Совет 1: Как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике?

Зная стороны треугольника, можно найти радиус вписанной в него окружности. Для этого используется формула, позволяющая найти радиус, а затем, длину окружности и площадь круга, а также другие параметры.
Инструкция
1
Представьте себе равнобедренный треугольник, в который вписана окружность неизвестного радиуса R. Поскольку окружность является вписанной в треугольник, а не описанной вокруг него, все стороны этого треугольника являются касательными к ней. Высота, проведенная из вершины одного угла перпендикулярно к основанию, совпадает с медианой этого треугольника. Она проходит через радиус вписанной окружности.
Следует отметить, что равнобедренным называется тот треугольник, у которого две боковые стороны равны. Углы при основании этого треугольника должны быть тоже равны. Такой треугольник, одновременно, можно вписать в окружность и описать около нее.
2
Сначала найдите неизвестное основание треугольника. Для этого, как уже сказано выше, проведите высоту из вершины треугольника к его основанию. Высота пересечет центр окружности. Если известна хотя бы одна из сторон треугольника, например, сторона CB, то вторая сторона ей равна, так как треугольник является равнобедренным. В данном случае, это - сторона AC. Третью сторону, которая является основанием треугольника, найдите по теореме Пифагора:
c^2=a^2+a^2-2a^2*cosy
Угол y между двумя равными сторонами найдите исходя из того, что в равнобедренном треугольнике два угла равны. Соответственно, третий угол равен y=180-(a+b).
3
Найдя все три стороны треугольника, перейдите к решению задачи. Формула, связывающая длины сторон и радиус, выглядит следующим образом:
r=(p-a)(p-b)(p-c)/p, где p=a+b+c/2 - сумма всех сторон, разделенных пополам, или полупериметр.
Если в окружность вписан равнобедренный треугольник, то в таком случае гораздо легче находить радиус окружности. При знании радиуса окружности, можно найти такие важные параметры, как площадь круга и длина окружности. Если в задании, наоборот, дан радиус окружности - это является, в свою очередь, предпосылкой к нахождению сторон треугольника. Найдя стороны треугольника, можно вычислить его площадь и периметр. Эти вычисления широко применяются во многих инженерных задачах. Планиметрия - это базовая наука, с помощью которой изучают более сложные геометрические вычисления.

Совет 2: Как найти радиус описанной окружности

Окружность считается описанной вокруг многоугольника в том случае, если она касается всех его вершин. Что примечательно, центр подобной окружности совпадает с точкой пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон многоугольника. Радиус описанной окружности полностью зависит от того многоугольника, вокруг которого она описана.
Вам понадобится
  • Знать стороны многоугольника, его площадь/периметр.
Инструкция
1
Подсчет радиуса описанной вокруг треугольника окружности.
Если окружность описана вокруг треугольника со сторонами a, b, c, площадью S и углом ?, лежащим против стороны a, то ее радиус R может быть рассчитан по следующим формулам:
1) R = (a*b*c)/4S;
2) R = a/2sin?.
Как найти радиус описанной <strong>окружности</strong>
2
Подсчет радиуса окружности, описанной вокруг правильного многоугольника.
Для расчета радиуса окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, нужно воспользоваться следующей формулой:
R = a/(2 x sin (360 / (2 x n))), где
a - сторона правильного многоугольника;
n - количество его сторон.
Как найти радиус описанной <strong>окружности</strong>
Обратите внимание
Вокруг многоугольника можно описать окружность только в том случае, если он правильный, т.е. все его стороны равны и все его углы равны.
Тезис, гласящий, что центром описанной вокруг многоугольника окружности является пересечение его серединных перпендикуляров, справедлив для всех правильных многоугольников.
Источники:
  • как найти радиус многоугольника

Совет 3: Как найти высоту в равнобедренном треугольнике

У равнобедренного треугольника две стороны равны, углы при его основании тоже равны. Поэтому высоты, проведенные к боковым сторонам, будут равны друг другу. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, будет одновременно медианой и биссектрисой этого треугольника.
Инструкция
1
Пусть высота AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, так как AE - высота. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE - его катетами.
По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE одновременно и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).
Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника высота AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE - биссектриса треугольника. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).
2
Пусть теперь проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует общая формула.
Пусть S - площадь этого треугольника. Сторону AC, на которую опущена высота, можно обозначить за b. Тогда из формулы площади треугольника будет находиться длина высоту BK: BK = 2S/b.
3
Из этой формулы видно, что высота, проведенная к стороне с (AB), будет иметь такую же длину, так как b = c = AB = AC.
Источники:
  • высоты равнобедренного треугольника

Совет 4: Как найти длину окружности круга

У такой геометрической фигуры, как окружность, имеется несколько характеристик: радиус, диаметр, площадь, длина окружности. Все они взаимосвязаны между собой. Это означает, что в любой из них заключено достаточно информации для определения всех остальных характеристик того же круга.
Инструкция
1
Окружность представляет собой кривую, ограничивающую плоскость, называемую кругом. Иными словами, окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Отрезки соединенные с центром, окружности именуются ее радиусами, а расстояние от одной точки до другой, проходящее через центр, называется диаметром окружности. Диаметр окружности равен двум радиусам: D=2r. Уравнение окружности в аналитической геометрии имеет вид:x^2+y^2=R^2Существует также понятие хорды окружности. Она тоже получается путем соединения двух точек окружности, но не обязательно проходит через ее центр. Все диаметры, которые проходят через середину хорды, перпендикулярны ей. Самая большая хорда окружности является ее диаметром.
2
Как и любая кривая, окружность имеет некоторую длину p. Давно замечено, что длина окружности связана с ее диаметром числом π:p/d=πОтсюда следует, что p=πd, или p = 2πr, где r - радиус окружности.Число π имеет иррациональное значение, но приблизительно оно равно 3,14.Зная длину окружности, можно и определить площадь кольца, ограниченного двумя окружностями. Она равна:S=2πr*k, где k - расстояние между внутренней и внешней окружностями кольца; 2πr - длина внутренней окружности кольца.
3
Графический способ определения длины окружности, по причине его неточности, используют редко. Для этого используют курвиметр - прибор для измерения длины кривой линии. В любом месте окружности отмечают начальную точку измерения. К ней подносят курвиметр и ведут его по линии, пока снова не попадут в ту же точку.
4
Определение длины окружности имеет значительное практическое значение. Помимо математиков, его приходится осуществлять физикам, астрономам. Первые вычисляют длину окружности элементарных частиц, вторые - небесных тел. Также, зная диаметр цирковой арены, беговой дорожки, руководствуясь приведенными выше формулами, можно вычислить, какое расстояние пробежит лошадь или бегун за один круг.

Совет 5: Как найти угол в равнобедренном треугольнике

Под равнобедренным треугольником подразумевается такой треугольник, у которого равны между собой 2 стороны, а третья, в свою очередь, называется основанием равнобедренного треугольника. Для подсчета размеров углов в данном треугольнике существует несколько способов.
Вам понадобится
  • Стороны равнобедренного треугольника, один из углов, радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Инструкция
1
Допустим, дан равнобедренный треугольник, в котором угол α - угол при основании равнобедренного треугольника, а β - противолежащий основанию угол. Тогда, зная один из указанных углов, можно рассчитать неизвестный:
α = (π - β)/2;
β = π - 2*π. π - это константа, ее размер принято считать равной 3.14.
2
Если вокруг равнобедренного треугольника с равными сторонами a, основанием b описать окружность радиуса R, то углы α и β можно будет рассчитать так:
α = arcsin(a/2R);
β = arcsin(b/2R)

Совет 6: Как найти длину стороны в равнобедренном треугольнике

Равнобедренным называется треугольник, в котором длины двух его сторон одинаковы. Чтобы вычислить размер какой-либо из сторон надо знать длину другой стороны и один из углов или радиус описанной вокруг треугольника окружности. В зависимости от известных величин, для расчетов надо использовать формулы, вытекающие из теорем синуса или косинуса, либо из теоремы о проекциях.
Инструкция
1
Если известна длина основания равнобедренного треугольника (A) и величина прилежащего к нему угла (угла между основанием и любой боковой стороной) (α), то вычислить длину каждой из боковых сторон (B) можно исходя из теоремы косинусов. Она будет равна частному от деления длины основания на удвоенное значение косинуса известного угла B=A/(2*cos(α)).
2
Длину стороны равнобедренного треугольника, являющейся его основанием (A), можно вычислить исходя из той же теоремы косинусов, если известны длина его боковой стороны (B) и угол между ней и основанием (α). Она будет равна удвоенному произведению известной стороны на косинус известного угла A=2*B*cos(α).
3
Другой способ нахождения длины основания равнобедренного треугольника можно использовать, если известна величина противолежащего ему угла (β) и длина боковой стороны (B) треугольника. Она будет равна удвоенному произведению длины боковой стороны на синус половины величины известного угла A=2*B*sin(β /2).
4
Аналогично можно вывести и формулу вычисления боковой стороны равнобедренного треугольника. Если известна длина основания (A) и величина угла между равными сторонами (β), то длина каждой из них (B) будет равна частному от деления длины основания на удвоенный синус половины величины известного угла B=A/(2*sin(β /2)).
5
Если известен радиус описанной вокруг равнобедренного треугольника окружности (R), то длины его сторон можно рассчитать, зная величину одного из углов. Если известна величина угла между боковыми сторонами (β), то длина стороны, являющейся основанием (A), будет равна удвоенному произведению радиуса описанной окружности на синус этого угла A=2*R*sin(β).
6
Если известны радиус описанной окружности (R) и величина угла, прилегающего к основанию (α), то длина боковой стороны (B) будет равна удвоенному произведению длины основания на синус известного угла B=2*R*sin(α).
Источники:
  • как вычислить сторону равнобедренного треугольника

Совет 7: Как найти третий угол в треугольнике

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную тремя отрезками прямых (стороны треугольника), имеющих попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Углы треугольника можно найти по Теореме о сумме углов треугольника.
Инструкция
1
Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма углов треугольника составляет 180°. Рассмотрим несколько примеров задач с разными заданными параметрами. Во-первых, пусть заданы два угла α = 30°, β = 63°. Необходимо найти третий угол γ. Находим его непосредственно из теоремы о сумме углов треугольника: α + β + γ = 180° => γ = 180° - α - β = 180° - 30° - 63° = 87°.
2
Теперь рассмотрим задачу нахождения третьего угла треугольника более общего вида. Пусть нам известны три стороны треугольника |AB| = a, |BC| = b, |AC| = c. И необходимо найти три угла α, β и γ. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла β. Согласно теореме косинусов квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Т.е. в наших обозначениях c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β => cos β = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 *a * b).
3
Далее воспользуемся теоремой синусов для нахождения угла α. Согласно этой теореме стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Выразим из этого соотношения синус угла α: a/sin α = b/sin β => sin α = b * sin β / a. Третий угол находим по уже известной нам теореме о сумме углов треугольника по формуле γ = 180° - (α + β).
4
Приведем пример решения подобной задачи. Пусть даны стороны треугольника a = 4, b = 4 * √2, c = 4. Из условия мы видим, что это равнобедренный прямоугольный треугольник. Т.е. в результате мы должны получить углы 90°, 45° и 45°. Посчитаем эти углы по приведенному выше способу. По теореме косинусов находим угол β: cos β = (16 + 32 - 16) / (2 * 16 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2 => β = 45°. Далее находим угол α по теореме синусов: sin α = 4 * √2 * √2 / (2 * 4) = 1 => α = 90°. И наконец, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем угол γ = 180° - 45° - 90° = 45°.
Обратите внимание
Заметим, что в треугольнике не менее двух углов должны быть острыми (т.е. меньше 90°). Поэтому посчитав третий угол проверьте, удовлетворяют ли углы треугольника заданному условию. Если нет – вы допустили ошибку в вычислениях. В любом случаем будет полезно сложить все три угла еще раз и убедиться, что получается 180°.
Полезный совет
Для нахождения величин углов по значениям их тригонометрических функций удобно пользоваться таблицами Брадиса.
Источники:
  • Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций в 2017

Совет 8: Как найти неизвестную сторону в треугольнике

Способ вычисления неизвестной стороны треугольника зависит не только от условий задания, но и от того, для чего это делается. С подобной задачей сталкиваются не только школьники на уроках геометрии, но и инженеры, работающие в разных отраслях производства, дизайнеры интерьера, закройщики и представители многих других профессий. Точность вычислений для разных целей может быть разной, но принцип их остается тем же самым, что и в школьном задачнике.
Вам понадобится
  • - треугольник с заданными параметрами;
  • - калькулятор;
  • - ручка;
  • - карандаш;
  • - транспортир;
  • - лист бумаги;
  • - компьютер с программой AutoCAD;
  • - теоремы синусов и косинусов.
Инструкция
1
Начертите треугольник, соответствующий условиям задания. Треугольник можно построить по трем сторонам, двум сторонам и углу между ними или стороне и двум прилегающим к ней углам. Принцип работы в тетради и на компьютере в программе AutoCAD в этом плане одинаковы. Так что в задании обязательно должны быть указаны размеры одной или двух сторон и одного либо двух углов.
2
При построении по двум сторонам и углу начертите на листе отрезок, равный известной стороне. С помощью транспортира отложите заданный угол и проведите вторую сторону, отложив данный в условии размер. Если вам дана одна сторона и два прилежащих к ней угла, начертите сначала сторону, потом от двух концов полученного отрезка отложите углы и проведите две другие стороны. Обозначьте треугольник как ABC.
3
В программе AutoCAD удобнее всего строить неправильный треугольник с помощью инструмента «Отрезок». Вы найдете его через главную вкладку, выбрав окно «Рисование». Задайте координаты известной вам стороны, затем — конечной точки второго заданного отрезка.
4
Определите вид треугольника. Если он прямоугольный, то неизвестная сторона вычисляется по теореме Пифагора. Гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть c=√a2+b2. Соответственно, любой их катетов будет равно квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и известного катета: a=√c2-b2.
5
Для вычисления неизвестной стороны треугольника, у которого даны сторона и два прилежащих угла, воспользуйтесь теоремой синусов. Сторона а так относится к sinα, как сторона b к sinβ. Α и β в данном случае — противолежащие углы. Угол, который не задан условиями задачи, можно найти, вспомнив, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Вычтите из нее сумму известных вам двух углов. Найдите неизвестную вам сторону b, решив пропорцию обычным способом, то есть умножив известную сторону а на sinβ и разделив это произведение на sinα. Вы получаете формулу b=a*sinβ/sinα.
6
Если вам известны стороны a и b и угол γ между ними, используйте теорему косинусов. Неизвестная сторона с будет равна квадратному корню из суммы квадратов двух других сторон, минус удвоенное произведение этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними. То есть c=√a2+b2-2ab*cosγ.
Видео по теме
Источники:
  • неизвестная сторона треугольника в 2017

Совет 9: Как найти длину вписанной окружности

Окружность будет считаться вписанной в многоугольник только в том случае, если все стороны данного многоугольника без исключения касаются данной окружности. Найти длину вписанной окружности очень просто.
Инструкция
1
Для того чтобы узнать длину окружности, нужно обладать данным о ее радиусе или диаметре. Радиусом окружности считается отрезок, который соединяет друг с другом центр данной окружности с любой из точек, принадлежащих окружности. Диаметром окружности является отрезок, который соединяет противоположные друг другу точки окружности, при это обязательно проходя через центр окружности. Из определений становится ясно, что радиус окружности в два раза меньше ее диаметра. Центром окружности является точка, которая в равной степени удалена от каждой из точек на окружности.

