Совет 1: Как найти нормальный вектор к плоскости

Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости. Одним из способов задать плоскость является указание координат ее нормали и точки, лежащей на плоскости. Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, то нормальным к ней является вектор с координатами (A;B;C). В других случаях для вычисления нормального вектора придется потрудиться.
Инструкция
1
Пусть плоскость задана тремя принадлежащими ей точками K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Чтобы найти нормальный вектор, составим уравнение этой плоскости. Обозначьте произвольную точку, лежащую на плоскости, буквой L, пусть у нее будут координаты (x;y;z). Теперь рассмотрите три вектора PK, PM и PL, они лежат на одной плоскости (компланарны), поэтому их смешанное произведение равно нулю.
2
Найдите координаты векторов PK, PM и PL:
PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)
PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)
PL = (x-xp;y-yp;z-zp)
Смешанное произведение этих векторов будет равно определителю, представленному на рисунке. Этот определитель следует вычислить, чтобы найти уравнение для плоскости. Вычисление смешанного произведения для конкретного случая смотрите в примере.
3
Пример
Пусть плоскость задана тремя точками K(2;1;-2), M(0;0;-1) и P(1;8;1). Требуется найти нормальный вектор плоскости.
Возьмите произвольную точку L с координатами (x;y;z). Вычислите векторы PK, PM и PL:
PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)
PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)
PL = (x-1;y-8;z-1)
Составьте определитель для смешанного произведения векторов (он на рисунке).
4
Теперь разложите определитель по первой строке, а затем подсчитайте значения определителей размера 2 на 2.
Таким образом уравнение плоскости -10x + 5y - 15z - 15 = 0 или, что то же, -2x + y - 3z - 3 = 0. Отсюда легко определить вектор нормали к плоскости: n = (-2;1;-3).

Совет 2: Как найти нормальный вектор

Перед тем как ответить на поставленный вопрос, требуется определить, нормаль чего именно необходимо искать. В данном случае, предположительно, в задаче рассматривается некая поверхность.
Инструкция
1
Приступая к решению поставленной задачи, следует помнить, что нормаль к поверхности определяется как нормаль к касательной плоскости. Исходя именно из этого и будет выбираться методика решения.
2
График функции двух переменных z=f(x, y)=z(x, y) – это поверхность в пространстве. Таким образом ее чаще всего и задают. В первую очередь необходимо найти касательную плоскость к поверхности в некоторой точке М0(x0, y0, z0), где z0=z(x0, y0).
3
Для этого следует вспомнить, что геометрический смысл производной функции одного аргумента, это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке, где y0=f(x0). Частные производные функции двух аргументов находят, фиксируя «лишний» аргумент точно так же, как и производные обычных функций. Значит геометрический смысл частной производной по x функции z=z(x, y) в точке (x0,y0) состоит в равенстве ее углового коэффициента касательной, к кривой, образуемой пересечением поверхности и плоскости y=y0 (см. рис. 1).
4
Данные, отраженные на рис. 1, позволяют заключить, что уравнение касательной к поверхности z=z(x, y), содержащей точку М0(xo, y0, z0) в сечении при y=y0: m(x-x0)=(z-z0), y=y0. В каноническом виде можно записать:(x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Значит направляющий вектор этой касательной s1(1/m, 0, 1).
5
Теперь, если угловой коэффициент касательно для частной производной по y обозначить n, то совершенно очевидно, что аналогично предыдущему выражению, это приведет к (y-y0)/(1/n)=(z-z0), x=x0 и s2(0, 1/n, 1).
6
Далее продвижение решения в виде поиска уравнения касательной плоскости можно прекратить и перейти непосредственно к искомой нормали n. Ее можно получить как векторное произведение n=[s1, s2]. Вычислив его, будет определено, что в заданной точке поверхности (x0, y0, z0). n={-1/n, -1/m, 1/mn}.
7
Так как любой пропорциональный вектор также останется вектором нормали, удобнее всего ответ представить в виде n={-n, -m, 1} и окончательно n(дz/дx, дz/дx, -1).
Видео по теме
Обратите внимание
У незамкнутой поверхности имеется две стороны. В данном случае ответ дан для «верхней» стороны, там где нормаль образует острый угол с осью 0Z.

Совет 3: Как найти произведение векторов

Для векторов есть два понятия произведения. Одно из них скалярное произведение, другое - векторное. Каждое из этих понятий имеет свой математический и физический смысл и вычисляется совершенно по-разному.
Инструкция
1
Рассмотрим два вектора в трехмерном пространстве. Вектор a с координатами (xa; ya; za) и вектор b с координатами (xb; yb; zb). Скалярное произведение векторов а и b обозначается (a,b). Оно вычисляется по формуле: (a,b) = |a|*|b|*cosα, где α - угол между двумя векторами.Можно вычислить скалярное произведение в координатах: (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb. Также существует понятие скалярного квадрата вектора, это скалярное произведение вектора на самого себя: (a,a) = |a|² или в координатах (a,a) = xa² + ya² + za².Скалярное произведение векторов - это число, характеризующее местоположение векторов относительно друг друга. Часто его используют для вычисления угла между векторами.
2
Векторное произведение векторов обозначается [a,b]. В результате векторного произведения получается вектор, который перпендикулярен обоим векторам-сомножителям, а длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Причем три вектора a, b и [a,b] образуют так называемую правую тройку векторов.Длина вектора [a,b] = |a|*|b|*sinα, где α - угол между векторами a и b.
Как найти <b>произведение</b> <strong>векторов</strong>
Видео по теме
Источники:
  • Векторное произведение векторов и его свойства

Совет 4: Как решать вектор

В линейной алгебре и в геометрии понятие вектор определяется по разному. В алгебре вектором называется элемент векторного пространства. В геометрии же вектором называют упорядоченную пару точек евклидового пространства - направленный отрезок. Над векторами определены линейные операции – сложение векторов и умножение вектора на некоторое число.
Инструкция
1
Правило треугольника.
Суммой двух векторов a и o называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец лежит на конце вектора o, при этом начало вектора o совпадает с концом вектора a. Построение этой суммы представлено на рисунке.
Как решать <strong>вектор</strong>
2
Правило параллелограмма.
Пусть векторы a и o имеют общее начало. Достроим эти векторы до параллелограмма. Тогда сумма векторов a и o совпадает с диагональю параллелограмма, исходящей из начала векторов a и o.
Как решать <strong>вектор</strong>
3
Сумму большего количества векторов можно найти, последовательно применяя к ним правило треугольника. На рисунке представлена сумма четырёх векторов.
Как решать <strong>вектор</strong>
4
Произведением вектора a на число ? называется число ?a такое, что |?a| = |?| * |a|. Полученный при умножении на число вектор параллелен исходному вектору или лежит с ним на одной прямой. Если ?>0, то векторы a и ?a являются однонаправленными, если ?<0, то векторы a и ?a направлены в разные стороны.
Видео по теме

Совет 5: Как вычислить вектор

Вектор, как направленный отрезок, зависит не только от абсолютной величины (модуля), которая равна его длине. Еще одна важная характеристика – направление вектора. Оно может определяться как координатами, так и углом между вектором и осью координат. Вычисление вектора также производится при нахождении суммы и разности векторов.
Вам понадобится
  • - определение вектора;
  • - свойства векторов;
  • - калькулятор;
  • - таблица Брадиса или ПК.
Инструкция
1
Вычислить вектор, можно зная его координаты. Для этого определите координаты начала и конца вектора. Пусть они будут равны (x1;y1) и (x2;y2). Чтобы произвести вычисление вектора, найдите его координаты. Для этого от координат конца вектора отнимите координаты его начала. Они будут равны (x2- x1;y2-y1). Примите x= x2- x1; y= y2-y1, тогда координаты вектора будут равны (x;y).
2
Определите длину вектора. Это можно сделать просто, измерив ее линейкой. Но если известны координаты вектора, рассчитайте длину. Для этого найдите сумму квадратов координат вектора и извлеките из получившегося числа корень квадратный. Тогда длина вектора будет равна d=√(x²+y²).
3
После этого найдите направление вектора. Для этого определите угол α между ним и осью ОХ. Тангенс этого угла равен отношению координаты y вектора к координате x (tg α= y/x). Чтобы найти угол, воспользуйтесь в калькуляторе функцией арктангенса, таблицей Брадиса или ПК. Зная длину вектора и его направление относительно оси, можно найти положение в пространстве любого вектора.
4
Пример:

координаты начала вектора равны (-3;5), а координаты конца (1;7). Найдите координаты вектора (1-(-3);7-5)=(4;2). Тогда его длина составит d=√(4²+2²)=√20≈4,47 линейных единиц. Тангенс угла между вектором и осью ОХ составит tg α=2/4=0,5. Арктангенс этого угла округленно равен 26,6º.
5
Найдите вектор, который представляет собой сумму двух векторов, координаты которых известны. Для этого сложите соответствующие координаты векторов, которые складываются. Если координаты векторов, которые складываются, равны соответственно(x1;y1) и (x2;y2), то их сумма будет равна вектору с координатами ((x1+x2;y1+y2)). Если нужно найти разность двух векторов, то находите сумму, предварительно умножив координаты вектора, который вычитается на -1.
6
Если известны длины векторов d1 и d2, и угол между ними α, найдите их сумму, используя теорему косинусов. Для этого найдите сумму квадратов длин векторов, а из получившегося числа вычтите удвоенное произведение этих длин, умноженное на косинус угла между ними. Из получившегося числа извлеките корень квадратный. Это и будет длина вектора, являющегося суммой двух данных векторов (d=√(d1²+d2²-d1∙d2∙Cos(α)).

Совет 6: Как найти вектор нормали

Задача поиска вектора нормали прямой на плоскости и плоскости в пространстве слишком проста. Фактически она завершается записью общих уравнений прямой или плоскости. Поскольку кривая на плоскости всего лишь частный случай поверхности в пространстве, то именно о нормалях к поверхности и пойдет речь.
Инструкция
1
Первый способ Этот способ самый простой, но для его понимания требуется знание понятия скалярного поля. Впрочем, и неискушенный в этом вопросе читатель сможет использовать результирующие формулы данного вопроса.
2
Известно, что скалярное поле f задается как f=f(x, y, z), а любая поверхность при этом – это поверхность уровня f(x, y, z)=C (C=const). Кроме того, нормаль поверхности уровня совпадает с градиентом скалярного поля в заданной точке.
3
Градиентом скалярно поля (функции трех переменных) называется вектор g=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}. Так как длина нормали значения не имеет, остается лишь записать ответ. Нормаль к поверхностиf(x, y, z)-C=0 в точкеM0(x0, y0, z0) n=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}.
4
Второй способ Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z)=0. Чтобы можно было в дальнейшем провести аналогии с первым способом, следует учитывать, что производная постоянной равна нулю, и F задается как f(x, y, z)-C=0 (C=const). Если провести сечение этой поверхности произвольной плоскостью, то возникшую пространственную кривую можно считать годографом какой-либо вектор-функции r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Тогда производная вектора r’(t)= ix’(t)+jy’(t)+kz’(t) направлена по касательной в некоторой точке M0(x0, y0, z0) поверхности (см. рис.1).
5
Дабы не возникло путаницы, текущие координаты касательной прямой следует обозначить, например, курсивом (x, y, z). Канонические уравнение касательной прямой, с учетом, что r’(t0) – направляющий вектор, записывается как (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0)/dt)= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).
6
Подставив координаты вектор-функции в уравнение поверхности f(x, y, z)-C=0 и продифференцировав по t вы получите (дf/дx)(дx/дt)+(дf/дy) (дy/дt)+(дf/дz)(дz/дt)=0. Равенство представляет собой скалярное произведение некоторого вектора n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Так как оно равно нулю, то n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и есть искомый вектор нормали. Очевидно, что результаты обоих способов идентичны.
7
Пример (имеет теоретическое значение). Найти вектор нормали к поверхности заданной классическим уравнением функции двух переменных z=z(x, y). Решение. Перепишите это уравнение в форме z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Следуя любому из предложных способов, получается, что n(-дz/дx, -дz/дy, 1) - искомый вектор нормали.
Источники:
  • Литература. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для ВТУЗов. Т.1.-М.: Наука, 1978.-456 с.

