Совет 1: Как найти высоту равнобедренной трапеции

Применение геометрии на практике, особенно в строительстве очевидно. Трапеция одна из наиболее часто встречающихся геометрических фигур, точность расчета элементов которой - залог красоты строящегося объекта.
Вам понадобится
  • калькулятор
Инструкция
1
Трапеция представляет собой четырехугольник, две стороны которого параллельны - основания, а две другие не параллельны – боковые стороны. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной или равнобочной. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований, мы рассмотрим случай, когда диагонали не перпендикулярны.
2
Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD и опишем ее свойства, но лишь те из них, знание которых поможет нам решить поставленную задачу. Из определения равнобедренной трапеции основание AD = a параллельно BC = b, а боковая сторона AB = CD = c из этого следует, что углы при основаниях равны, то есть угол BAQ = CDS = α, таким же образом угол ABC = BCD = β. Обобщив вышесказанное, справедливо утверждать, что треугольник ABQ равен треугольнику SCD, а значит, отрезок AQ = SD = (AD – BC)/2 = (a – b)/2.
3
Если в условии задачи нам даны длины оснований a и b, а также длина боковой стороны с, то высота трапеции h, равная отрезку BQ, находится следующим образом. Рассмотрим треугольник ABQ, так как по определению высота трапеции есть перпендикуляр к основанию, то можно утверждать, что треугольник ABQ прямоугольный. Сторона AQ треугольника ABQ, исходя из свойств равнобедренной трапеции, находится по формуле AQ = (a – b)/2. Теперь зная две стороны AQ и c, по теореме Пифагора находим высоту h. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем эту теорему применительно к нашей задаче: c^2=AQ^2+ h^2. Отсюда следует, что h = √(c^2-AQ^2).
4
Для примера рассмотрим трапецию ABCD, в которой основания AD = a = 10см BC = b = 4см, боковая сторона AB = c = 12см. Найти высоту трапеции h. Находим сторону AQ треугольника ABQ. AQ = (a – b)/2 = (10-4)/2=3см. Далее подставляем значения сторон треугольника в теорему Пифагора. h = √(c^2-AQ^2) = √(12^2-3^2) =√135=11.6см.

Совет 2: Как найти высоту трапеции

Трапецией считается такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Высотой трапеции называется отрезок, проведенный перпендикулярно между двумя параллельными прямыми. В зависимости от исходных данных ее можно вычислить по-разному.
Вам понадобится
  • Знание сторон, оснований, средней линии трапеции, а так же, опционально, ее площадь и/или периметр.
Инструкция
1
Одним из способов вычислить площадь трапеции является произведение высоты и средней линии. Допустим, что имеется равнобедренная трапеция. Тогда высота равнобедренной трапеции с основаниями a и b, площадью S и периметром P будет рассчитана так:

h=2 х S/(P-2 х d). (см. рис 1)
2
Если известна только площадь трапеции и ее основания, то формулу расчета высоты можно вывести из формулы площади трапеции S = 1/2h x (a+b):

h = 2S/(a+b).
3
Допустим, имеется трапеция с теми же данными, что и на рисунке 1. Проведем 2 высоты, получим прямоугольник, у которого 2 меньшие стороны являются катетами прямоугольных треугольников. Обозначим меньший катит за x. Он находится путем деления разницы длин между большим и меньшим основаниями. Тогда по теореме Пифагора квадрат высоты равен сумме квадратов гипотенузы d и катета x. Извлекаем корень из этой суммы и получим высоту h. (рис. 2)
Как найти высоту трапеции
Видео по теме
Источники:
  • как вычислить высоту трапеции