Формулы, с помощью которых находится длина окружности, выглядят так:

L = π*D, где D - диаметр окружности;

L = 2*π*R, где R - радиус окружности.

Пример: Диаметр окружности составляет 20 см, требуется найти ее длину. Решается эта задача с применением самой первой формулы:

L = 3.14*20 = 62.8 см

Ответ: Длина окружности диаметром 20 см составляет 62.8 см
2
Определившись с тем, как находится длина окружности, необходимо выяснить, как найти радиус или диаметр вписанной в многоугольник окружности. Если в многоугольнике известна его площадь S, а также его полупериметр P, то найти радиус вписанной окружности можно с помощью такой формулы:

R = S/p
3
Ради понятности представленных выше данных, можно рассмотреть пример:

В четырехугольник вписана окружность. Площадь данного четырехугольника 64 см², полупериметр его равен 8 см, просится найти длину вписанной в данный многоугольник окружности. Для решения данной задачи необходимо выполнить несколько действий. Сначала надо найти радиус данной окружности:

R = 64/8 = 8 см

Теперь, зная ее радиус, можно, собственно, вычислить и длину данной окружности:

L = 2*8*3.14 = 50.24 см

Ответ: длина вписанной в многоугольник окружности составляет 50.24 см
Видео по теме

Совет 10: Как вписать треугольник в круг

Если все вершины треугольника лежат на одной окружности, то в этом случае он называется вписанным, а окружность, соответственно — описанной вокруг него. Построить треугольник на известной окружности очень просто, но как вписать треугольник в круг, если изначально существует именно он?
Вам понадобится
  • - циркуль;
  • - бумага;
  • - карандаш;
  • - линейка.
Инструкция
1
Для любого треугольника всегда возможно построить описанную окружность, поскольку эта кривая однозначно определяется тремя заданными точками.

Чтобы это обнаружить, достаточно предположить, что треугольник задан декартовыми координатами своих вершин. В этом случае радиус и координаты центра окружности, проходящей через все три точки, должны быть решениями системы из трех уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Эта система будет иметь единственное решение в том случае, если заданные точки не лежат на одной прямой (в этом последнем случае она вовсе не имеет решений). Но три точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, следовательно, этот случай можно даже не рассматривать. Итак, решение заведомо существует.
2
Чтобы треугольник был вписан в окружность, очевидно, требуется, чтобы ее центр находился на равном расстоянии от всех трех его вершин. Задача, таким образом, сводится к нахождению центра описанной окружности.
3
Сторона вписанного треугольника будет являться хордой описанной окружности. Для любой такой хорды существует перпендикулярный к ней радиус, причем точка их пересечения делит хорду ровно пополам.

Следовательно, любой срединный перпендикуляр треугольника (то есть прямая, проходящая через середину его стороны и перпендикулярная ей) проходит через центр описанной окружности. Достаточно провести два таких перпендикуляра, и точка их пересечения будет центром. Радиус же описанной окружности однозначно определяется расстоянием до любой из вершин.
4
Процедура деления отрезка пополам циркулем и линейкой представляет собой, по сути, построение срединного перпендикуляра. Таким образом, задача нахождения центра описанной окружности сводится к делению циркулем и линейкой двух сторон треугольника.
5
Если заданный треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой его гипотенузы.
Видео по теме
Источники:
  • круг вписанный в треугольник

Совет 11: Как найти центр вписанной окружности

Окружность может быть вписана в угол или в выпуклый многоугольник. В первом случае она касается обеих сторон угла, во втором — всех сторон многоугольника. Положение ее центра в обоих случаях вычисляется похожими способами. Необходимо провести дополнительные геометрические построения.
Вам понадобится
  • - многоугольник;
  • - угол заданного размера;
  • - окружность с заданным радиусом;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Найти центр вписанной окружности означает определить его положение относительно вершины отдельно взятого угла или углов многоугольника. Вспомните, где находится центр окружности, вписанной в угол. Он лежит на биссектрисе. Постройте угол заданного размера и разделите его пополам. Радиус вписанной окружности вы знаете. У вписанной окружности он же является и кратчайшим расстоянием от центра до касательной, то есть перпендикуляром. Касательной в данном случае является сторона угла. Постройте к одной из сторон перпендикуляр, равный заданному радиусу. Конечная его точка должна находиться на биссектрисе. У вас получился прямоугольный треугольник. Назовите его, например, ОСА. О — это вершина треугольника и одновременно центр окружности, ОС — радиус, а ОА — отрезок биссектрисы. Угол ОАС равен половине исходного угла. По теореме синусов найдите отрезок ОА, который является гипотенузой.
2
Для определения местоположения центра вписанной окружности в многоугольнике выполните аналогичные построения. Стороны любого многоугольника по определению являются касательными к вписанной окружности. Соответственно, радиус, проведенный к любой точке касания, будет ей перпендикулярен. В треугольнике центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис, то есть расстояние его от углов определяется точно так же, как и в предыдущем случае.
3
Окружность, вписанная в многоугольник, одновременно является вписанной и в каждый его угол. Это следует из ее определения. Соответственно, расстояние центра от каждой из вершин можно вычислить точно так же, как и в случае с отдельно взятым углом. Это особенно важно помнить, если вы имеете дело с неправильным многоугольником. При вычислениях ромба или квадрата достаточно провести диагонали. Центр совпадет с точкой их пересечения. Определить его расстояние от вершин квадрата можно по теореме Пифагора. В случае с ромбом действует теорема синусов или косинусов, в зависимости от того, какой угол вы используете для вычислений.

Совет 12: Как найти длину вписанной окружности в треугольник

Если все точки внутри периметра круга не выходят за пределы периметра треугольника и при этом периметр круга имеет всего по одной общей точке с каждой из сторон треугольника, то окружность называется вписанной в треугольник. Существует всего одно значение радиуса круга, при котором его можно вписать в треугольник с заданными параметрами. Это свойство вписанного круга позволяет по параметрам треугольника вычислить и его параметры, включая длину окружности.
Инструкция
1
Начните вычисление длины вписанной в треугольник окружности (l) с определения ее радиуса (r). Если известна площадь многоугольника (S) и длины всех его сторон (a, b и c), то радиус будет равен отношению удвоенной площади к сумме этих длин r=2*S/(a+b+c).
2
Используйте геометрическое определение константы Пи для вычисления длины окружности по известному значению радиуса. Эта константа выражает отношение длины окружности к ее диаметру, то есть удвоенному радиусу. Значит, для нахождения длины окружности вам следует умножить полученное на предыдущем шаге значение радиуса на удвоенное число Пи. В общем виде эту формулу можно записать так: l=4*π*S/(a+b+c).
3
Если площадь треугольника неизвестна, но дана величина одного из его углов (α) и длины всех сторон (a, b и c), то радиус вписанной окружности (r) можно выразить через тангенс угла α. Для этого сначала сложите длины всех сторон и разделите результат пополам, потом отнимите от полученного значения длину той стороны (a), которая лежит напротив угла известной величины. Полученное число надо умножить на тангенс половины известной величины угла: r=((a+b+c)/2-a)*tg(α/2). Если этой формулой во втором шаге заменить выражение из первого шага, то формула длины окружности примет такой вид: l=2*π*((a+b+c)/2-a)*tg(α/2).
4
Можно обойтись и только длинами сторон треугольника (a, b и c). Но в этом случае для упрощения формулы лучше ввести дополнительную переменную - полупериметр треугольника: p=(a+b+c)/2. С ее помощью радиус вписанной окружности можно выразить как квадратный корень из частного от деления произведения разности полупериметра и длины каждой из сторон на полупериметр: r=√((p-a)*(p-b)*(p-c)/p). А формула длины вписанной окружности в этом случае приобретет такой вид: l=2*π*√((p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Видео по теме

Совет 13: Как найти длину высоты в равнобедренном треугольнике

Высотами в треугольнике называют три отрезка прямых, каждый из которых перпендикулярен одной из сторон и соединяет ее с противолежащей вершиной. Как минимум две стороны и два угла в равнобедренном треугольнике имеют одинаковые величины, поэтому и длины двух высот должны быть равны. Это обстоятельство значительно упрощает вычисление длин высот фигуры.
Инструкция
1
Высоту (Hc), проведенную к основанию равнобедренного треугольника, можно рассчитать, зная длины этого основания (c) и боковой стороны (a). Для этого можно использовать теорему Пифагора, так как высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. Высота и половина основания в нем являются катетами, поэтому для решения задачи извлеките корень из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны и четвертью квадрата длины основания: Hс = √(a²-¼*c²).
2
Эту же высоту (Hc) можно вычислить и по длине любой из сторон, если в условиях приведена величина хотя бы одного угла. Если это угол при основании треугольника (α) а известная длина определяет величину боковой стороны (a), для получения результате перемножьте длину известной стороны и синус известного угла: Hс = a*sin(α). Эта формула вытекает из теоремы синусов.
3
Если известна длина основания (с) и величина прилегающего к нему угла (α), для вычисления высоты (Hc), половину длины основания умножьте на синус известного угла и разделите на синус разницы между 90° и величиной того же угла: Hс = ½*c*sin(α)/sin(90°-α).
4
При известных размерах основания (с) и противолежащего ему угла (γ) для вычисления высоты (Hc) умножайте половину длины известной стороны на синус разницы между 90° и половиной известного угла, а результат делите на синус половины того же угла: Hс = ½*c*sin(90°-γ/2)/sin(γ/2). Эта формула, как и две предыдущие, вытекает из теоремы синусов в сочетании с теоремой о сумме углов в треугольнике.
5
Длину высоты, проведенной к одной из боковых сторон (Ha) можно вычислить, например, зная длину этой стороны (a) и площадь равнобедренного треугольника (S). Чтобы это сделать, найдите удвоенную величину соотношения между площадью и длиной известной стороны: Ha = 2*S/a.

Совет 14: Как вычислять длину окружности и площадь круга

Окружностью называют границу круга - замкнутую кривую линию, длина которой зависит от размера круга. Эта замкнутая линия делит бесконечную по определению плоскость на две неравные части, одна из которых продолжает оставаться бесконечной, а другая может быть измерена и называется площадью круга. Обе величины - длина окружности и площадь круга - определяются его размерами и могут быть выражены одна через другую или через диаметр этой фигуры.
Инструкция
1
Для расчета длины окружности (L) с использованием известной длины диаметра (D) не обойтись без числа Пи - математической константы, которая, собственно, и выражает взаимозависимость этих двух параметров круга. Перемножьте число Пи и диаметр, чтобы получить искомую величину L = π*D. Часто вместо диаметра в исходных условия приводится радиус (R) круга. В этом случае замените в формуле диаметр удвоенным радиусом: L = π*2*R. Например, при радиусе в 38 см длина окружности должна составить примерно 3,14*2*38 = 238,64 см.
2
Рассчитать площадь круга (S) при известном диаметре (D) тоже невозможно без использования числа Пи - умножайте его на возведенный в квадрат диаметр, а результат делите на четверку: S = π*D²/4. С использованием радиуса (R) эта формула станет на одно математическое действие короче: S = π*R². Например, если радиус равен 72 см, площадь должна составить 3,14*722 = 16277,76 см².
3
Если нужно выразить длину окружности (L) через площадь круга (S), сделайте это с использованием приведенных в двух предыдущих шагах формул. В них есть один общий параметр круга - диаметр, или удвоенный радиус. Сначала выразите неизвестный радиус через известную площадь круга, чтобы получить такое выражение: √(S/π). Затем подставьте это значение в формулу из первого шага. Окончательная формула расчета длины окружности по известной площади круга должна выглядеть так: L = 2*√(π*S). Например, если круг занимает площадь в 200 см², длина его окружности будет равна 2*√(3,14*200) = 2*√628 ≈ 50,12 см.
4
Обратная задача - нахождение площади круга (S) по известной длине окружности (L) - потребует от вас схожей последовательности действий. Сначала выразите из формулы первого шага радиус через длину окружности - у вас должно получиться такое выражение: L/(2*π). Затем подставьте его в формулу второго шага - результат должен выглядеть так: S = π*(L/(2*π))² = L²/(4*π). Например, площадь круга с длиной окружности в 150 см должна составлять приблизительно 1502/(4*3,14) = 22500/12,56 ≈ 1791,40 см².
Видео по теме
Источники:
  • нахождение площади круга и длины окружности

Совет 15: Как найти угол между касательными

Прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку, является касательной к окружности. Другая особенность касательной – она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть касательная и радиус образуют прямой угол. Если из одной точки А проведены две касательных к окружности АВ и АС, то они всегда равны между собой. Определение угла между касательными (угол АВС) производится с помощью теоремы Пифагора.
Инструкция
1
Для определения угла необходимо знать радиус окружности ОВ и ОС и расстояние точки начала касательной от центра окружности - О. Итак, углы АВО и АСО равны 90 градусов, радиус ОВ, например 10 см, а расстояние до центра окружности АО равно 15 см. Определите длину касательной по формуле в соответствии с теоремой Пифагора: АВ = квадратный корень из АО2 – ОВ2 или 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Как найти <strong>угол</strong> между касательными
2
Извлеките квадратный корень. Получится 11.18 см. Поскольку угол ВАО представляет собой sin или отношение сторон ВО и АО вычислите его значение: Sin угла ВАО = 10 : 15 = 0.66
3
Затем, пользуясь таблицей синусов, найдите данное значение, которое соответствует примерно 42 градусам. Таблица синусов используется для решения различных задач – физических, математических или инженерных. Остается выяснить величину угла ВАС, для чего следует величину данного угла удвоить, то есть, получится примерно 84 градусов.
4
Величина центрального угла соответствует угловой величине дуги, на которую он опирается. Величину угла можно также определить с помощью транспортира, приложив его к чертежу. Так как подобные вычисления относятся к тригонометрии, то можно воспользоваться тригонометрическим кругом. С его помощью можно переводить градусы в радианы и наоборот.
5
Как известно, полный круг составляет 360 градусов или 2П радиан. На тригонометрическом круге отображены значения синусов и косинусов основных углов. Стоит напомнить, что значение синуса находится на оси Y, а косинуса на оси Х. Значения синуса и косинуса находятся в промежутке от -1 до 1.
6
Определить значения тангенса и котангенса угла можно поделив синус на косинус, а котангенса наоборот – косинуса на синус. Тригонометрический круг позволяет определить знаки всех тригонометрических функций. Так, синус - это нечетная функция, а косинус – четная. Тригонометрический круг позволяет понять, что синус и косинус – периодические функции. Как известно, период равен 2П.
Видео по теме
Источники:
  • угол между двумя касательными в 2017
Источники:
  • равнобедренный треугольник и вписанная окружность
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500