Совет 1: Как найти сторону четырехугольника

Четырехугольник имеет четыре стороны, которые могут быть найдены через такие параметры, как угол, площадь, диагональ. Задачи на нахождение площади четырехугольника весьма часто встречаются в курсе геометрии.
Как найти сторону четырехугольника
Инструкция
1
Простейший вариант четырехугольника называется прямоугольником. Он имеет четыре стороны, при этом параллельные стороны между собой равны. Перпендикулярные друг другу стороны образуют между собой угол, равный 90 градусам. Одна из этих сторон называется длиной, а другая, перпендикулярная ей - шириной. Умножением длины на ширину можно вычислить площадь прямоугольника. Из этого можно сделать вывод, что сторону прямоугольника, например, ширину a можно найти, поделив площадь на длину:
a=S/b.
Если в задаче дан квадрат, то сторону можно найти по формуле:
a=√S, так как стороны квадрата равны.
2
Площадь параллелограмма найти несколько сложнее, чем аналогичный параметр прямоугольника. Для примера начертите параллелограмм со сторонами a и b и углом α. Если даны высота и площадь параллелограмма, сторону найдите по следующей формуле:
a=S/h, где h - высота параллелограмма, S - площадь параллелограмма
Если в задаче даны сторона и угол α, а также площадь параллелограмма, формула изменится следующим образом:
a=S/b*sinα
Ромб представляет собой равносторонний параллелограмм, поэтому формула нахождения площади ромба записывается в следующем виде:
S=a^2*sinα
Отсюда, сторона ромба равна:
a=√S/sinα
3
Еще одна разновидность четырехугольника - трапеция. У нее также четыре стороны, но они не всегда бывают равными. У трапеции первые две стороны - это основания, а оставшиеся - боковые стороны. Начертите равнобедренную трапецию с двумя сторонами - основаниями и углом α при основании. Из рисунка видно, что при проведении перпендикуляра к основанию образуется прямоугольный треугольник. Если провести две проекции, то получатся два прямоугольных треугольника, которые равны. Найдите меньший катет треугольника путем вычитания длин оснований. После этого, зная угол, найдите боковую сторону трапеции.
Как найти сторону четырехугольника
Источники:
  • как найти меньший угол параллелограмма
  • Найти сторону четырехугольника

Совет 2 : Как вписать в окружность многоугольник

Задача вписать в окружность многоугольник нередко может поставить взрослого человека в тупик. Ребенку-школьнику необходимо объяснить ее решение, поэтому родители отправляются в серфинг по всемирной паутине в поисках решения.
Как вписать в окружность многоугольник
Инструкция
1
Начертите окружность. Поставьте иголку циркуля на сторону окружности, при этом радиус не изменяйте. Проводите две дуги, перекрещивающие окружность, поворачивая циркуль вправо и влево.
2
Переместите иголку циркуля по окружности в точку пересечения с ней дуги. Снова поворачиваете циркуль и прочерчиваете еще две дуги, пересекая контур окружности. Данную процедуру повторяете до пересечения с первой точкой.
3
Возьмите линейку и соедините все полученные точки. Решение первое найдено. Используйте данный способ, если вам необходимо вписать в окружность правильный многоугольник.
4
Нарисуйте окружность. Проведите диаметр через ее центр, линии должна быть горизонтальной. Постройте перпендикуляр к диаметру через центр окружности, получите вертикальную линию (СВ, например).
5
Разделите радиус пополам. Отметьте эту точку на линии диаметра (обозначьте ее А). Постройте окружность с центром в точке А и радиусом АС. При пересечении с горизонтальной линией вы получите еще одну точку (D, например). В результате отрезок СD будет являться стороной пятиугольника, который требуется вписать.
6
Откладывайте полуокружности, радиус которых равен CD, по контуру окружности. Таким образом, исходная окружность будет поделена на пять равных частей. Соедините точки линейкой. Задача по вписыванию пятиугольника в окружность также выполнена.
7
Далее описывается решение по вписыванию в окружность квадрата. Проведите линию диаметра в окружности. Возьмите транспортир. Поставьте его в точку пересечения диаметра со стороной окружности. Растворите циркуль на длину радиуса.
8
Проведите две дуги до пересечения с окружностью, поворачивая циркуль в одну и другую сторону. Переставьте ножку циркуля в противоположную точку и проведите еще две дуги тем же раствором. Соедините полученные точки.
9
Проведите отрезок еще один от края круга до другого края через центр окружности так, чтобы получился еще один диаметр. В результате на рисунке будут изображены два взаимно перпендикулярных диаметра. При соединении их концов получается вписанный в окружность квадрат.
10
Возведите диаметр в квадрат, разделите на два и извлеките корень. В итоге получите сторону квадрата, который легко впишется в окружность. Растворите циркуль на эту длину. Ставьте его иголку на окружность и рисуйте дугу, пересекающую одну сторону окружности. Перемещайте ножку циркуля в полученную точку. Снова проведите дугу.
11
Повторите процедуру и нарисуйте еще две точки. Соедините все четыре точки. Это более простой способ вписать квадрат в окружность.
12
Рассмотрите задачу по вписыванию равностороннего треугольника в окружность. Нарисуйте окружность. Возьмите точку произвольно на окружности - она будет вершиной треугольника. От этой точки, сохраняя раствор циркуля, проведите дугу до пересечения с окружностью. Это будет вторая вершина. Из нее аналогичным способом постройте третью вершину. Соедините точки линейкой. Решение найдено.
Видео по теме

