2)=1/sin(2) = b/c. Затем решение задачи сводится ко второму пункту статьи.
Видео по теме

Совет 11: Как называются стороны прямоугольного треугольника

Удивительными свойствами прямоугольных треугольников люди заинтересовались еще во времена античности. Многие из этих свойств были описаны древнегреческим ученым Пифагором. В Древней Греции появились и названия сторон прямоугольного треугольника.

Какой треугольник называют прямоугольным?


Есть несколько типов треугольников. У одних все углы острые, у других – один тупой и два острых, у третьих – два острых и прямой. По этому признаку каждый тип этих геометрических фигур и получил название: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. То есть, прямоугольным называется такой треугольник, у которого один из углов составляет 90°. Есть и другое определение, схожее с первым. Прямоугольным называется треугольник, у которого две стороны перпендикулярны.

Гипотенуза и катеты


У остроугольного и тупоугольного треугольников отрезки, соединяющие вершины углов, называются просто сторонами. У треугольника прямоугольного стороны имеют и другие названия. Те, которые прилегают к прямому углу, называются катетами. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. В переводе с греческого слово «гипотенуза» означает «натянутая», а «катет» - «перпендикуляр».

Соотношения между гипотенузой и катетами


Стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые значительно облегчают вычисления. Например, зная размеры катетов, можно вычислить длину гипотенузы. Это соотношение по имени открывшего его математика получило название теоремы Пифагора и выглядит оно так:

c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Чтобы найти любой из катетов, достаточно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.

Прилежащий и противолежащий катет


Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Буквой С принято обозначать вершину прямого угла, А и В – вершины острых углов. Стороны, противолежащие каждому углу, удобно назвать а, b и с, по названиям лежащих напротив них углов. Рассмотрите угол А. Катет а для него будет противолежащим, катет b – прилежащим. Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом. Вычислить эту тригонометрическую функцию можно по формуле: sinA=a/c. Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом. Вычисляется он по формуле: cosA=b/c.

Таким образом, зная угол и одну из сторон, можно по этим формулам вычислить другую сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему называется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения можно формулами tgA=a/b или ctgA=b/a.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500