Совет 1: Как находить обратную матрицу

Изучим алгоритм нахождения обратной матрицы двумя основными методами: методом Гаусса и с помощью союзной матрицы.
Как находить обратную матрицу
Вам понадобится
  • - внимательность
  • - знание методики
Инструкция
1
Пусть дана матрица А некоторого размера.

Обратной матрицей матрицы А будет являться матрица B, при умножении которой на исходную матрицу А будет получаться единичная матрица Е. Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Матрица B вычисляется следующим образом:

1. Начиная с самого первого элемента, идём по строчке слева направо, для каждого элемента мысленно вычёркиваем строку и столбец, в которые он входит, вычисляем определитель оставшейся матрицы (значение минора) и записываем его в новую матрицу. НО! Если из исходной матрицы текущий элемент мы берём, последовательно проходя по строчкам, то в новую матрицу записываем их уже в столбик. Это ещё не всё.

2. Знаки полученных элементов, начиная с первого, будут чередовать через один - это грубая формулировка. Если говорить точно, то знак определяется выражением -1 в степени сумм индексов данного элемента, то есть сумма номера строки и столбца, в которых он расположен. Другими словами, знак на противоположный нужно поменять у элементов, имеющих НЕчётную сумму индексов.

3. Перед полученной обратной матрицей B ставится коэффициент 1/(определитель исходной матрицы А).
Как находить обратную матрицу
2
Это лишь один из возможных методов. Также можно воспользоваться методом Гаусса. Он заключается в том, что мы берём исходную матрицу А и единичную матрицу Е. Применяя преобразования строк или столбцов (можем вычитать или складывать соответствующие столбцы или строки или умножать их на число) к им обеим одновременно приведём А к Е. Тогда вторая получившаяся матрица будет обратной, то есть B.
Проверить правильность ваших вычислений очень просто: перемножьте исходную матрицу А и обратную ей матрицу B. Если получится единичная матрица Е, то все действия сделаны верно.
Как находить обратную матрицу

Совет 2 : Как сделать обратную матрицу

Математика, безусловно, является «королевой» наук. Не каждый человек способен познать всю глубину ее сущности. Математика объединяет в себя множество разделов, и каждый является своеобразным звеном математической цепи. Таким же основным компонентом этой цепи, как и все другие, являются матрицы.
Как сделать обратную матрицу
Инструкция
1
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, где место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строка, из одного столбца – вектор-столбец. Если число столбцов матрицы равняется числу строк, то мы имеем дело с квадратной матрицей. Также, есть частный случай, когда у квадратной матрицы все элементы равны нулю, а элементы, расположенные на главной диагонали - единице. Такая матрица называется единичной (Е). Матрица, у которой под и над главной диагональю нули, называется диагональной.
2
Матрица сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операция является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, проведение операций, например, сложения или вычитания, возможно только при условии, когда число строк и столбцов одной матрицы будут соответственно равны числу строк и столбцов другой.
3
Чтобы матрица имела обратную, она должна удовлетворять условию: А*Х=Х*А=Е, где А – квадратная матрица, Х – обратная ей. Нахождение обратной матрицы сводится к 5 пунктам:
1) определитель. Он не должен равняться нулю. Определитель – это число, вычисленное путем суммы и разности произведений элементов матрицы.
2) Найдите алгебраические дополнения, или, по-другому, миноры. Они рассчитываются путем вычисления определителя дополнительной матрицы, полученной из основной при помощи вычеркивания стрики и столбца одного и того же элемента.
3) Составьте матрицу из алгебраических дополнений. Причем, каждый минор должен соответствовать своему расположению в строке и столбце.
4) Транспонируйте ее. Это означает замену строк матрицы на столбцы.
5) Получившуюся матрицу умножьте на число обратное определителю.
Получится обратная матрица.

Совет 3 : Как получить обратную матрицу

Для каждой невырожденной (с определителем |A|, не равном нулю) квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица, обозначаемая А^(-1), такая, что (А^(-1))А=А, А^(-1)=Е.
Как получить обратную матрицу
Инструкция
1
Е называется единичной матрицей. Она состоит из единиц на главной диагонали – остальное нули. Вычисляется А^(-1) следующим образом (см. рис.1.).Здесь А(ij) – алгебраическое дополнение элемента а(ij) определителя матрицы А. А(ij) получают удалением из |A| строки и столбца, на пересечении которых лежит а(ij), и умножением вновь полученного определителя на (-1)^(i+j).Фактически присоединенная матрица – это транспонированная матрица из алгебраических дополнений элементов А. Транспонирование – это замена столбцов матрицы на строки (и наоборот). Tранспонированная матрица обозначается А^T.
2
Самыми простыми являются матрицы размера 2х2. Здесь любое алгебраическое дополнение - просто противоположный по диагонали элемент, взятый со знаком «+», если сумма индексов его номера четна, и со знаком «-», если нечетна. Таким образом, чтобы записать обратную матрицу, на главной диагонали исходной матрицы, требуется поменять местами ее элементы, а на побочной диагонали - оставить их на месте, но изменить знак, а затем все поделить на |A|.
3
Пример 1. Найти обратную матрицу A^(-1), представленную на рисунке 2.
4
Определитель этой матрицы не равен нулю (|A|=6) (по правилу Саррюса, оно же правило треугольников). Это существенно, так как А не должна быть вырожденной. Далее находим алгебраические дополнения матрицы А и присоединенную матрицу для А (см. рис. 3).
5
При большей размерности процесс вычисления обратной матрицы становится слишком громоздким. Поэтому в таких случаях следует прибегать к помощи специализированных компьютерных программ.

Совет 4 : Как найти матрицу, обратную данной

Обратная матрица обозначатся А^(-1). Она существует для каждой невырожденной квадратной матрицы А (определитель |A| не равен нулю). Определяющее равенство – (А^(-1))А=А А^(-1)=Е, где Е - единичная матрица.
Как найти матрицу, обратную данной
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Метод Гаусса заключается в следующем. Первоначально записывается данная по условию матрица А. Справа к ней добавляется расширение, состоящее из единичной матрицы. Далее выполняется последовательное эквивалентное преобразование строк А. Действие осуществляется до тех пор, пока слева не образуется единичная матрица. Матрица, появившаяся на месте расширенной матрицы (справа) и будет являться А^(-1). При этом стоит придерживаться следующей стратегии: сперва необходимо добиться нулей снизу главной диагонали, а затем сверху.Данный алгоритм прост при написании, но на практике к нему необходимо привыкнуть. Однако в последствие вы сможете выполнять большую часть действий в уме. Поэтому в примере все действия будут выполняться крайне подробно (вплоть до отдельного выписывания строк).
2
обратную данной" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> Пример. Дана матрица (см. рис.1). Для наглядности в искомую матрицу сразу же добавлено ее расширение. Найти матрицу, обратную данной. Решение. Все элементы первой строки умножьте на 2. Получите: (2 0 -6 2 0 0). Полученный результат необходимо вычесть из всех соответствующих элементов второй строки. В итоге у вас должны быть следующие значения: (0 3 6 -2 1 0). Поделив данную строку на 3, получите (0 1 2 -2/3 1/3 0). Запишите эти значения в новой матрице во вторую строку.
3
Целью этих операций является получение «0» на пересечении второй строки и первого столбца. Таким же образом следует получить «0» на пересечении третей строки и первого столбца, но там уже «0», поэтому переходите к следующему этапу.Необходимо сделать «0» на пересечении третей строки и второго столбца. Для этого разделите вторую строку матрицы на «2», а затем вычтете полученное значение из элементов третей строки. Полученное значение имеет вид (0 1 2 -2/3 1/3 0 ) – это новая вторая строка.
4
Теперь следует вычесть вторую строку из третьей, а полученные значения разделить на «2». В итоге у вас должна получиться следующая строка: (0 0 1 1/3 -1/6 1). В итоге проведенных преобразований, промежуточная матрица будет иметь вид (см.рис.2).Следующий этап – преобразование «2», находящейся на пересечении второй строки и третьего столбца, в «0». Для этого умножьте третью строку на «2», а полученные значение вычитайте из второй строки. В результате новая вторая строка будет содержать следующие элементы:(0 1 0 -4/3 2/3 -1).
5
Теперь умножьте третью строку на «3» и прибавьте полученные значения к элементам первой строки. В итоге получите новую первую строку (1 0 0 2 -1/2 3/2). При этом искомая обратная матрица находится на месте расширения справа (рис.3).

Совет 5 : Как считать обратную матрицу

Матрица В считается обратной для матрицы А, если при их умножении образуется единичная матрица Е. Понятие «обратной матрицы» существует только для квадратной матрицы, т.е. матрицы «два на два», «три на три» и т.д. Обратная матрица обозначается надстрочным индексом «-1».
Как считать обратную матрицу
Инструкция
1
Для того чтобы найти обратную матрицу, воспользуйтесь формулой:
А^(-1) = 1/|А| х А^т, где
|А| - определитель матрицы А,
А^т – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.
2
Прежде чем приступить к нахождению обратной матрицы, вычислите определитель. Для матрицы «два на два» определитель рассчитывается следующим образом: |А| = а11а22-а12а21. Определитель для любой квадратной матрицы можно определить по формуле: |А| = Σ(-1)^(1+j) х а1j х Мj, где Мj – дополнительный минор к элементу а1j. Например, для матрицы «два на два» с элементами по первой строке а11=1, а12=2, по второй строке а21=3, а22=4 будет равен |А| = 1х4-2х3 = -2. Учтите, что если определитель заданной матрицы равен нулю, то обратной матрицы для нее не существует.
3
Затем найдите матрицу миноров. Для этого мысленно вычеркните столбец и строку, в которой находится рассматриваемый элемент. Оставшееся число будет являться минором данного элемента, его следует записать в матрицу миноров. В рассматриваемом примере минором для элемента а11=1 будет М11=4, для а12=2 – М12=3, для а21=3 – М21=2, для а22=4 – М22=1.
4
Далее найдите матрицу алгебраических дополнений. Для этого поменяйте знак и элементов, находящихся по диагонали: а12 и а 21. Таким образом, элементы матрицы будут равны: а11=4, а12=-3, а21=-2, а22=1.
5
После этого найдите транспонированную матрицу алгебраических дополнений А^т. Для этого строки матрицы алгебраических дополнений запишите в столбцы транспонированной матрицы. В рассматриваемом примере транспонированная матрица будет иметь следующие элементы: а11=4, а12=-2, а21=-3,а22=1.
6
Затем подставьте полученные значения в исходную формулу. Обратная матрица А^(-1) будет равна произведению -1/2 на элементы а11=4, а12=-2, а21=-3,а22=1. Иными словами элементы обратной матрицы будут равны: а11=-2, а12=1, а21=1,5, а22=-0,5.

Совет 6 : Как найти алгебраические дополнения

Алгебраическое дополнение – элемент матричной или линейной алгебры, одно из понятий высшей математики наряду с определителем, минором и обратной матрицей. Однако несмотря на кажущуюся сложность, найти алгебраические дополнения нетрудно.
Как найти алгебраические дополнения
Инструкция
1
Матричная алгебра, как раздел математики, имеет большое значение для записи математических моделей в более компактной форме. Например, понятие определителя квадратной матрицы напрямую связано с нахождением решения систем линейных уравнений, которые используются во множестве прикладных задач, в том числе по экономике.
2
Алгоритм нахождения алгебраических дополнений матрицы тесно связан с понятиями минора и определителя матрицы. Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле:∆ = a11·a22 – a12·a21.
3
Минор элемента матрицы порядка n - это определитель матрицы порядка (n-1), который получается путем удаления строки и столбца, соответствующих позиции этого элемента. Например, минор элемента матрицы, стоящего во второй строке, третьем столбце:M23 = a11·a32 – a12·a31.
4
Алгебраическое дополнение элемента матрицы – это минор элемента со знаком, который находится в прямой зависимости от того, какую позицию элемент занимает в матрице. Иными словами, алгебраическое дополнение равно минору, если сумма номера строки и столбца элемента – четное число, и противоположно ему по знаку, когда этого число – нечетное:Aij = (-1)^(i+j)·Mij.
5
Пример.Найдите алгебраические дополнения для всех элементов заданной матрицы.
6
Решение.Используйте приведенную формулу для вычисления алгебраических дополнений. Будьте внимательны при определении знака и записи определителей матрицы:A11 = M11 = a22·a33 - a23·a32 = (0 - 10) = -10;A12 = -M12 = -(a21·a33 - a23·a31) = -(3 - 8) = 5;A13 = M13 = a21·a32 - a22·a31 = (5 - 0) = 5;
7
A21 = -M21 = -(a12·a33 - a13·a32) = -(6 + 15) = -21;A22 = M22 = a11·a33 - a13·a31 = (3 + 12) = 15;A23 = -M23 = -(a11·a32 - a12·a31) = -(5 - 8) = 3;
8
A31 = M31 = a12·a23 - a13·a22 = (4 + 0) = 4;A32 = -M32 = -(a11·a23 - a13·a21) = -(2 + 3) = -5;A33 = M33 = a11·a22 - a12·a21 = (0 - 2) = -2.

Совет 7 : Как найти алгебраические дополнения матрицы

Алгебраические дополнения – это одно из понятий матричной алгебры, применяемое к элементам матрицы. Нахождение алгебраических дополнений является одним из действий алгоритма определения обратной матрицы, а также операции матричного деления.
Как найти алгебраические дополнения матрицы
Инструкция
1
Матричная алгебра является не только важнейшим разделом высшей математики, но и совокупностью методов решения различных прикладных задач путем составления линейных систем уравнений. Матрицы применяются в экономической теории и в построении математических моделей, например, в линейном программировании.
2
Линейная алгебра описывает и изучает множество операций над матрицами, включая суммирование, умножение и деление. Последнее действие условно, она фактически является умножением на матрицу, обратную ко второй. Тут-то и проходят на помощь алгебраические дополнения элементов матрицы.
3
Понятие алгебраического дополнения напрямую вытекает из двух других фундаментальных определений матричной теории. Это определитель и минор. Определителем квадратной матрицы называется число, которое получается по следующей формуле исходя из значений элементов:∆ = a11•a22 – a12•a21.
4
Минор матрицы – это ее определитель, порядок которого на единицу меньше. Минор какого-либо элемента получается путем удаления из матрицы строки и столбца, соответствующих номерам позиции элемента. Т.е. минор матрицы M13 будет равнозначен определителю, полученному после вычеркивания первой строки и третьего столбца:M13 = a21•a32 – a22•a31.
5
Чтобы найти алгебраические дополнения матрицы, необходимо определить соответствующие миноры ее элементов с определенным знаком. Знак зависит от того, в какой позиции стоит элемент. Если сумма номеров строки и столбца – четное число, то алгебраическое дополнение будет положительным числом, если нечетное – отрицательным. Т.е.:Aij = (-1)^(i+j)•Mij.
6
Пример.Вычислите алгебраические дополнения.
7
Решение:A11 = 12 - 2 = 10;A12 = -(27 + 12) = -39;A13 = 9 + 24 =33;A21 = -(0 - 8) = 8;A22 = 15 + 48 = 63;A23 = -(5 - 0) = -5;A31 = 0 - 32 = -32;A32 = -(10 - 72) = 62;A33 = 20 - 0 = 20.
Видео по теме
Источники:
  • матрица алгебраических дополнений

Совет 8 : Как найти расширенную матрицу

Матрицей называют таблицу, состоящую из определенных значений и имеющую размерность в n столбцов и m строк. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большого порядка может решаться с помощью связанных с ней матриц - матрицы системы и расширенной матрицы. Первая представляет собой массив А коэффициентов системы, стоящих при неизвестных переменных. При добавлении к данному массиву столбца-матрицы В свободных членов СЛАУ получается расширенная матрица (А|В). Построение расширенной матрицы является одним из этапов в решении произвольной системы уравнений.
Как найти расширенную матрицу
Инструкция
1
В общем виде систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом подстановки, но для СЛАУ большой размерности такое вычисление весьма трудоемко. И чаще в этом случае используют связанные матрицы, в том числе и расширенную.
2
Запишите заданную систему линейных уравнений. Проведите ее преобразование, упорядочив множители в уравнениях таким образом, чтобы одинаковые неизвестные переменные располагались в системе строго друг под другом. Свободные коэффициенты без неизвестных перенесите в другую часть уравнений. При перестановке слагаемых и переносе учитывайте их знак.
Как найти расширенную <strong>матрицу</strong>
3
Определите матрицу системы. Для этого отдельно выпишите коэффициенты, стоящие при искомых переменных СЛАУ. Выписывать нужно в том порядке, как они расположены в системе, т.е. из первого уравнения первый коэффициент поставьте на пересечении первой строки и первого столбца матрицы. Порядок строк новой матрицы соответствует порядку уравнений системы. Если одна из неизвестных системы в данном уравнении отсутствует, значит, ее коэффициент здесь равен нулю – внесите ноль в матрицу на соответствующую позицию строки. Получаемая матрица системы должна быть квадратной (m=n).
Как найти расширенную <strong>матрицу</strong>
4
Найдите расширенную матрицу системы. Свободные коэффициенты в уравнениях системы за знаком равенства выпишите в отдельный столбец, сохраняя тот же порядок строк. В квадратной матрице системы справа от всех коэффициентов поставьте вертикальную черту. За чертой допишите полученный столбец свободных членов. Это и будет расширенная матрица исходной СЛАУ размерностью (m, n+1), где m – число строк, n – число столбцов.
Как найти расширенную <strong>матрицу</strong>
Обратите внимание
Именно по расширенной матрице согласно методу Гаусса вычисляются корни системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса является одним из наиболее активно используемых способов решения СЛАУ большого порядка.
Источники:
  • расширенная матрица системы
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500