Совет 3 : Как вписать двенадцатиугольник в окружность

Являющиеся одной из неотъемлемых частей школьной программы, геометрические задачи на построение правильных многоугольников достаточно тривиальны. Как правило, построение ведется путем вписывания многоугольника в окружность, которая вычерчивается первой. Но что делать, если окружность задана, а фигура весьма сложна?
Как вписать двенадцатиугольник в окружность
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - циркуль;
  • - карандаш;
  • - лист бумаги.
Инструкция
1
К имеющейся окружности постройте хорду. Вычертите произвольный отрезок прямой так, чтобы он имел две точки пересечения с окружностью. Определите эти точки как A и B.
2
Постройте отрезок прямой, перпендикулярной AB и разделяющий его в точке пересечения на две равные части. Поставьте иглу циркуля в точку A. Поставьте ножку с грифелем в точку B, либо в любую точку отрезка, которая находится ближе к B чем к A. Начертите окружность. Не меняя раствор ножек циркуля установите его иглу в точку B. Начертите еще одну окружность.Вычерченные окружности пересекутся в двух точках. Проведите через них отрезок прямой. Обозначьте точку пересечения данного отрезка с отрезком AB как C. Обозначьте точки пересечения этого отрезка с первоначальной окружностью как D и E.
3
Постройте перпендикуляр к отрезку DE, делящий его пополам. Произведите действия, аналогичные тем, что были описаны в предыдущем шаге, по отношению к отрезку DE. Пусть вычерченный отрезок пересекает DE в точке O. Данная точка будет являться центром окружности. Также обозначьте точки пересечения построенного перпендикуляра с первоначальной окружностью как F и G.
4
Установите раствор ножек циркуля таким образом, чтобы расстояние между их концами было равно радиусу первоначальной окружности. Для этого поместите иглу циркуля в одну из точек A, B, D, E, F или G. Конец ножки с грифелем поместите в точку O.
5
Постройте правильный шестиугольник. Установите иглу циркуля в любую точку линии окружности. Обозначьте эту точку H. В направлении движения по часовой стрелке сделайте циркулем дугообразную засечку так, чтобы она пересекала линию окружности. Обозначьте эту точку I. Переместите иглу циркуля в точку I. Снова сделайте засечку на окружности и обозначьте полученную точку J. Аналогичным образом постройте точки K, L, M. Последовательно попарно соедините точки H, I, J, K, L, M, H. Полученная фигура является правильным шестиугольником, вписанным в заданную окружность.
6
Найдите недостающие точки вершин углов двенадцатиугольника. К отрезкам HI, IJ, JK постройте делящие их пополам перпендикуляры так, чтобы построенные отрезки пересекали окружность O в двух точках. Обозначьте полученные точки буквами N, O, P, Q, R, S, начиная с той, что находится за точкой H на окружности по направлению движения часовой стрелки.
7
Постройте правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность. Попарно соедините точки H, N, I, O, J, P, K, Q, L, R, M, S, H отрезками. Многоугольник HNIOJPKQLRMS является искомым двенадцатиугольником.
Видео по теме

Совет 4 : Как вписать четырехугольник в окружность

С построением вписанных и описанных многоугольников постоянно сталкиваются представители самых разных профессий. Обычно никаких проблем не вызывают треугольники, поскольку вписать в окружность можно любую фигуру этого типа. С четырехугольниками дело обстоит несколько иначе. Сначала необходимо решить, можно ли вообще его вписать в окружность.
Как вписать четырехугольник в окружность
Вам понадобится
  • - четырехугольник с заданными параметрами;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - калькулятор;
  • - лист бумаги.
Инструкция
1
Измерьте все углы данного вам четырехугольника. Найдите суммы противолежащих углов. Вписать четырехугольник в окружность можно только в том случае, если суммы противоположных углов равны 180°. Таким образом, построить описанную окружность всегда можно вокруг квадрата, прямоугольника и равнобедренной трапеции.
2
Начертите окружность с радиусом R. Определите ее центр. Как правило, он обозначается буквой О. Найдите на самой окружности произвольную точку и назовите ее любой буквой. Допустим, это будет точка А. Ваши дальнейшие действия зависят от того, какой именно четырехугольник вам дан. У квадрата диагонали перпендикулярны друг другу и являются радиусами описанной окружности. Поэтому постройте два диаметра, угол между которыми составляет 90°. Точки их пересечения с окружностью последовательно соедините прямыми линиями.
3
Чтобы вписать прямоугольник, вам нужно знать угол между диагоналями или же размеры сторон. Во втором случае угол можно будет вычислить, использовав теоремы Пифагора, синусов или косинусов. Проведите один из диаметров. Обозначьте его, например, точками А и С. От точки О, которая одновременно является и серединой диагонали, отложите угол между диагоналями. Через центр и новую точку проведите второй диаметр. Точно так же, как и в случае с квадратом, соедините последовательно точки пересечения диаметров с окружностью.
4
Для построения равнобедренной трапеции найдите на окружности произвольную точку. Постройте от нее хорду, равную верхнему или нижнему основанию. Найдите ее середину и проведите через нее и центр окружности диаметр, перпендикулярный хорде. Отложите на диаметре размер высоты трапеции. Через эту точку проведите перпендикуляр в обе стороны до пересечения с окружностью. Соедините попарно концы оснований.
Полезный совет
При построении вписанных многоугольников в программе AutoCAD сначала найдите в главном меню выпадающее окно "Рисование", а в нем - функцию "Многоугольник". Количество сторон квадрата выставляется сразу. После того, как он появится на экране, перейдите к функции "Вписанный/описанный многоугольник". Нужное построение тут же появится на экране.

Для построения в этой программе трапеции или прямоугольника найдите координаты точки пересечения диагоналей. Она же будет являться и центром описанной окружности.

Совет 5 : Как начертить правильный семиугольник

Сколько занимательных заданий порой получают школьники по геометрии. И очень часто решение геометрических задач на построение различных фигур находит свое отражение в черчении. К примеру, построить правильный семиугольник с помощью транспортира не составит школьнику труда, а вот выполнить задачу только с линейкой и циркулем сможет не каждый.
Как начертить правильный семиугольник
Вам понадобится
  • Тетрадный лист в клетку, линейка, циркуль и карандаш.
Инструкция
1
Начертите по линейке две перпендикулярные прямые (оси координат Х и Y). Это легко сделать на тетрадном листе в клетку. Точка пересечения прямых послужит центром будущего правильного семиугольника. Теперь нарисуйте окружность диаметром кратным семи, для удобства построения фигуры. Соответственно радиус окружности должен быть кратным трем с половиной. Используйте радиус, равный семи клеткам или семи сантиметрам. Точки пересечения окружности и вертикального диаметра обозначьте буквами А и В.
2
Разделите вертикальный диаметр полученной окружности на семь равных частей. Если вы использовали при построении радиус в семь клеток – седьмая часть диаметра будет равна двум клеткам. Если радиус вашей окружности равен семи сантиметрам – одна седьмая часть диаметра будет равна двум сантиметрам (четырем клеткам). Пронумеруйте точки деления по вертикали сверху вниз.
3
Из точки В (точка №7) проведите дугу радиусом, равным диаметру построенной окружности (равным АВ). Точку пересечения дуги с горизонтальной осью Х обозначьте буквой С. Теперь из точки С через четные деления вертикального диаметра (точки №№2, 4 и 6) проведите лучи. Пересекая окружность, лучи образуют вершины семиугольника E, F, D.
4
При помощи линейки через вершины E, F, D проведите параллельные оси Х прямые. Обозначьте точки пересечения прямых с противоположной частью окружности буквами K, L, M. По линейке соедините поочередно друг с другом вершины D, F, E, А, K, L, M. Правильный семиугольник готов!
Видео по теме
Обратите внимание
Аналогично можно построить семиугольник, проведя лучи через нечетные точки деления вертикального диаметра (точки №№1, 3, 5). В этом случае одной из вершин семиугольника станет точка В.

Совет 6 : Как найти углы четырёхугольника

Для решения этой задачи методами векторной алгебры, вам необходимо знать следующие понятия: геометрическая векторная сумма и скалярное произведение векторов, а также следует помнить свойство суммы внутренних углов четырехугольника.
Как найти углы четырёхугольника
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
Вектор – это направленный отрезок, то есть величина, считающаяся заданной полностью, если задана его длина и направление (угол) к заданной оси. Положение вектора больше ничем не ограничено. Равными считаются два вектора, обладающие одинаковыми длинами и одним направлением. Поэтому при использовании координат векторы изображают радиус-векторами точек его конца (начало располагается в начале координат).
2
По определению: результирующим вектором геометрической суммы векторов называется вектор, исходящий из начала первого и имеющего конец в конце второго, при условии, что конец первого, совмещен с началом второго. Это можно продолжать и далее, строя цепочку аналогично расположенных векторов.
Изобразите заданный четырехугольник ABCD векторами a, b, c и d в соответствии рис. 1. Очевидно, что при таком расположении результирующий вектор d=a+ b+c.
Как найти углы четырёхугольника
3
Скалярное произведение в данном случае удобнее всего определить на основе векторов a и d. Скалярное произведение, обозначаемое (a, d)= |a||d|cosф1. Здесь ф1 – угол между векторами a и d.
Скалярное произведение векторов, заданных координатами, определяется следующими выражением:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогда
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
4
Основные понятия векторной алгебры в привязке к поставленной задаче, приводят к тому, что для однозначной постановки этой задачи достаточно задание трех векторов, расположенных, допустим, на AB, BC, и CD, то есть a, b, c. Можно конечно сразу задать координаты точек A, B, C, D, но этот способ является избыточным (4 параметра вместо 3-х).
5
Пример. Четырехугольник ABCD задан векторами его сторон AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Найти углы между его сторонами.
Решение. В связи с изложенным выше, 4-й вектор (для AD)
d(dx,dy)=a+ b+c={ax+bx +cx, ay+by+cy}={1,3}. Следуя методике вычисления угла между векторами а
cosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/sqrt(10)).
-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(-1/sqrt2), ф2=3п/4.
-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), ф3=arcos(-1/sqrt(10))=п-ф1.
В соответствии с замечанием 2 - ф4=2п- ф1 - ф2- ф3=п/4.
Видео по теме
Обратите внимание
Замечание 1. В определении скалярного произведения используется угол между векторами. Здесь, например, ф2 - это угол между АВ и ВС, а между a и b этот угол п-ф2. сos(п- ф2)=- сosф2. Аналогично для ф3.
Замечание 2. Известно, что сумма углов четырехугольника равна 2п. Поэтому ф4=2п- ф1 - ф2- ф3.

Совет 7 : Как построить четырехугольник

Существует множество видов четырехугольников. Это и прямоугольник, и квадрат, и ромб, и трапеция, и различные неправильные четырехугольники. Построить их можно с помощью самых обычных чертежных инструментов.
Четырехугольники бывают разных видов
Вам понадобится
  • - лист бумаги;
  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - треугольник;
  • - транспортир.
Инструкция
1
Чтобы построить произвольный четырехугольник, никаких данных не нужно. Проведите прямую линию. Отметьте ее концы засечками. К концам отрезка проведите прямые так, чтобы они лежали по одну сторону уже нарисованной прямой. Сделайте на каждом луче по засечке там, где вам больше понравится, и соедините полученные точки прямой линией. Четырехугольник готов.
2
Для построения других четырехугольников нужны некоторые дополнительные данные. Например, чтобы начертить квадрат, нужно знать размер стороны. Углы вам известны, в квадрате каждый из них составляет 90°. Начертите прямую, равную заданной длине стороны. Конечно, как и в предыдущем случае, перпендикуляры должны находиться по одну сторону от начальной линии. Отметьте концы засечками. К каждой засечке проведите перпендикуляр. Отложите на каждом перпендикуляре заданный размер стороны. Полученные точки соедините.
3
Чтобы построить прямоугольник, данных нужно несколько больше. Вам необходимо знать длину и ширину прямоугольника. Строится он почти так же, как квадрат. Начертите прямую линию, отложите на ней длину прямоугольника. Постройте перпендикуляры и отложите на каждом ширину. Конечные точки соедините и проверьте свою работу – линия, полученная при соединении концов перпендикуляров, должна равняться длине прямоугольника.
4
Ромб можно построить, если известны длина его стороны и размер одного из углов. Для этой работы вам понадобится транспортир. Проведите прямую линию, отложите на ней длину стороны ромба. От одной из отметок отложите известный размер угла. Полученную точку соедините с той, к которой вы прикладывали нулевую отметку транспортира. На полученной прямой снова отложите длину стороны. Через концы отрезков проведите к обеим прямым параллельные линии. Проконтролируйте работу, измерив стороны – они должны быть одинаковыми.
5
Чтобы начертить трапецию, вам нужно знать размеры ее оснований, расстояние между ними (то есть высоту) и углы. Начертите прямую, отложите на ней размер большего основания. От каждой из отметок отложите размеры углов. Через отметки проведите прямые, но пока их не ограничивайте. К любой точке нижнего основания проведите перпендикуляр – высоту. Через эту новую точку в обе стороны проведите линию, параллельную уже имеющемуся основанию, до пересечения со сторонами углов.
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500