Совет 1: Как найти высоту в правильной пирамиде

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его представляют собой треугольники, обладающие общей вершиной. Для правильной пирамиды справедливо то же определение, но в основании ее лежит правильный многоугольник. Под высотой пирамиды подразумевается отрезок, который проведен от вершины пирамиды к основанию, и этот отрезок перпендикулярен ему. Найти высоту в правильной пирамиде очень легко.
Вам понадобится
  • В зависимости от ситуации, знать объем пирамиды, площадь боковых граней пирамиды, длину ребра, длину диаметра многоугольника в основании.
Инструкция
1
Одним из способов найти высоту пирамиды, и не только правильной - это выразить ее через объем пирамиды. Формула, с помощью которой можно узнать ее объем, выглядит так:
V = (S*h)/3, где S - площадь всех боковых граней пирамиды в сумме, h - высота данной пирамиды.
Тогда из этой формулы можно вывести другую, для нахождения высоты пирамиды:
h = (3*V)/S
К примеру, известно, что площадь боковых граней пирамиды 84 см², а объем пирамиды равен 336 куб.см. Тогда найти высоту можно так:
h = (3*336)/84 = 12 см
Ответ: высота данной пирамиды 12 см
2
Рассматривая правильную пирамиду, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно прийти к выводу, что треугольник, образованный высотой, половиной диагонали и одной из граней пирамиды, представляет из себя прямоугольный треугольник (например, это треугольник АEG на рисунке выше). Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (a² = b² + c²). В случае с правильной пирамидой, гипотенуза - это грань пирамиды, один из катетов - половина диагонали многоугольника в основании, а другой катет - высота пирамиды. В таком случае, зная длину грани и диагонали, можно вычислить и высоту. В качестве примера можно рассмотреть треугольник AEG:
AE² = EG²+GA²
Отсюда высоту пирамиды GA можно выразить так:
GA = √(AE²-EG²).
3
Чтобы было более понятно, как находить высоту правильной пирамиды, можно рассмотреть пример: в правильной пирамиде длина грани 12 см, длина диагонали многоугольника в основании - 8 см. Исходя из этих данных, требуется найти длину высоты этой пирамиды.Решение: 12² = 4² + c², где с - неизвестный катет (высота) данной пирамиды (прямоугольного треугольника).
144 = 16 + 128
Таким образом, высота данной пирамиды √128 или, приблизительно, 11.3 см

Совет 2: Как найти площадь грани в пирамиде

Пирамида – одна из самых мистических фигур в геометрии. С ней связывают потоки космической энергии, многие древние народы избирали именно эту форму для строительства своих культовых сооружений. Тем не менее, с точки зрения математики, пирамида – это всего лишь многогранник, с многоугольником в основании, а гранями являются треугольники с общей вершиной. Рассмотрим, как найти площадь грани в пирамиде.
Вам понадобится
  • калькулятор.
Инструкция
1
Пирамиды бывают следующих типов: правильная (в основании - правильный многоугольник, а проекция вершины пирамиды на основание – его центр), произвольная (в основании лежит любой многоугольник, а проекция вершины необязательно совпадает с его центром), прямоугольная (одно из боковых ребер составляет с основанием прямой угол) и усеченная. В зависимости от того, сколько сторон имеет многоугольник в основании пирамиды, ее называют трех-, четырех-, пяти или, к примеру, десятиугольной.
2
Поскольку боковая грань любой пирамиды (кроме усеченной) - это треугольник, нахождение площади грани сводится к определению его площади. В усеченной пирамиде боковая грань – трапеция. Итак, разберемся, как найти площадь грани пирамиды в каждом отдельном случае.
3
Для всех видов пирамид, кроме усеченной:Перемножьте длины основания треугольника и опущенной на него высоты из вершины пирамиды. Разделите полученное произведение на 2 – это и будет искомая площадь боковой грани пирамиды.
4
Усеченная пирамидаСложите оба основания трапеции, являющейся гранью такой пирамиды. Разделите полученную сумму на два. Умножьте полученное значение на высоту грани-трапеции. Полученная в результате величина – площадь боковой грани пирамиды данного типа.
Видео по теме
Полезный совет
Площадь боковой поверхности и основания, периметр основания пирамиды и ее объем связывают между собой определенные формулы. Это порой дает возможность вычислить значения недостающих данных, необходимых для определения площади грани в пирамиде.

Объем любой не усеченной пирамиды равен трети от произведения высоты пирамиды и площади основания. Для правильной пирамиды справедливо: площадь боковой поверхности равна половине периметра основания умноженного на высоту одной из граней. При расчете объема усеченной пирамиды, вместо площади основания подставляется величина, равная сумме площадей верхнего, нижнего основания и квадратного корня из их произведения.
Источники:
  • Стереометрия
  • как найти боковую грань пирамиды

Совет 3: Как найти объем прямоугольной пирамиды

Прямоугольной называется пирамида, одно из ребер которой перпендикулярно ее основанию, то есть стоит под углом 90˚. Это ребро является одновременно и высотой прямоугольной пирамиды. Формулу объема пирамиды впервые вывел Архимед.
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
В прямоугольной пирамиде высотой будет ее ребро, которое стоит под углом 90˚ к основанию. Как правило, площадь основания прямоугольной пирамиды обозначают как S, а высоту, которая одновременно является ребром пирамиды, − h. Тогда, чтобы найти объем этой пирамиды, необходимо площадь ее основания умножить на высоту и разделить на 3. Таким образом, объем прямоугольной пирамиды вычисляется с помощью формулы: V=(S*h)/3.
2
Прочитайте условие задачи. Допустим, дана прямоугольная пирамида ABCDES. В ее основании лежит пятиугольник, площадь которого 45 см². Длина высоты SE равна 30 см.
3
Постройте пирамиду, следуя заданным параметрам. Ее основание обозначьте латинскими буквами ABCDE, а вершину пирамиды - S. Так как чертеж получится на плоскости в проекции, то для того, чтобы не запутаться, обозначьте уже известные вам данные: SE=30см; S(ABCDE)=45 см².
4
Вычислите объем прямоугольной пирамиды, используя формулу. Подставив данные и сделав подсчеты, получится, что объем прямоугольной пирамиды будет равен: V=(45*30)/3=см³.
5
Если в условии задачи нет данных о площади основания и высоте пирамиды, то нужно провести дополнительные вычисления для получения этих величин. Площадь основания будет вычисляться в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.
6
Высоту пирамиды узнаете, если известна гипотенуза любого из прямоугольных треугольников EDS или EAS и угол, под которым наклонена боковая грань SD или SA к ее основанию. Вычислите катет SE по теореме синусов. Он и будет являться высотой прямоугольной пирамиды.
Обратите внимание
Проводя вычисления таких величин, как высота, объем, площадь, следует помнить, что каждая из них имеет свою единицу измерения. Так, площадь измеряется в см², высота – в см, а объем - в см³.
Кубический сантиметр – это единица объема, которая равна объему куба с длиной ребер в 1см. Если подставить данные в нашу формулу, получим: см³= (см²*см)/3.
Полезный совет
Как правило, если в задаче требуется найти объем прямоугольной пирамиды, то все необходимые данные известны – как минимум для того, чтобы найти площадь основания и высоту фигуры.
Источники:
  • Объем пирамиды
Источники:
  • правильная четырехугольная пирамида найти высоту
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше