Совет 1: Как найти радиус описанной около треугольника окружности

Для каждого треугольника существует только одна описанная окружность. Это такая окружность, на которой лежат все три вершины треугольника с заданными параметрами. Найти ее радиус может понадобиться не только на уроке геометрии. С этим приходится постоянно сталкиваться проектировщикам, закройщикам, слесарям и представителям многих других профессий. Для того, чтобы найти ее радиус, необходимо знать параметры треугольника и его свойства. Центр описанной окружности находится в точке пересечения всех трех высто треугольника.
Умение находить радиус окружности требуется проектировщику
Вам понадобится
  • Треугольник с заданными параметрами
  • Циркуль
  • Линейка
  • Угольник
  • Таблица синусов и косинусов
  • Математические понятия
  • Определение высоты треугольника
  • Формулы синусов и косинусов
  • Формула площади треугольника
Инструкция
1
Начертите треугольник с нужными параметрами. Треугольник можно построить либо по трем сторонам, либо по двум сторонам и углу между ними, либо по стороне и двум прилежащим к ней углам. Обозначьте вершины треугольника как А, В и С, углы — как α, β, и γ, а противолежащие вершинам углом стороны — как а, b и c.
Начертите треугольник с заданными параметрами
2
Проведите высоты ко всем сторонам треугольника и найдите точку их пересечения. Обозначьте высоты как h с соответствующими сторонам индексами. Найдите точку их пересечения и обозначьте ее О. Она и будет являться центром описанной окружности. Таким образом, радиусами этой окружности будут являться отрезки ОА, ОВ и ОС.
3
Радиус описанной окружности можно найти по двум формулам. Для одной вам необходимо сначала вычислить площадь треугольника. Она равна произведению всех сторон треугольника на синус любого из углов, деленному на 2.

S=abc*sinα

В этом случае радиус описанной окружности вычисляется по формуле

R=a*b*c/4S

Для другой формулы достаточно знать длину одной из сторон и синус противолежащего угла.

R=a/2sinα

Вычислите радиус и опишите вокруг треугольника окружность.
Полезный совет
Вспомните, что такое высота треугольника. Это перпендикуляр, проведенный из угла к противолежащей стороне.

Площадь треугольника может быть представлена и как произведение квадрата одной из сторон на синусы двух прилежащих углов, деленное на удвоенный синус суммы этих углов.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ
Источники:
  • таблица с радиусами описанной окружности
  • Радиус окружности, описанной около равностороннего

Совет 2: Как найти центр описанной окружности

Иногда около выпуклого многоугольника можно начертить окружность таким образом, чтобы вершины всех углов лежали на ней. Такую окружность по отношению к многоугольнику надо называть описанной. Ее центр не обязательно должен находиться внутри периметра вписанной фигуры, но пользуясь свойствами описанной окружности, найти эту точку, как правило, не очень трудно.
Как найти центр описанной окружности
Вам понадобится
  • Линейка, карандаш, транспортир или угольник, циркуль.
Инструкция
1
Если многоугольник, около которого нужно описать окружность, начерчен на бумаге, для нахождения центра круга достаточно линейки, карандаша и транспортира либо угольника. Измерьте длину любой из сторон фигуры, определите ее середину и поставьте в этом месте чертежа вспомогательную точку. С помощью угольника или транспортира проведите внутри многоугольника перпендикулярный этой стороне отрезок до пересечения с противоположной стороной.
2
Проделайте эту же операцию с любой другой стороной многоугольника. Пересечение двух построенных отрезков и будет искомой точкой. Это вытекает из основного свойства описанной окружности - ее центр в выпуклом многоугольнике с любым числом сторон всегда лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к этим сторонам.
3
Для правильных многоугольников определение центра вписанной окружности может быть намного проще. Например, если это квадрат, то начертите две диагонали - их пересечение и будет центром вписанной окружности. В правильном многоугольнике с любым четным числом сторон достаточно соединить вспомогательными отрезками две пары лежащих друг напротив друга углов - центр описанной окружности должен совпадать с точкой их пересечения. В прямоугольном треугольнике для решения задачи просто определите середину самой длинной стороны фигуры - гипотенузы.
4
Если из условий неизвестно, можно ли в принципе начертить описанную окружность для данного многоугольника, после определения предполагаемой точки центра любым из описанных способов вы можете это выяснить. Отложите на циркуле расстояние между найденной точкой и любой из вершин, установите циркуль в предполагаемый центр окружности и начертите круг - каждая вершина должна лежать на этой окружности. Если это не так, значит, не выполняется одно из основных свойств и описать окружность около данного многоугольника нельзя.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500