Совет 1: Как найти сторону четырехугольника

Четырехугольник имеет четыре стороны, которые могут быть найдены через такие параметры, как угол, площадь, диагональ. Задачи на нахождение площади четырехугольника весьма часто встречаются в курсе геометрии.
Инструкция
1
Простейший вариант четырехугольника называется прямоугольником. Он имеет четыре стороны, при этом параллельные стороны между собой равны. Перпендикулярные друг другу стороны образуют между собой угол, равный 90 градусам. Одна из этих сторон называется длиной, а другая, перпендикулярная ей - шириной. Умножением длины на ширину можно вычислить площадь прямоугольника. Из этого можно сделать вывод, что сторону прямоугольника, например, ширину a можно найти, поделив площадь на длину:
a=S/b.
Если в задаче дан квадрат, то сторону можно найти по формуле:
a=√S, так как стороны квадрата равны.
2
Площадь параллелограмма найти несколько сложнее, чем аналогичный параметр прямоугольника. Для примера начертите параллелограмм со сторонами a и b и углом α. Если даны высота и площадь параллелограмма, сторону найдите по следующей формуле:
a=S/h, где h - высота параллелограмма, S - площадь параллелограмма
Если в задаче даны сторона и угол α, а также площадь параллелограмма, формула изменится следующим образом:
a=S/b*sinα
Ромб представляет собой равносторонний параллелограмм, поэтому формула нахождения площади ромба записывается в следующем виде:
S=a^2*sinα
Отсюда, сторона ромба равна:
a=√S/sinα
3
Еще одна разновидность четырехугольника - трапеция. У нее также четыре стороны, но они не всегда бывают равными. У трапеции первые две стороны - это основания, а оставшиеся - боковые стороны. Начертите равнобедренную трапецию с двумя сторонами - основаниями и углом α при основании. Из рисунка видно, что при проведении перпендикуляра к основанию образуется прямоугольный треугольник. Если провести две проекции, то получатся два прямоугольных треугольника, которые равны. Найдите меньший катет треугольника путем вычитания длин оснований. После этого, зная угол, найдите боковую сторону трапеции.
Как найти сторону четырехугольника

Совет 2: Как найти чему равна площадь ромба

Ромб - выпуклая геометрическая фигура, у которой все четыре стороны равны. Он является частным случаем параллелограмма. Кстати, ромб у которого все углы равны 90 градусов, является квадратом. В планиметрии достаточно часто встречаются задачи, в ходе которых требуется нахождение его площади. Знания основных свойств и соотношений, поможет в решение данной задачи.
Вам понадобится
  • Учебник по геометрии
Инструкция
1
Для того, чтобы найти площадь ромба, нужно перемножить длины его диагоналей и разделить это произведение на два.
S = (AC*BD)/2.Пример: Пусть дан ромб АВСD. Длина его большей диагонали AC равна 3 см. Длина стороны АВ составляет 2 см. Найдите площадь этого ромба. Для того, чтобы решить данную задачу, необходимо найти длину второй диагонали. Для этого воспользуйтесь таким свойством, что сумма квадратов диагоналей ромба, равна сумме квадратов его сторон. То есть 4*AB^2 = AC^2+BD^2. Отсюда:
BD = 4*AB^2-AC^2;
BD = (4* 2^2-3^2)^0,5 = (7)^0,5 см;
Тогда S = (7)^0,5*3/2 = 3,97 см^2
2
Так как ромб является частным случаем параллелограмма, то его площадь можно найти, как произведение его стороны на высоту, опущенную из вершины любого угла: S = h*АВПример: Путь площадь ромба составляет 16 см^2, а длина его стороны 8 см. Найдите длину высоты, опущенную на одну из его сторон. По вышеприведенной формуле: S = h*AB, тогда, выразив высоту, получите:
h = S/AB;
h= 16/8= 2 см.
3
Другой способ нахождения площади ромба хорош, если известен какой-либо из углов углов, между двумя смежными сторонами. В этом случае целесообразно воспользоваться формулой: S = а*АВ^2, где а - это угол между сторонами.Пример: Пусть угол между двумя смежными сторонами составляет 60 градусов (угол DAB), а противолежащая диагональ DB равна 8 см. Найдите площадь ромба АВСD.Решение:
1. Диагональ AC является биссектрисой угла DAB и делит отрезок DB пополам, причем, пересекает его под прямым углом. Обозначьте точкой О место пересечения диагоналей.2. Рассмотрите треугольник AOB. Из пункта 1 следует, что он является прямоугольным, угол ВАО равен 30 градусам, длина катета ОВ составляет 4 см. 3. Известно, что катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы (это утверждение получено из геометрического определения синуса). Следовательно длина АВ равна 8 см.4. Рассчитайте площадь ромба АВСD по формуле: S = sin(DAB)*АВ^2;
S = ((3)^0,5/2)*8^2 = 55,43 см^2.
Иллюстрация к примеру 2.
Видео по теме
Обратите внимание
всегда обращайте внимание на размерность
Полезный совет
Знания наизусть свойства треугольников и параллелограмма, можно достаточно быстро ориентироваться в задачах на ромб.

