Совет 1: Как найти гипотенузу если известен катет и угол

В прямоугольном треугольнике катетом называют сторону, смежную с прямым углом, а гипотенузой - сторону, противолежащую прямому углу. Все стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, и именно эти неизменные соотношения помогут нам найти гипотенузу любого прямоугольного треугольника по известным катету и углу.
Вам понадобится
  • Бумага, ручка, таблица синусов (есть в интернете)
Инструкция
1
Обозначим стороны прямоугольного треугольника малыми буквами а, b и c, а противолежащие им углы, соответственно, А, И и С. Предположим, известны катет а и противолежащий ему угол А.
2
Тогда найдем синус угла А. Для этого в таблице синусов найдем значение, соответствующее заданному углу. Например, если угол А равен 28 градусам, то его синус равен 0.4695.
3
Зная катет а и синус угла А, найдем гипотенузу, разделив катет а на синус угла А. (c = a/sin А). Смысл этого действия станет понятен, если вспомнить, что синус угла А - это отношение противолежащего катета (а) к гипотенузе (с). То есть sin А=a/с, а из этого уравнения легко выводится формула, которой мы только что воспользовались.
4
Если известны катет а и смежный угол В, то, прежде, чем приступать к выполнению шагов 2 и 3, найдем угол А. Для этого из 90 (в прямоугольном треугольнике сумма острых углов составляет 90 градусов) вычтем значение известного угла. То есть, если известный нам угол имеет градусную меру 62, то 90 - 62 = 28, то есть угол А равен 28 градусам. Вычислив угол А, просто повторяем действия, описанные в шагах 2 и 3, и получаем длину гипотенузы с.

Совет 2: Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют сторону в прямоугольном треугольнике, лежащую напротив прямого угла. Гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Остальные стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.
Вам понадобится
  • Базовые знания геометрии.
Инструкция
1
Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, чтобы найти квадрат длины гипотенузы, необходимо возвести в квадрат длины катетов и сложить.
2
Длина гипотенузы равна корню квадратному из квадрата ее длины. Чтобы найти ее длину, извлечем квадратный корень из числа, равного сумме квадратов катетов. Полученное число и будет длиной гипотенузы.
Видео по теме
Обратите внимание
Длина гипотенузы величина положительная, поэтому при извлечении корня, подкоренное выражение должно быть больше нуля.
Полезный совет
В равнобедренном прямоугольном треугольнике длину гипотенузы можно вычислить умножив катет на корень из двух.
Источники:
  • как вычислить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Совет 3: Как найти гипотенузу по катету и углам

Гипотенузой называется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится напротив угла в 90 градусов. Для того, чтобы рассчитать его длину, достаточно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.
Инструкция
1
При известном катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:

h = C1(или C2)/sinα;

h = С1(или С2)/cosα.

Пример: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пусть угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Надо найти длину гипотенузы AB. Для этого можно воспользоваться любым из предложенных выше способов:

AB = BC/cos60 = 8 см.

AB = BC/sin30 = 8 см.

Совет 4: Как найти угол, если известны стороны

Многоугольником называется фигура на плоскости, состоящая из трёх и более сторон, которые пересекаются в трёх и более точках. Многоугольник называется выпуклым, если каждый его угол меньше 180º. Обычно, в качестве многоугольников рассматривают именно выпуклые многоугольники. Для нахождения углов многоугольника нужно иметь минимально необходимый набор исходных данных. Пусть для многоугольника известны длины всех его сторон.
Инструкция
1
Многоугольник называется правильным, если его стороны равны между собой, а так же все углы равны между собой.
Если заранее известно, что многоугольник является правильным, то углы можно высчитать по формуле
?? = 180? * (n - 2)/n, где n – количество сторон многоугольника.
Например, в случае правильного восьмиугольника
?? = 180? * (8 - 2)/8 = 135?
Как найти угол, если известны <b>стороны</b>
2
Для неправильного треугольника с известными сторонами, углы можно рассчитать по теореме косинусов, например, для угла ?? в приведённом рисунке формула примет вид
cos?? = (b? + c? - a?) / 2 • b • c
Как найти угол, если известны <b>стороны</b>
3
Для нахождения углов неправильных многоугольников с количеством сторон больше 3 наличие длин сторон не является достаточным условием.

Совет 5: Как рассчитать катет

Катетами называют две короткие стороны прямоугольного треугольника, составляющие ту его вершину, величина которой равна 90°. Третью сторону в таком треугольнике называют гипотенузой. Все эти стороны и углы треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые позволяют вычислить длину катета, если известны несколько других параметров.
Инструкция
1
Используйте теорему Пифагора для вычисления длины катета (A), если известна длина двух других сторон (B и C) прямоугольного треугольника. Эта теорема утверждает, что сумма возведенных в квадрат длин катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого вытекает, что длина каждого из катетов равна квадратному корню из разности квадратов длин гипотенузы и второго катета: A=√(C²-B²).
2
Воспользуйтесь определением прямой тригонометрической функции «синус» для острого угла, если известна величина угла (α), лежащего напротив вычисляемого катета, и длина гипотенузы (C). Это определение утверждает, что синус этого известного угла равен отношению длины искомого катета к длине гипотенузы. Это значит, что длина искомого катета равна произведению длины гипотенузы на синус известного угла: A=C∗sin(α). Для этих же известных величин можно использовать и определение функции косеканс и рассчитать нужную длину, разделив длину гипотенузы на косеканс известного угла A=C/cosec(α).
3
Задействуйте определение прямой тригонометрической функции косинус, если кроме длины гипотенузы (C) известна и величина острого угла (β), прилегающего к искомому катету. Косинус этого угла определяется как соотношение длин искомого катета и гипотенузы, а из этого можно сделать вывод, что длина катета равна произведению длины гипотенузы на косинус известного угла: A=C∗cos(β). Можно воспользоваться определением функции секанс и вычислить нужное значение, разделив длину гипотенузы на секанс известного угла A=C/sec(β).
4
Выведите нужную формулу из аналогичного определения для производной тригонометрической функции тангенс, если кроме величины острого угла (α), лежащего напротив искомого катета (A), известна длина второго катета (B). Тангенсом противолежащего искомому катету угла называют отношение длины этого катета к длине второго катета. Значит, искомая величина будет равна произведению длины известного катета на тангенс известного угла: A=B∗tg(α). Из этих же известных величин можно вывести и другую формулу, если воспользоваться определением функции котангенс. В этом случае для вычисления длины катета надо будет найти соотношение длины известного катета к котангенсу известного угла: A=B/ctg(α).
Видео по теме

Совет 6: Что такое катет

Слово «катет» пришло в русский язык из греческого. В точном переводе оно означает отвес, то есть перпендикуляр к поверхности земли. В математике катетами называются стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника. Противолежащая этому углу сторона называется гипотенузой. Термин «катет» применяется также в архитектуре и технологии сварочных работ.
Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Обозначьте его катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Все стороны и углы прямоугольного треугольника связаны между собой определенными отношениями. Отношение катета, противолежащего одному из острых углов, к гипотенузе называется синусом данного угла. В данном треугольнике sinCAB=a/c. Косинус — это отношение к гипотенузе прилежащего катета, то есть cosCAB=b/c. Обратные отношения называются секансом и косекансом.

Секанс данного угла получается при делении гипотенузы на прилежащий катет, то есть secCAB=c/b. Получается величина, обратная косинусу, то есть выразить ее можно по формуле secCAB=1/cosSAB.
Косеканс равен частному от деления гипотенузы на противолежащий катет и это величина, обратная синусу. Она может быть рассчитана по формуле cosecCAB=1/sinCAB

Оба катета связаны между собой тангенсом и котангенсом. В данном случае тангенсом будет отношение стороны a к стороне b, то есть противолежащего катета к прилежащему. Это отношение может быть выражено формулой tgCAB=a/b. Соответственно, обратным отношением будет котангенс: ctgCAB=b/a.

Соотношение между размерами гипотенузы и обоих катетов определил еще древнегреческий математик Пифагор. Теоремой, названной его именем, люди пользуются до сих пор. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть с2=a2+b2. Соответственно, каждый катет будет равняться квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и другого катета. Эту формулу можно записать как b=√(с2-а2).

Длину катета можно выразить и через известные вам соотношения. Согласно теоремам синусов и косинусов, катет равен произведению гипотенузы на одну из этих функций. Можно его выразить и через тангенс или котангенс. Катет а можно найти, например, по формуле a = b*tan CAB. Точно таким же образом, в зависимости от заданных тангенса или котангенса, определяется и второй катет.

В архитектуре также используется термин «катет». Он применяется по отношению к ионической капители и обозначает отвес через середину ее задка. То есть и в этом случае этим термином обозначается перпендикуляр к заданной линии.

В технологии сварочных работ есть понятие «катет углового шва». Как и в других случаях, это самое короткое расстояние. Здесь речь идет о промежутке между одной из свариваемых деталей до границы шва, находящегося на поверхности другой детали.
Видео по теме
Источники:
  • что такое катет и гипотенуза в 2017

Совет 7: Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, можно вычислять другие. Для этого используются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.
Инструкция
1
Из самого названия прямоугольного треугольника понятно, что один из его углов является прямым. Независимо от того, является прямоугольный треугольник равнобедренным или нет, в нем всегда имеется один угол, равный 90 градусам. Если дан прямоугольный треугольник, являющийся одновременно и равнобедренным, то, исходя из того, что в фигуре имеется прямой угол, найдите два угла при его основании. Эти углы равны между собой, поэтому каждый из них имеет значение, равное:

α=180°- 90°/2=45°
2
Кроме рассмотренного выше, возможен также другой случай, когда треугольник является прямоугольным, но не является равнобедренным. Во многих задачах угол треугольника равен 30°, а другой 60°, поскольку сумма всех углов в треугольнике должна быть равной 180°. Если дана гипотенуза прямоугольного треугольника и его катет, то угол можно найти из соответствия этих двух сторон:

sin α=a/c, где a - катет, противолежащий к гипотенузе треугольника, с - гипотенуза треугольника

Соответственно, α=arcsin(a/c)

Также угол можно найти и по формуле нахождения косинуса:

cos α=b/c, где b - прилежащий катет к гипотенузе треугольника
3
Если известны только два катета, то угол α можно найти по формуле тангенса. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tg α=a/b

Из этого следует, что α=arctg(a/b)

Когда даны прямой угол и один из углов, найденных вышеуказанным способом, второй находится следующим образом:

ß=180°-(90°+α)
Источники:
  • измерить угол треугольника

Совет 8: Как вычислить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Если один из углов в треугольнике равен 90°, значит, две прилегающие к нему стороны можно называть катетами, а сам треугольник - прямоугольным. Третью сторону в такой фигуре называют гипотенузой, и с ее длиной связан самый, пожалуй, известный на нашей планете математический постулат - теорема Пифагора. Однако для вычисления длины этой стороны можно использовать не только ее.
Инструкция
1
Теорему Пифагора используйте для нахождения длины гипотенузы (с) треугольника с известными величинами обоих катетов (a и b). Вам нужно возвести их размеры в квадрат и сложить, а из получившегося результата извлеките квадратный корень: c = √(a²+b²).
2
Если кроме размеров обоих катетов (a и b) в условиях дана высота (h), опущенная на гипотенузу (c), необходимость в вычислении степеней и корней отпадет. Перемножьте длины коротких сторон и разделите результат на высоту: c = a*b/h.
3
При известных величинах углов в вершинах прямоугольного треугольника, примыкающих к гипотенузе, и длине одного из катетов (a), воспользуйтесь определениями тригонометрических функций - синуса и косинуса. Выбор одной из них зависит от взаимного расположения известного катета и задействованного в расчетах угла. Если катет лежит напротив угла (α), исходите из определения синуса - длина гипотенузы (c) должна быть равна произведению длины этого катета на синус противолежащего угла: c = a*sin(α). Если же задействован угол (β), примыкающий к известному катету, используйте определение косинуса - умножайте длину стороны на косинус прилежащего к ней угла: c = a*cos(β).
4
Знание радиуса (R) описанной около прямоугольного треугольника окружности делает вычисление длины гипотенузы (c) очень простой задачей - просто увеличьте эту величину вдвое: c = 2*R.
5
Медиана по определению делит пополам сторону, на которую она опущена. Как следует из предыдущего шага, половина гипотенузы равна радиусу описанной окружности. Поскольку вершина, из которой на гипотенузу может быть опущена медиана, тоже обязана лежать на описанной окружности, длина этого отрезка равна радиусу. Значит, если длина медианы (f), опущенной из прямого угла, известна, для вычисления размера гипотенузы (c) можно использовать формулу, аналогичную предыдущей: c = 2*f.
Источники:
  • формула длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Совет 9: Как найти синус, зная угол

Одной из фундаментальных основ точных наук является понятие о тригонометрических функциях. Они определяют простые отношения между сторонами прямоугольного треугольника. К семейству данных функций относится синус. Найти его, зная угол, можно большим количеством способов, включающих экспериментальные, вычислительные методы, а также использование справочной информации.
Вам понадобится
  • - калькулятор;
  • - компьютер;
  • - электронные таблицы;
  • - таблицы брадиса;
  • - бумага;
  • - карандаш.
Инструкция
1
Используйте калькулятор с функцией вычисления синуса для получения нужных значений на основании знания угла. Подобный функционал сегодня имеют даже самые простые устройства. При этом вычисления производятся с очень высокой степенью точности (как правило, до восьми и более знаков после запятой).
2
Примените программное обеспечение, представляющее собой среду для работы с электронными таблицами, запущенное на персональном компьютере. Примерами подобных приложений являются Microsoft Office Excel и OpenOffice.org Calc. Введите в любую ячейку формулу, состоящую из вызова функции вычисления синуса с нужным аргументом. Нажмите Enter. В ячейке отобразится искомая величина. Преимуществом электронных таблиц является возможность быстрого расчета значений функций для большого набора аргументов.
3
Узнайте приближенное значение синуса угла из таблиц Брадиса, если они имеются в наличии. Их недостатком является точность значений, ограниченная четырьмя знаками после запятой.
4
Найдите приближенное значение синуса угла, совершив геометрические построения. На листе бумаги вычертите отрезок. При помощи транспортира отложите от него угол, синус которого необходимо найти. Начертите еще один отрезок, пересекающий первый в некоторой точке. Перпендикулярно первому же отрезку проведите прямую линию, пересекающую два уже существующих отрезка. Получится прямоугольный треугольник. Измерьте длину его гипотенузы и катета, противолежащего углу, построенному при помощи транспортира. Разделите второе значение на первое. Это и будет искомая величина.
5
Рассчитайте синус угла, используя разложение в ряд Тейлора. Если значение угла представлено в градусах, переведите его в радианы. Используйте формулу вида: sin(х) = х - (х^3)/3! + (х^5)/5! - (х^7)/7! + (х^9)/9! - ... Для повышения скорости расчетов записывайте текущее значение числителя и знаменателя последнего члена ряда, производя вычисление следующего значения на основе предыдущего. Увеличивайте длину ряда для получения более точной величины.
Видео по теме
Полезный совет
Если в прямоугольном треугольнике есть острый угол в 30 градусов, то напротив него лежит катет, длина которого в 2 раза меньше длины гипотенузы.
Источники:
  • катет по гипотенузе и углу
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500