Совет 7: Как разложить вектор

Любой вектор можно разложить на сумму нескольких векторов, причем таких вариантов бесконечное множество. Задание разложить вектор может быть дано как в геометрическом виде, так и виде формул, от этого и будет зависеть решение задачи.
Вам понадобится
  • - исходный вектор;
  • - вектора, по которым требуется его разложить.
Инструкция
1
Если необходимо разложить вектор на чертеже, выберите направление для слагаемых. Для удобства расчетов чаще всего используется разложение на вектора, параллельные осям координат, но вы можете выбрать абсолютно любое удобное направление.
2
Начертите один из слагаемых векторов; при этом он должен исходить из той же точки, что и исходный (длину вы выбираете сами). Соедините концы исходного и полученного вектора еще одним вектором. Обратите внимание: два полученных вектора в результате должны вас привести в ту же точку, что и исходный (если двигаться по стрелкам).
3
Перенесите полученные вектора в то место, где ими удобно будет воспользоваться, сохраняя при этом направление и длину. Независимо от того, где вектора будут находиться, в сумме они будут равны исходному. Обратите внимание, что если разместить полученные вектора так, чтобы они исходили из той же точки, что и исходный, и пунктиром соединить их концы, получится параллелограмм, причем исходный вектор совпадет с одной из диагоналей.
4
Если вам нужно разложить вектор {х1,х2,х3} по базису, то есть по заданным векторам {р1, р2, р3}, {q1,q2,q3}, {r1,r2,r3}, поступите следующим образом. Подставьте значения координат в формулу х=αр+βq+γr.
5
В результате у вас получится система из трех уравнений р1α+q1β+r1γ=x1, p2α+q2β+r2γ=х2, p3α+q3β+r3γ=х3. Решите эту систему при помощи способа сложений или матриц, найдите коэффициенты α, β, γ. Если задача дана в плоскости, решение будет более простым, так как вместо трех переменных и уравнений вы получите лишь два (они будут иметь вид р1α+q1β=x1, p2α+q2β=х2). Запишите ответ в виде х=αp+βq+γr.
6
Если в результате вы получите бесконечное множество решений, сделайте вывод о том, что векторы p, q, r лежат в одной плоскости с вектором х и разложить его заданным образом однозначно нельзя.
7
Если же решений система не имеет, смело пишите ответ задачи: векторы p, q, r лежат в одной плоскости, а вектор х – в другой, поэтому его нельзя разложить заданным образом.

Совет 8: Как найти уравнение плоскости пирамиды

Возможно, что и существует специальное понятие плоскости пирамиды, но автору оно неизвестно. Поскольку пирамида относится к пространственным многогранникам, плоскости образовать могут лишь грани пирамиды. Именно они и будут рассмотрены.
Инструкция
1
Самое простое задание пирамиды - это представление ее координатами точек вершин. Можно использовать и другие представления, которые без труда переводятся как друг в друга, так и в предложенное. Для простоты рассмотрите треугольную пирамиду. Тогда в пространственном случае понятие «основание» становится весьма условным. Поэтому отличать его от боковых граней не следует. При произвольной пирамиде ее боковые грани все равно треугольники, а для составления уравнения плоскости основания все равно хватит трех точек.
2
Каждая грань треугольной пирамиды полностью определяется тремя точками вершин соответствующего треугольника. Пусть это М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Для нахождения уравнения плоскости, содержащей эту грань, используйте общее уравнение плоскости в виде A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Здесь (x0,y0,z0) – произвольная точка плоскости, в качестве которой используйте одну из трех заданных на данный момент, например М1(x1,y1,z1). Коэффициенты A, B, C образуют координаты вектора нормали к плоскости n={A, B, C}. Чтобы найти нормаль, можно использовать координаты вектора, равного векторному произведению [М1,М2] (см. рис. 1). Их и возьмите равными A, B C соответственно. Осталось найти скалярное произведение векторов (n, M1M) в координатной форме и приравнять его нулю. Здесь М(x,y,z) – произвольная (текущая) точка плоскости.
Как найти <em>уравнение</em> <strong>плоскости</strong> <b>пирамиды</b>
3
Полученный алгоритм построения уравнения плоскости по трем ее точкам можно сделать более удобным для применения. Обратите внимание, что найденная методика предполагает вычисление векторного произведения, а затем скалярного. Это не что иное, как смешанное произведение векторов. В компактной форме оно равно определителю, строки которого состоят из координат векторов М1М={x-x1, y-y1, z-z1}, M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1М3={x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Приравняйте его нулю и получите уравнение плоскости в виде определителя (см. рис. 2). После его раскрытия придете к общему уравнению плоскости.
Как найти <em>уравнение</em> <strong>плоскости</strong> <b>пирамиды</b>
Видео по теме
Источники:
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Поиск
Совет полезен?
Комментарии 1
Пожаловаться
написал(а)
непонятно как получилось -10x + 5y - 15z - 15 = 0, на рисунке ничего нет, про какой определитель идет речь? можно было и расписать раз уж начали
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше