Совет 1: Как найти площадь тетраэдра

Тетраэдром в стереометрии называется многогранник, который состоит из четырёх треугольных граней. Тетраэдр имеет 6 рёбер и по 4 грани и вершины. Если у тетраэдра все грани являются правильными треугольниками, то и сам тетраэдр называется правильным. Площадь полной поверхности любого многогранника, в том числе и тетраэдра можно рассчитать, зная площади его граней.
Как найти площадь тетраэдра
Инструкция
1
Чтобы найти площадь полной поверхности тетраэдра, необходимо вычислить площадь треугольника составляющего его грань.

Если треугольник равносторонний, то его площадь равна

S = √3 * 4 / a², где a – ребро тетраэдра,

тогда площадь поверхности тетраэдра находится по формуле

S = √3 * a².
Как найти площадь тетраэдра
2
В случае, если тетраэдр является прямоугольным, т.е. все плоские углы при одной из его вершин являются прямыми, то площади трёх его граней являющихся прямоугольными треугольниками можно рассчитать по формуле

S = a * b *1/2,

S = a * c *1/2,

S = b * c *1/2,

площадь третьей грани можно рассчитать по одной из общих формул для треугольников, например по формуле Герона

S = √(p * (p - d) * (p - e) * (p - f)), где p = (d + e + f)/2 – полупериметр треугольника.
Как найти площадь тетраэдра
3
В общем случае, площадь любого тетраэдра можно рассчитать, используя формулу Герона для вычисления площадей каждой его грани.
Источники:
  • площадь поверхности тетраэдра
  • Найдите площадь сечения тетраэдра биссекторной плоскостью

Совет 2 : Как построить тетраэдр

Тетраэдр – это одна разновидностей многогранника, он состоит из четырёх граней, являющихся треугольниками, в каждой вершине тетраэдра сходятся по три грани. Тетраэдр называется правильным, если все его грани являются правильными треугольниками, все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.
Как построить тетраэдр
Инструкция
1
Для получения правильного тетраэдра необходимо построить куб – правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом.
Куб
2
В построенном квадрате необходимо взять одну из его вершин, например, вершину A. К этой вершине сходятся три квадратные грани куба. В каждой из этих граней отмечаются вершины противоположные вершине A, это будут вершины B, C и D. Полученные отрезки AB, AC, AD, BC, DC и BD равны между собой как диагонали граней куба, поэтому фигура ABCD является правильным тетраэдром.
<strong>Тетраэдр</strong>
Обратите внимание
Тетраэдр является одним из пяти возможных правильных многогранников. К правильным многогранникам относятся так же: октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и гексаэдр или куб. Куб – простейший для построения многогранник, все остальные могут быть построены с его помощью.

Совет 3 : Как найти высоту тетраэдра

Тетраэдр является частным случаем пирамиды. Все его грани представляют собой треугольники. Кроме правильного тетраэдра, у которого все грани представляют собой равносторонние треугольники, есть еще несколько видов этого геометрического тела. Различают равногранный, прямоугольный, ортоцентрический и каркасный тетраэдры. Для того чтобы найти его высоту, нужно прежде всего определить его вид.
Как найти высоту тетраэдра
Вам понадобится
  • - чертеж тетраэдра;
  • - карандаш;
  • - линейка.
Инструкция
1
Постройте тетраэдр с заданными параметрами. В условиях задачи должны быть даны вид тетраэдра, размеры ребер и углы между гранями. Для правильного тетраэдра достаточно знать длину ребра. Как правило, речь идет о правильных равносторонних тетраэдрах.
2
Повторите свойства равносторонних треугольников. У них равны все углы и составляют по 60°. Под таким же углом наклонены все грани к основанию. За основание можно принять любую сторону.
3
Выполните необходимые геометрические построения. Начертите тетраэдр с заданной стороной. Одну из граней его расположите строго горизонтально. Обозначьте треугольник основания как ABC, а вершину тетраэдра — как S. Из угла S проведите к основанию высоту. Точку пересечения обозначьте О. Поскольку все треугольники, из которых состоит данное геометрическое тело, равны между собой, то и высоты, проведенные из разных вершин к граням, тоже будут равны.
4
Из той же точки S опустите высоту и к противолежащему ребру АВ. Поставьте точку F. Это ребро является общим для равносторонних треугольников АВС и АВS. Соедините точку F с противолежащей данному ребру точкой С. Она будет одновременно являться высотой, медианой и биссектрисой угла С. Найдите равные стороны треугольника FSC. Сторона CS задана в условии и равняется a. Тогда FS=а√3/2. Эта сторона равна FC.
5
Найдите периметр треугольника FCS. Он равен половине суммы сторон треугольника. Подставив в формулу значения известной и найденных сторон данного треугольника, вы получите формулу p=1/2*(a+2а√3/2)=1/2a(1+√3), где а — заданная сторона тетраэдра, а p – полупериметр.
6
Вспомните, чему равна высота равнобедренного треугольника, проведенная к одной из его равных сторон. Вычислите высоту OF. Она равна корню квадратному из произведения полупериметра и его разностей с тремя сторонами, деленному на длину стороны FC, то есть на а*√3/2. Сделайте необходимые сокращения. В итоге у вас получится формула: высота равняется корню квадратному из двух третей, умноженному на a. H=a*√2/3.
Полезный совет
Для всех остальных видов тетраэдра также необходимо выполнить дополнительные построения, чтобы высота являлась одновременно стороной треугольника с известными вам параметрами. Вычислять ее можно разными способами, используя теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов. Способ определяется в зависимости от того, какими данными вы располагаете.
Источники:
  • Правильная пирамида

Совет 4 : Как найти площадь грани в пирамиде

Пирамида – одна из самых мистических фигур в геометрии. С ней связывают потоки космической энергии, многие древние народы избирали именно эту форму для строительства своих культовых сооружений. Тем не менее, с точки зрения математики, пирамида – это всего лишь многогранник, с многоугольником в основании, а гранями являются треугольники с общей вершиной. Рассмотрим, как найти площадь грани в пирамиде.
Как найти площадь грани в пирамиде
Вам понадобится
  • калькулятор.
Инструкция
1
Пирамиды бывают следующих типов: правильная (в основании - правильный многоугольник, а проекция вершины пирамиды на основание – его центр), произвольная (в основании лежит любой многоугольник, а проекция вершины необязательно совпадает с его центром), прямоугольная (одно из боковых ребер составляет с основанием прямой угол) и усеченная. В зависимости от того, сколько сторон имеет многоугольник в основании пирамиды, ее называют трех-, четырех-, пяти или, к примеру, десятиугольной.
2
Поскольку боковая грань любой пирамиды (кроме усеченной) - это треугольник, нахождение площади грани сводится к определению его площади. В усеченной пирамиде боковая грань – трапеция. Итак, разберемся, как найти площадь грани пирамиды в каждом отдельном случае.
3
Для всех видов пирамид, кроме усеченной:Перемножьте длины основания треугольника и опущенной на него высоты из вершины пирамиды. Разделите полученное произведение на 2 – это и будет искомая площадь боковой грани пирамиды.
4
Усеченная пирамидаСложите оба основания трапеции, являющейся гранью такой пирамиды. Разделите полученную сумму на два. Умножьте полученное значение на высоту грани-трапеции. Полученная в результате величина – площадь боковой грани пирамиды данного типа.
Видео по теме
Полезный совет
Площадь боковой поверхности и основания, периметр основания пирамиды и ее объем связывают между собой определенные формулы. Это порой дает возможность вычислить значения недостающих данных, необходимых для определения площади грани в пирамиде.

Объем любой не усеченной пирамиды равен трети от произведения высоты пирамиды и площади основания. Для правильной пирамиды справедливо: площадь боковой поверхности равна половине периметра основания умноженного на высоту одной из граней. При расчете объема усеченной пирамиды, вместо площади основания подставляется величина, равная сумме площадей верхнего, нижнего основания и квадратного корня из их произведения.
Источники:
  • Стереометрия
  • как найти боковую грань пирамиды

Совет 5 : Как найти угол между ребром и гранью

Прежде чем искать решение поставленной задачи, следует определить с ребром и гранью какой фигуры вы имеете дело. Обычно речь идет о каком-либо многограннике. Любая сторона многогранника - многоугольник, каждый из которых всегда можно разбить на треугольники. В общем случае будет достаточно рассмотрения тетраэдра. При этом абсолютно не важно какой треугольник находится в основании и каково конкретное расположение заданного ребра. Поэтому решение задачи сводится к поиску угла между прямой и плоскостью, содержащей данную грань.
Как найти угол между ребром и гранью
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
На рисунке 1 наглядно проиллюстрировано, что необходимо искать угол между прямой ребра s и ее проекцией ф2. Однако для этого пришлось бы искать еще и прямую, содержащую эту проекцию. Но задачу можно немного упростить – найти угол ф1 между нормалью к плоскости грани и направляющим вектором прямой ребра s. Тогда становится очевидно, что ф2 =п/2 - ф1, то есть cosф1=sinф2.
2
Для численного решения задачи необходимо вычислить скалярное произведение векторов (a, b) ((a, b) = |a||b|cosф). В декартовых координатах если а={x1, y1, z1} и b={x2, y2, z2}, то (a, b) = x1x2 +y1y2+z1z2. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 +y1^2+z1^2. Для вектора b – аналогично. Поэтому |a||b|cos ф = x1х2+у1y2+z1z2. Следовательно, cosф=( x1x2 +y1y2+z1z2)/(|a||b|).
3
Пример. Пусть положение ребра описывается каноническими уравнениями прямой s: (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p, (x0, y0, z0) известная точка прямой (например одна из вершин ребра), вектор s={m, n, p} – направляющий вектор s. Пусть плоскость грани б задана общим уравнением плоскости Ax+Вy+Cz+D=0. Тогда ее нормаль n={A, B, C}.Для получения однозначного решения задачи будет достаточно задать векторы n и s. Далее найдите cosф1=(mA+nB+pC)/[(m^2+n^2+p^2)( A^2 +B^2+C^2)]^(1/2). Учитывая указанное выше соотношение, cosф1=sinф2 , ответ можно записать в виде арксинуса: ф2=arcsin(cosф1).
4
Если s={3, 2,-1}, n={2, 0,1} , то косинус угла меду ними cosф1=(6-1)/[(9+4+1)(5+1)]^(1/2)] = 5/[(14)6)]^(1/2) =5/2(21)^(1/2) =11,45. Ответ: ф2=arcsin(11,45).
Видео по теме

Совет 6 : Как вычислить площадь грани

Плоский многоугольник, сторонами которого являются ребра объемной геометрической фигуры, принято называть гранью этого объекта. Сумма площадей всех граней составляет площадь поверхности объемной фигуры. А величину этого параметра для каждой грани можно рассчитать, если знать ее геометрические размеры или иметь достаточно данных об объемной фигуре в целом.
Как вычислить площадь грани
Инструкция
1
Если объемная фигура не имеет геометрически правильной формы, то составляющие ее грани могут иметь одинаковое количество сторон, но несовпадающие размеры. Поэтому площадь каждой из них придется вычислять раздельно, исходя из данных о длинах составляющих ее ребер. Если эта информация есть, используйте формулы для соответствующего многоугольника. Например, если есть возможность измерить длины всех ребер, образующих треугольную грань, то площадь ее вычисляйте по формуле Герона. Для этого сначала найдите половину от суммы длин всех сторон (полупериметр), затем последовательно отнимите от полупериметра длину каждой стороны. У вас получится четыре значения - полупериметр и его три уменьшенных на длины сторон варианта. Перемножьте все эти числа, а из результата извлеките квадратный корень. Для вычисления площади грани с другим количеством сторон может понадобиться еще более сложная формула или даже разбиение ее на несколько более простых многоугольников.
2
Вычисление площади граней объемной фигуры правильной формы значительно проще, так как ее все боковые поверхности имеют одинаковые размеры. Так, чтобы вычислить этот параметр для каждой из шести граней куба достаточно знать длины двух смежных ребер многогранника. Их произведение и даст величину площади любой из граней. Зная количество плоскостей, которыми образована объемная фигура правильной формы, площадь каждой из них можно рассчитать из общей площади поверхности - разделите эту величину на количество граней.
3
Некоторые многогранники хоть и не состоят из одинаковых граней, тем не менее называются правильными и позволяют использовать достаточно простые формулы расчета плоскостей, составляющих их поверхность. Это фигуры с центральной осью симметрии, в основании которых лежит правильный многоугольник - например, пирамида. Ее боковые грани имеют форму треугольников одинаковых размеров. Площадь каждой можно рассчитать, если известна длина стороны многоугольника, лежащего в основании объемной фигуры, и ее высота. Умножьте длину стороны на количество граней основания и высоту пирамиды, а полученную величину разделите пополам. Рассчитанное значение и будет площадью каждой боковой грани пирамиды.