Совет 3: Как найти площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой противолежащие непараллельные стороны равны. Ряд формул позволяют найти площадь трапеции через ее стороны, углы, высоту и.т.д. Для случая равнобедренных трапеций эти формулы могут несколько упрощаться.
Инструкция
1
Четырехугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, называют трапецией. В трапеции определяют основания, стороны, диагонали, высоту, среднюю линию. Зная различные элементы трапеции, можно найти ее площадь.
2
Иногда специальными случаями равнобедренных трапеций считаются прямоугольники и квадраты, но во многих источниках они к трапециям не относятся. Еще одним специальным случаем равнобедренной трапеции считается такая геометрическая фигура с 3 равными сторона. Ее называют трехсторонней трапецией, или триравнобедренной трапецией, или, реже, symtra. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.
3
Трапеция состоит из оснований (параллельные противоположные стороны), боковых сторон (две другие стороны), средней линии (отрезок, соединяющий середины боковых сторон). Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
4
Чтобы трапеция считалась равнобедренной, должно выполняться как минимум одно из следующих условий. Первое: углы при основе трапеции должны быть равны: ∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC. Второе: диагонали трапеции должны быть равны: AC = BD. Третье: если углы между диагоналями и основаниями одинаковы, трапеция считается равнобедренной: ∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC. Четвертое: сумма противоположных углов равна 180°: ∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°. Пятое: если вокруг трапеции можно описать окружность, она считается равнобедренной.
5
Равнобедренная трапеция, как и любая другая геометрическая фигура, обладает рядом неизменных свойств. Первое из них: сумма углов, прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°: ∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°. Второе: если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то ее боковая сторона равна средней линии трапеции: AB = CD = m. Третье: вокруг равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. Четвертое: если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований (средней линии): h=m. Пятое: если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты: SABCD = h2 . Шестое: если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции: h2 = BC • AD. Седьмое: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции: AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC • AD. Восьмое: прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции: HF ┴ BC ┴ AD. Девятое: высота ((CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньшый (PD) - равен полуразности оснований: AP=BC+AD/2, PD=AD-BC/2.
6
Самая распространенная формула для вычисления площади трапеции - S = (a+b)h/2. Для случая равнобедренной трапеции она явным образом не поменяется. Можно лишь отметить, что у равнобедренной трапеции углы при любом из оснований будут равны (DAB = CDA = x). Так как ее боковые стороны тоже равны (AB = CD = с), то и высоту h можно посчитать по формуле h = с*sin(x).

Тогда S = (a+b)*с*sin(x)/2.

Аналогично, площадь трапеции можно записать через среднюю сторону трапеции: S = mh.
7
Рассмотрим частный случай равнобедренной трапеции, когда ее диагонали перпендикулярны. В этом случае, по свойству трапеции, ее высота равна полусумме оснований.

Тогда площадь трапеции можно вычислить по формуле: S = (a+b)^2/4.
8
Рассмотрим также еще одну формулу для определения площади трапеции: S = ((a+b)/2)*sqrt(c^2 - ((b-a)^2+c^2-d^2)/2(b-a))^2), где c и d - боковые стороны трапеции. Тогда в случае равнобедренной трапеции, когда c = d, формула принимает вид: S = ((a+b)/2)*sqrt(c^2-((b-a)^2/2(b-a))^2).
9
Найдите площадь трапеции по формуле S=0,5×(a+b)×h, если известны a и b — длины оснований трапеции, то есть параллельные стороны четырехугольника, и h — высота трапеции (наименьшее расстояние между основаниями). Например, пусть дана трапеция с основаниями a=3 см, b=4 см и высотой h=7 см. Тогда ее площадь будет равна S=0,5×(3+4)×7=24,5 см².
10
Воспользуйтесь следующей формулой для вычисления площади трапеции: S=0,5×AC×BD×sin(β), где AC и BD — диагонали трапеции, а β — угол между этими диагоналями. Например, задана трапеция с диагоналями AC=4 см и BD=6 см и углом β=52°, тогда sin(52°)≈0,79. Подставьте значения в формулу S=0,5×4×6×0,79≈9,5 см².
11
Посчитайте площадь трапеции, когда известны ее m — средняя линия (отрезок, соединяющий середины сторон трапеции) и h — высота. В этом случае площадь будет равна S=m×h. К примеру, пусть у трапеции средняя линия m=10 см, а высота h=4 см. В этом случае получается, что площадь заданной трапеции равна S=10×4=40 см².
12
Вычислите площадь трапеции, в случае когда даны длины ее боковых сторон и оснований по формуле: S=0,5×(a+b)×√(c²−(((b−a)²+c²−d²)÷(2×(b−a)))²), где a и b — основания трапеции, а c и d — ее боковые стороны. Например, пусть дана трапеция с основаниями 40 см и 14 см и боковыми сторонами 17 см и 25 см. По вышеуказанной формуле S=0,5×(40+14)×√(17²−(((14−40)²+17²−25²)÷(2×(14−40)))²)≈423,7 см².
13
Рассчитайте площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, то есть трапеции у которой боковые стороны равны, если в нее вписана окружность по формуле: S=(4×r²)÷sin(α), где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании трапеции. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Например, пусть в трапецию вписана окружность радиусом r=3 см, а угол при основании α=30°, тогда sin(30°)=0,5. Подставьте значения в формулу: S=(4×3²)÷0,5=72 см².

Совет 4: Как найти диагональ равнобедренной трапеции

Трапеция, в которой длины боковых сторон равны, а основания параллельны, называется равнобедренной или равнобокой. Обе диагонали в такой геометрической фигуре имеют одинаковую длину, которую в зависимости от известных параметров трапеции можно рассчитать разными способами.
Инструкция
1
Если известны длины оснований равнобедренной трапеции (A и B) и длина ее боковой стороны (C), то для определения длин диагоналей (D) можно воспользоваться тем, что сумма квадратов длин всех сторон равна сумме квадратов длин диагоналей. Это свойство вытекает из того факта, что каждая из диагоналей трапеции является гипотенузой треугольника, катетами в котором служат боковая сторона и основание. А согласно теореме Пифагора сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Так как боковые стороны в равнобедренной трапеции равны, как и ее диагонали, то это свойство можно записать в таком виде: A² + B² + 2C² = 2D². Из этой формулы вытекает, что длина диагонали равна квадратному корню из половины суммы квадратов длин оснований, сложенной с квадратом длины боковой стороны: D = √((A² + B²)/2 + C²).
2
Если длины сторон не известны, но есть длина средней линии (L) и высота (H) равнобедренной трапеции, то длину диагонали (D) тоже вычислить несложно. Так как длина средней линии равна полусумме оснований трапеции, то это дает возможность найти длину отрезка между точкой на большем основании, в которую опущена высота, и вершиной, прилегающей к этому основанию. В равнобедренной трапеции длина этого отрезка будет совпадать с длиной средней линии. Так как диагональ замыкает этот отрезок и высоту трапеции в прямоугольный треугольник, то вычислить ее длину не составит труда. Например, по той же самой теореме Пифагора она будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и средней линии: D=√(L² + H²).
3
Если известны длины обоих оснований равнобедренной трапеции (A и B) и ее высота (H), то, как и в предыдущем случае, можно вычислить длину отрезка между точкой, опущенной на большую сторону высоты и прилегающей к ней вершиной. Формула из предыдущего шага трансформируется к такому виду: D=√((A + B)²/4 + H²).
Источники:
  • диагональ в равнобедренной трапеции

Совет 5: Как найти боковые стороны равнобедренной трапеции

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны называются основаниями. Их конечные точки соединены отрезками, которые называются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
Вам понадобится
  • - равнобедренная трапеция;
  • - длины оснований трапеции;
  • - высота трапеции;
  • - лист бумаги;
  • - карандаш;
  • - линейка.
Инструкция
1
Постройте трапецию согласно условиям задачи. Вам должны быть даны несколько параметров. Как правило, это оба основания и высота. Но возможны и другие условия — одно из оснований, его наклона к нему боковой стороны и высота. Обозначьте трапецию как АBCD, основания пусть будут a и b, высоту обозначьте как h, а боковые стороны — х. Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны у нее равны.
2

Из вершин B и С проведите высоты к нижнему основанию. Точки пересечения обозначьте как M и N. К вас получилось два прямоугольных треугольника — AМВ и СND. Они равны, поскольку по условиям задачи равны их гипотенузы АВ и CD, а также катеты ВМ и СN. Соответственно, отрезки АМ и DN также равны между собой. Обозначьте их длину как y.

3

Для того, чтобы найти длину суммы этих отрезков, необходимо из длины основания a вычесть длину основания b. 2у=a-b. Соответственно, один такой отрезок будет равен разности оснований, деленной на 2. y=(a-b)/2.

4


Найдите длину боковой стороны трапеции, которая одновременно является и гипотенузой прямоугольного треугольника с известными вам катетами. Вычислите ее по теореме Пифагора. Она будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности оснований, деленной на 2. То есть x=√y2+h2=√(a-b)2/4+h2.