Совет 3: Как найти меньшую сторону трапеции

Меньшим основанием трапеции является одна из ее параллельных сторон, имеющая минимальную длину. Рассчитать эту величину можно несколькими способами, используя те или иные данные.
Вам понадобится
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Если известны две длины - большого основания трапеции и средней линии - используйте для расчета наименьшего основания свойство трапеции. Согласно нему, средняя линия трапеции тождественна полусумме оснований. В этом случае наименьшее основание будет равно разности удвоенной длины средней линии и длины большого основания данной фигуры.
2
Если известны такие параметры трапеции, как площадь, высота, длина большого основания, то расчет наименьшего основания данной фигуры ведите на основе формулы площади трапеции. В этом случае конечный результат получите путем вычитания из разности частного удвоенной площади и высоты такого параметра, как длина большого основания трапеции.
3
Длину наименьшей боковой стороны в прямоугольной трапеции высчитывайте по другой методике. Этот параметр будет равен произведению длины второй боковой стороны и синуса острого угла, прилежащего к ней. В тех же случаях, когда величина угла неизвестна, наименьшую боковую сторону приравнивайте к высоте трапеции и высчитывайте по теореме Пифагора. Наименьшую боковую сторону в прямоугольной трапеции находите с помощью теоремы косинусов: с²=a²+b²-2ab*cosα; где а, b, с представляют собой стороны треугольника; α является углом между сторонами а и b.
Видео по теме
Обратите внимание
Чтобы не ошибиться в вычислениях, значения синусов и косинусов берите из тригонометрических таблиц.
Полезный совет
Если трапеция является остроугольной фигурой, то ее наименьшее основание высчитывайте путем вычитания из разности длины большого основания такой величины, как произведение высоты на сумму котангенсов углов при большом основании.

Для тупоугольной фигуры малое основание высчитывайте путем вычитания из разности длины большого основания такой величины, как произведение высоты на сумму разность котангенсов острого и тупого углов при большом основании.
Источники:
  • Трапеция (задачи про основания)

Совет 4: Как найти диагональ параллелограмма, если даны стороны

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Прямые, соединяющие его противоположные углы, называются диагоналями. Их длина зависит не только от длин сторон фигуры, но и от величин углов в вершинах этого многоугольника, поэтому без знания хотя бы одного из углов вычислить длины диагоналей можно только в исключительных случаях. Таковыми являются частные случаи параллелограмма - квадрат и прямоугольник.
Инструкция
1
Если длины всех сторон параллелограмма одинаковы (a), то эту фигуру можно назвать еще и квадратом. Величины всех его углов равны 90°, а длины диагоналей (L) одинаковы и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Умножьте длину стороны квадрата на корень из двойки - результат и будет длиной каждой из его диагоналей: L=a*√2.
2
Если о параллелограмме известно, что он является прямоугольником с указанными в условиях длиной (a) и шириной (b), то и в этом случае длины диагоналей (L) будут равны. И здесь тоже задействуйте теорему Пифагора для треугольника, в котором гипотенузой является диагональ, а катетами - две смежные стороны четырехугольника. Искомую величину рассчитайте извлечением корня из суммы возведенных в квадрат ширины и высоты прямоугольника: L=√(a²+b²).
3
Для всех остальных случаев знания одних только длин сторон хватит лишь для определения величины, включающей в себя длины сразу обеих диагоналей - сумма их квадратов по определению равна удвоенной сумме квадратов длин сторон. Если же в дополнение к длинам двух смежных сторон параллелограмма (a и b) известен еще и угол между ними (γ), то это позволит рассчитать длины каждого отрезка, соединяющего противоположные углы фигуры. Длину диагонали (L₁), лежащей напротив известного угла, найдите по теореме косинусов - сложите квадраты длин смежных сторон, от результата отнимите произведение этих же длин на косинус угла между ними, а из полученной величины извлеките квадратный корень: L₁ = √(a²+b²-2*a*b*cos(γ)). Для нахождения длины другой диагонали (L₂) можно воспользоваться свойством параллелограмма, приведенным в начале этого шага - удвойте сумму квадратов длин двух сторон, от результата отнимите квадрат уже рассчитанной диагонали, а из полученного значения извлеките корень. В общем виде эту формулу можно записать так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a²-b²+2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).
Источники:
  • как найти длину диагонали параллелограмма

Совет 5: Как вычислить стороны четырехугольника

Четырехугольник может быть правильным или иметь произвольную форму. Для правильных фигур известны соотношения между элементами. Эти связи выражены формулами, позволяющими находить стороны через другие параметры.
Инструкция
1
К правильным четырехугольникам относятся параллелограмм и трапеция. Если все стороны параллелограмма равны, такая фигура называется ромб. Если у параллелограмма все четыре угла прямые, то это прямоугольник. Частный случай прямоугольника — квадрат.
2
Допустим, заданный четырехугольник — квадрат. Если известен его периметр, то сторона равна одной четвертой части периметра. Для вычисления стороны квадрата по его площади нужно извлечь квадратный корень из числа, равного площади. Если известна диагональ, для нахождения стороны разделите диагональ на квадратный корень из числа два.
3
Если нужно определить стороны прямоугольника или параллелограмма, недостаточно знать только периметр или площадь. Необходимо дополнительно знать соотношение между сторонами. Обозначим одну сторону параллелограмма (прямоугольника) N, тогда другая сторона kN. Если значение k известно, то стороны можно вычислить через периметр Р по формуле N= Р/2(1+k) или через площадь S по формуле N=√(S/k).
4
В параллелограмме стороны можно вычислить, если кроме площади и периметра фигуры задан угол ά между сторонами. Нахождение одной из сторон параллелограмма сводится к решению квадратного уравнения вида:N²-NхP/2+S=0где N — сторона параллелограмма Р — периметр параллелограмма S — площадь параллелограмма.Вторую сторону M параллелограмма найдите из формулы площади S=NхMхSinά
5
Найти стороны трапеции также можно по известной площади и периметру фигуры, если задан угол между основанием трапеции и ее боковой стороной.
6
Для нахождения сторон произвольного четырехугольника разделите фигуру вспомогательной линией на два треугольника. Примените известные формулы соотношения элементов треугольника. Для возможного решения задачи должны быть известны не только площадь и периметр фигуры, но и величины углов четырехугольника.

Совет 6: Как найти длину перпендикуляра

Строго говоря, перпендикуляром называют прямую, которая пересекает заданную линию под углом в 90°. Прямая бесконечна по определению, поэтому говорить о длине перпендикуляра неправильно. Говоря так, обычно имеют в виду расстояние между двумя точками, лежащими на перпендикуляре. Например, между заданной точкой и ее нормальной проекцией на плоскость или между точкой в пространстве и точкой пересечения перпендикуляра, опущенного из нее, с прямой линией.
Инструкция
1
Необходимость рассчитать длину перпендикуляра может возникнуть, если он опущен из точки с указанными в условиях координатами A(X₁;Y₁) на прямую, заданную уравнением a*X + b*Y + C = 0. В этом случае сначала подставьте координаты точки в уравнение прямой и рассчитайте абсолютное значение левой части тождества: |a*X₁ + b*Y₁ + C|. Например, при координатах точки A(15;-17) и уравнении прямой 3*X + 4*Y + 140 = 0 результатом этого шага должно стать число |3*15 + 4*(-17) + 140| = |45-61+140| = 124.
2
Рассчитайте нормирующий множитель. Это дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе - квадратный корень из суммы квадратов множителей по обеим координатным осям из уравнения прямой: 1/√(X²+Y²). Для использованного выше примера величина нормирующего множителя должна быть равна 1/√(3²+4²) = 1/√25 = 0,2.
3
Приведите уравнение прямой к нормальному виду - умножьте обе части равенства на нормирующий множитель. В общем виде результат должен выглядеть так: (a*X+b*Y+C)/√(X²+Y²) = 0. Левая часть этого уравнения и определяет длину перпендикуляра в общем виде: d = (a*X+b*Y+C)/√(X²+Y²). А в практических расчетах просто перемножьте полученное на первом шаге число и рассчитанный на втором шаге коэффициент. Для примера из первого шага ответом должно стать число 124*0,2=24,8 - такова длина перпендикулярного линии отрезка, соединяющего ее с заданной точкой.
4
Для нахождения длины перпендикуляра, опущенного из точки с известными трехмерными координатами A(X₁;Y₁;Z₁) на плоскость, заданную уравнением a*X + b*Y + c*Z + D = 0 используйте такую же последовательность операций. В этом случае под знак радикала в нормирующем множителе добавится третье слагаемое √(X²+Y²+Z²), как и в числитель дроби формулы, определяющей длину перпендикуляра в общем виде: d = (a*X+b*Y+c*Z+D)/√(X²+Y²+Z²).

Совет 7: Как найти угол ромба

Ромб образуется из квадрата при растягивании фигуры за вершины, расположенные на одной диагонали. Два угла становятся меньше прямых. Два других угла увеличиваются, превращаясь в тупые.
Инструкция
1
Сумма четырех внутренних углов ромба равна 360°, как у любого четырехугольника. Противоположные углы ромба равны, при этом всегда в одной паре равных углов — углы острые, в другой - тупые. Два угла, прилегающие к одной стороне в сумме составляют развернутый угол. Ромбы с одинаковым размером стороны могут внешне очень сильно отличаться друг от друга. Это различие объясняется разной величиной внутренних углов. Следовательно, для нахождения угла ромба недостаточно знать только его сторону.
2
Достаточным для определения величины углов ромба является знание диагоналей фигуры. После проведения в ромбе обеих диагоналей ромб будет разбит на четыре треугольника. Диагонали ромба расположены под прямым углом, следовательно, полученные треугольники являются прямоугольными. Ромб — симметричная фигура, его диагонали являются одновременно осями симметрии, поэтому все внутренние треугольники равны. Острые углы треугольников, образованных диагоналями ромба, равны половине углов ромба, которые нужно найти.
3
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению катетов, противолежащего к прилежащему. Половина каждой диагонали ромба является катетом прямоугольного треугольника. Если большую и малую диагонали ромба обозначить d₁ и d₂ соответственно, а углы ромба — А (острый) и В (тупой), то из соотношения сторон в прямоугольных треугольниках внутри ромба следует: tg (A/2)=(d₂/2)/(d₁/2)=d₂/d₁, tg(B/2)=(d₁/2)/(d₂/2)=d₁/d₂.
4
По формуле двойного угла tg (2α) = 2/(сtg α - tg α) найдите тангенсы углов ромба: tg A = 2/((d₁/d₂)-(d₂/d₁)) и tg B =2/((d₂/d₁)-(d₁/d₂)). По тригонометрическим таблицам найдите углы, соответствующие рассчитанным значениям их тангенсов.
Источники:
  • как найти меньший угол параллелограмма
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше