Совет 1: Как найти высоту в правильной пирамиде

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его представляют собой треугольники, обладающие общей вершиной. Для правильной пирамиды справедливо то же определение, но в основании ее лежит правильный многоугольник. Под высотой пирамиды подразумевается отрезок, который проведен от вершины пирамиды к основанию, и этот отрезок перпендикулярен ему. Найти высоту в правильной пирамиде очень легко.
Как найти высоту в правильной пирамиде
Вам понадобится
  • В зависимости от ситуации, знать объем пирамиды, площадь боковых граней пирамиды, длину ребра, длину диаметра многоугольника в основании.
Инструкция
1
Одним из способов найти высоту пирамиды, и не только правильной - это выразить ее через объем пирамиды. Формула, с помощью которой можно узнать ее объем, выглядит так:
V = (S*h)/3, где S - площадь всех боковых граней пирамиды в сумме, h - высота данной пирамиды.
Тогда из этой формулы можно вывести другую, для нахождения высоты пирамиды:
h = (3*V)/S
К примеру, известно, что площадь боковых граней пирамиды 84 см², а объем пирамиды равен 336 куб.см. Тогда найти высоту можно так:
h = (3*336)/84 = 12 см
Ответ: высота данной пирамиды 12 см
2
Рассматривая правильную пирамиду, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно прийти к выводу, что треугольник, образованный высотой, половиной диагонали и одной из граней пирамиды, представляет из себя прямоугольный треугольник (например, это треугольник АEG на рисунке выше). Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (a² = b² + c²). В случае с правильной пирамидой, гипотенуза - это грань пирамиды, один из катетов - половина диагонали многоугольника в основании, а другой катет - высота пирамиды. В таком случае, зная длину грани и диагонали, можно вычислить и высоту. В качестве примера можно рассмотреть треугольник AEG:
AE² = EG²+GA²
Отсюда высоту пирамиды GA можно выразить так:
GA = √(AE²-EG²).
3
Чтобы было более понятно, как находить высоту правильной пирамиды, можно рассмотреть пример: в правильной пирамиде длина грани 12 см, длина диагонали многоугольника в основании - 8 см. Исходя из этих данных, требуется найти длину высоты этой пирамиды.Решение: 12² = 4² + c², где с - неизвестный катет (высота) данной пирамиды (прямоугольного треугольника).
144 = 16 + 128
Таким образом, высота данной пирамиды √128 или, приблизительно, 11.3 см
Источники:
  • правильная четырехугольная пирамида найти высоту
  • Решение заданий С2 ЕГЭ по математике

Совет 2 : Как найти площадь пирамиды

Пирамида - сложное геометрическое тело. Оно образовано плоским многоугольником (основание пирамиды), точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершина пирамиды) и всех отрезков, которые соединяют точки основания пирамиды с вершиной. Как же найти площадь пирамиды?
Как найти площадь пирамиды
Вам понадобится
  • линейка, карандаш и бумага
Инструкция
1
Площадь боковой поверхности любой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Т.к. все боковые грани пирамиды треугольники, то надо найти сумму площадей всех этих треугольников. Площадь треугольника вычисляется путем умножения длины основания треугольника на длину его высоты.
Как найти площадь пирамиды
2
Основанием пирамиды является многоугольник. Если данный многоугольник поделить на треугольники, то площадь многоугольника просто вычислить как сумму площадей получившмхся при делении треугольников по уже известной нам формуле.
3
Найдя сумму площадей боковой поверхности пирамиды и основания пирамиды, можно найти общую площадь поверхности пирамиды.
4
Для вычислений площади правильной пирамиды пользуются специальной формулой.

Пример:

Перед нами правильная пирамида. В основании находится правильный n-угольник со стороной а. Высота боковой грани - h (кстати, имеет название апофема пирамиды). Площадь каждой боковой грани равна 1/2ah. Вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь n/2ha, вычисляем путем сложения площадей боковых граней. na - это периметр основания пирамиды. Площадь этой пирамиды найдем так: произведение апофемы пирамиды и половины периметра её основания равно площади боковой поверхности правильной пирамиды.
5
Что касается площади полной поверхности, то просто к боковой прибавляем площадь основания, по принципу, рассмотренному выше.
Источники:
  • http://www.pm298.ru/stereom.php

Совет 3 : Как найти объём пирамиды

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, в то время как все остальные грани представляют собой треугольники, у которых есть общая вершина.Объем пирамиды рассчитывается по общей формуле.
Структура пирамиды
Вам понадобится
  • -Площадь грани - основания пирамида;
  • -Высота пирамиды.
Инструкция
1
Пускай в основании пирамиды лежит многоугольник площадью S, а высота, опущенная из вершины пирамиды к ее основанию, будет равна h. Тогда объем пирамиды будет рассчитан по формуле:
V = (S*h)/3.
2
Пример. Дана пирамида ABCDE, в основании которой лежит четырехугольник ABCD площадью 36 кв.см., а длина высоты EK 20 см. Тогда, пользуясь формулой объема пирамиды, ее объем составит:
V = (36*20)/3 = 240 кубических сантиметров.
Видео по теме

Совет 4 : Как найти объем пирамиды

Пирамида - это один из частных случаев конуса. Эта пространственная фигура образуется боковыми поверхностями, одна из которых (основание) может иметь любое число углов. Все остальные грани полноразмерной, то есть не усеченной пирамиды, представляют собой треугольники, имеющие с основанием две, а с любой другой боковой гранью не меньше одной общей вершины. Объем пространства, ограниченного такой геометрической фигурой, можно рассчитать несколькими способами.
Как найти объем пирамиды
Инструкция
1
Если в исходных условиях задачи присутствуют данные о площади основания пирамиды (S) и ее высоте (h), то вам повезло - есть возможность воспользоваться самой простой из формул вычисления объема (V) этой объемной фигуры. Перемножьте оба известных значения, а результат поделите на три: V= S*h.
2
Если площадь основания не известна, то определите ее, исходя из формул для соответствующих многогранников. Для определения площади основания правильной треугольной формы рассчитайте четверть от произведения квадратного корня из тройки на возведенную в квадрат длину ребра (a) основания. Полученный результат умножьте на треть от высоты (h) пирамиды и ее объем (V) будет найден: V = ¼*√3*a²*⅓*h = √3*a²*h/12.
3
Если в основании этой объемной фигуры лежит прямоугольник, то сначала найдите его площадь, перемножив длины двух смежных ребер (a и b) основания. Затем, как обычно, умножьте площадь основания на треть от высоты (h) этого многогранника и получите его объем (V): V=⅓*a*b*h.
4
Используйте такой же алгоритм для нахождения объемов пирамид с основаниями любой другой геометрической формы - вычисляйте площадь основания и умножайте его не одну третью часть высоты фигуры.
5
Для вычисления объема усеченной пирамиды вам необходимо вычислить площади как основания этой фигуры (S₁), так и ее сечения (S₂). Полученные результаты сложите между собой, а затем прибавьте квадратный корень из произведения этих двух площадей. В заключение получившееся число умножьте на треть высоты (h) пирамиды - на этом нахождение объема (V) будет завершено. В общем виде формулу нахождения объема усеченной пирамиды при известных площадях двух ее параллельных плоскостей можно записать так: V=⅓*h*√(S₁+S₂+(S₁*S₂)).

Совет 5 : Как вычислить площадь пирамиды

Под площадью пирамиды обычно понимается площадь ее боковой или полной поверхности. В основании данного геометрического тела лежит многоугольник. Боковые грани имеют треугольную форму. У них есть общая вершина, которая одновременно является и вершиной пирамиды.
Как вычислить площадь пирамиды
Вам понадобится
  • - лист бумаги;
  • - ручка;
  • - калькулятор;
  • - пирамида с заданными параметрами.
Инструкция
1
Рассмотрите данную в задании пирамиду. Определите, правильный или неправильный многоугольник лежит в ее основании. У правильного все стороны равны. Площадь в этом случае равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. Найдите периметр, умножив длину стороны l на количество сторон n, то есть P=l*n. Выразить площадь основания можно формулой Sо=1/2P*r, где P - периметр, а r - радиус вписанной окружности.
2
Периметр и площадь неправильного многоугольника вычисляются иначе. Стороны имеют разную длину. Чтобы посчитать периметр, необходимо сложить все отрезки, ограничивающие основание. Для вычисления площади выполните дополнительное построение. Разделите неправильный многоугольник на фигуры, параметры которых вам известны, а площадь вы легко можете найти, используя наиболее распространенные формулы и тригонометрические функции.
3
Боковая поверхность пирамиды представляет собой сумму всех боковых граней. У правильной пирамиды высота падает в центр лежащего в основании правильного многоугольника. Для наглядности очень полезно построить высоты самой пирамиды и одной из ее боковых сторон. Точку пересечения второй высоты с нижней гранью соедините с центром основания. У вас в любом случае получится прямоугольный треугольник, в котором вам необходимо вычислить гипотенузу, одновременно являющуюся и высотой боковой грани. Сделайте это, используя известные вам параметры (например, высоту пирамиды и радиус вписанной в многоугольник основания окружности).
Постройте высоту боковой грани
4
Зная высоту боковой грани правильной пирамиды, вычислите площадь боковой поверхности. Она равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, то есть вычислить ее можно по формуле Sб=1/2P*h, где P - уже известный вам периметр, а h - высота боковой грани.
5
Вычисление боковой поверхности неправильной пирамиды потребует от вас несколько больших затрат времени. Она равна сумме площадей всех боковых граней. Вспомните, чему равна площадь треугольника. Ее можно найти по формуле S=1/2l*h, то есть полупроизведению основания треугольника на его высоту.
6
Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Для этого сложите уже известные вам площади основания и боковой поверхности.

Совет 6 : Как вычислить высоту пирамиды

Задачи на определение каких-либо параметров многогранников, конечно, могут вызвать затруднение. Но, если немного подумать, становится понятно, что решение сводится к рассмотрению свойств отдельных плоских фигур, из которых и состоит данное геометрическое тело.
Как вычислить высоту пирамиды
Инструкция
1
Пирамида – это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Боковые грани представляют собой треугольники с общей вершиной, которая является одновременно вершиной пирамиды. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, т.е. такой, у которого все углы и все стороны равны, то пирамида называется правильной. Поскольку в условии задачи не указывается, какой именно многогранник следует рассматривать в данном случае, можно считать, что имеет место правильная n-угольная пирамида.
2
В правильной пирамиде все ребра равны между собой, все грани - равные равнобедренные треугольники. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на ее основание.
3
Нахождение высоты пирамиды зависит от того, что дано в условии задачи. Применяйте формулы, в которых для нахождения каких–либо параметров пирамиды используется ее высота. К примеру, дано: V – объем пирамиды; S – площадь основания. Используйте формулу нахождения объема пирамиды V=SH/3, где H – высота пирамиды. Отсюда следует: H=3V/S.
4
Двигаясь в том же направлении, следует отметить, что если площадь основания не дана, ее в некоторых случаях можно найти по формуле нахождения площади правильного многоугольника. Введите обозначения:р - полупериметр основания (полупериметр легко найти, если известно число сторон и величина одной стороны);h – апофема многоугольника (апофемой называется перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на любую из его сторон); а - сторона многоугольника;n – число сторон.Таким образом, p=an/2, а S=ph= (an/2)h. Откуда следует: H=3V/ (an/2) h.
5
Разумеется, существует множество других вариантов. К примеру, дано:h - апофема пирамиды;n - апофема основания;H - высота пирамиды.Рассмотрите фигуру, образованную высотой пирамиды, ее апофемой и апофемой основания. Она представляет собой прямоугольный треугольник. Решите задачу с помощью всем известной теоремы Пифагора. Применительно к данному случаю можно записать: h²=n²+H², откуда H²=h²-n². Вам остается лишь извлечь квадратный корень из выражения h²-n².
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500