5


Зная высоту и угол наклона боковой стороны к основанию, сделайте те же самые построения. Разность оснований в этом случае вычислять не нужно. Воспользуйтесь теоремой синусов. Гипотенуза равна длине катета, умноженной на синус противолежащего ему угла. В данном случае x=h*sinCDN или x=h*sinBAM.

6


Если вам дан угол наклона боковой стороны трапеции не к нижнему, а к верхнему основанию, найдите нужный угол, исходя из свойства параллельных прямых. Вспомните одно из свойств равнобедренной трапеции, согласно которому углы между одним из оснований и боковыми сторонами равны.

Обратите внимание
Повторите свойства равнобедренной трапеции. Если разделить оба ее основания пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью этой геометрической фигуры.

Если опустить высоту из одной вершины верхнего основания на нижнее, то на этом последнем получатся два отрезка. Например, в данном случае это отрезки АМ и DМ. Один из них равен полусумме оснований а и b, а другой — половине их разности.
Источники:
  • в равнобедренной трапеции основания найти боковые стороны

Совет 6: Как найти среднюю линию равнобедренной трапеции

Трапецией считают четырехугольник, имеющий лишь две параллельные стороны - они называются основаниями этой фигуры. Если при этом длины двух других - боковых - сторон одинаковы, трапеция называется равнобедренной или равнобокой. Линия, которая соединяет середины боковых сторон, называется средней линией трапеции и может быть рассчитана несколькими способами.
Инструкция
1
Если известны длины обоих оснований (А и В), для вычисления длины средней линии (L) используйте основное свойство этого элемента равнобедренной трапеции - она равна полусумме длин оснований: L = ½*(А+В). Например, в трапеции с основаниями, имеющими длины 10см и 20см, средняя линия должна быть равна ½*(10+20) = 15см.
2
Средняя линия (L) вместе с высотой (h) равнобокой трапеции является сомножителем в формуле вычисления площади (S) этой фигуры. Если эти два параметра даны в исходных условиях задачи, для вычисления длины средней линии делите площадь на высоту: L = S/h. Например, при площади в 75 см² равнобедренная трапеция высотой в 15см должна иметь среднюю линию длиной в 75/15 = 5см.
3
При известных периметре (Р) и длине боковой стороны (С) равнобедренной трапеции рассчитать среднюю линию (L) фигуры тоже несложно. Отнимите от периметра две длины боковых сторон, а оставшаяся величина будет суммой длин оснований - поделите ее пополам, и задача будет решена: L = (P-2*С)/2. Например, при периметре, равном 150см, и боковой стороне длиной в 25см длина средней линии должна составить (150-2*25)/2 = 50см.
4
Зная длины периметра (P) и высоты (h), а также величину одного из острых углов (α) равнобедренной трапеции, тоже можно вычислить длину ее средней линии (L). В треугольнике, составленном высотой, боковой стороной и частью основания, один из углов является прямым, а величина другого известна. Это позволит вычислить длину боковой стороны по теореме синусов - разделите высоту на синус известного угла: h/sin(α). Затем подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага и вы получите такое равенство: L = (P-2*h/sin(α))/2 = P/2-h/sin(α). Например, если известный угол имеет величину в 30°, высота равна 10см, а периметр составляет 150см, длина средней линии должна быть рассчитана так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

Совет 7: Как найти основание равнобедренной трапеции

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на двух параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).
Инструкция
1
У равнобедренной (или равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.
2
Трапеция имеет два основания, и чтобы их найти, нужно сначала обозначить фигуру. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом известны все параметры, кроме оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.
3
Для решения задачи об основании трапеции проще всего будет составить систему уравнений, чтобы через взаимосвязанные величины найти нужные основания.
4
Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, чтобы в дальнейшем было удобно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, можно запутаться.
5
Выпишите все формулы, которые пригодятся при решении поставленной задачи, используя известные данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .
6
Вспомните свойство равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсюда следует, что два основания можно связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH или y=x+2AH
7
Найдите катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы уже записали. Пусть он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.
8
Выразите через площадь трапеции неизвестную величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC или y=2*S/h-x.
9
После этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение любой системы уравнений можно найти автоматически в программе MathCAD.
Полезный совет
Старайтесь всегда при решении задач максимально упростить обозначения и формулы. Так решение найдется гораздо быстрее.
Полезный совет
Свойства равнобедренной трапеции.
Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Источники:
  • высоты в трапеции равны
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500