Совет 7 : Как найти уравнение плоскости пирамиды

Возможно, что и существует специальное понятие плоскости пирамиды, но автору оно неизвестно. Поскольку пирамида относится к пространственным многогранникам, плоскости образовать могут лишь грани пирамиды. Именно они и будут рассмотрены.
Как найти уравнение плоскости пирамиды
Инструкция
1
Самое простое задание пирамиды - это представление ее координатами точек вершин. Можно использовать и другие представления, которые без труда переводятся как друг в друга, так и в предложенное. Для простоты рассмотрите треугольную пирамиду. Тогда в пространственном случае понятие «основание» становится весьма условным. Поэтому отличать его от боковых граней не следует. При произвольной пирамиде ее боковые грани все равно треугольники, а для составления уравнения плоскости основания все равно хватит трех точек.
2
Каждая грань треугольной пирамиды полностью определяется тремя точками вершин соответствующего треугольника. Пусть это М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Для нахождения уравнения плоскости, содержащей эту грань, используйте общее уравнение плоскости в виде A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Здесь (x0,y0,z0) – произвольная точка плоскости, в качестве которой используйте одну из трех заданных на данный момент, например М1(x1,y1,z1). Коэффициенты A, B, C образуют координаты вектора нормали к плоскости n={A, B, C}. Чтобы найти нормаль, можно использовать координаты вектора, равного векторному произведению [М1,М2] (см. рис. 1). Их и возьмите равными A, B C соответственно. Осталось найти скалярное произведение векторов (n, M1M) в координатной форме и приравнять его нулю. Здесь М(x,y,z) – произвольная (текущая) точка плоскости.
Как найти <em>уравнение</em> <strong>плоскости</strong> <b>пирамиды</b>
3
Полученный алгоритм построения уравнения плоскости по трем ее точкам можно сделать более удобным для применения. Обратите внимание, что найденная методика предполагает вычисление векторного произведения, а затем скалярного. Это не что иное, как смешанное произведение векторов. В компактной форме оно равно определителю, строки которого состоят из координат векторов М1М={x-x1, y-y1, z-z1}, M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1М3={x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Приравняйте его нулю и получите уравнение плоскости в виде определителя (см. рис. 2). После его раскрытия придете к общему уравнению плоскости.
Как найти <em>уравнение</em> <strong>плоскости</strong> <b>пирамиды</b>
Видео по теме

Совет 8 : Как найти рёбра основания тетраэдра

Четверка - «тетра» - в названии объемной геометрической фигуры указывает на количество образующих ее граней. А число граней правильного тетраэдра, в свою очередь, однозначно определяет конфигурацию каждой из них - четыре поверхности могут составить объемную фигуру, только имея форму правильного треугольника. Вычисление длин ребер составленной из правильных треугольников фигуры особой сложности не представляет.
Как найти рёбра основания тетраэдра
Инструкция
1
В фигуре, составленной из абсолютно одинаковых граней, основанием можно считать любое из них, поэтому задача сводится к вычислению длины произвольно выбранного ребра. Если вам известна полная площадь поверхности тетраэдра (S), для вычисления длины ребра (a) извлеките из нее квадратный корень и разделите полученный результат на кубический корень из тройки: a = √S/³√3.
2
Площадь одной грани (s), очевидно, должна быть вчетверо меньше полной площади поверхности. Поэтому для расчета длины грани по этому параметру трансформируйте формулу из предыдущего шага к такому виду: a = 2*√s/³√3.
3
Если в условиях дана только высота (H) тетраэдра, для нахождения длины стороны (а), составляющей каждую грань, утройте это единственное известное значение, а затем разделите на квадратный корень из шестерки: a = 3*H/√6.
4
При известном из условий задачи объеме (V) тетраэдра для вычисления длины ребра (a) придется извлекать кубический корень из этой величины, увеличенной в двенадцать раз. Рассчитав эту величину, разделите ее еще и на корень четвертой степени из двойки: a = ³√(12*V)/⁴√2.
5
Зная диаметр описанной около тетраэдра сферы (D) тоже можно найти длину ее ребра (a). Чтобы это сделать, увеличьте диаметр вдвое, а затем разделите на квадратный корень из шестерки: a = 2*D/√6.
6
По диаметру вписанной в эту фигуру сферы (d) длина ребра определяется почти так же, разница лишь в том, что диаметр надо увеличивать не вдвое, а в целых шесть раз: a = 6*d/√6.
7
Радиус окружности (r), вписанной в любую грань этой фигуры, тоже позволяет вычислить нужную величину - умножьте его на шестерку и разделите на квадратный корень из тройки: a = r*6/√3.
8
Если в условиях задачи дана суммарная длина всех ребер правильного тетраэдра (P), для нахождения длины каждого из них просто разделите это число на шесть - именно столько ребер имеет эта объемная фигура: a = P/6.

Совет 9 : Как вычислить площади граней пирамиды

Пирамида - это частный случай конуса, у которого в основании лежит многоугольник. Такая форма основания определяет наличие плоских боковых граней, каждая из которых в произвольной пирамиде может иметь разные размеры. В этом случае при вычислении площади любой боковой грани придется исходить из параметров (величин углов, длин ребер и апофемы), характеризующих именно ее треугольную форму. Расчеты значительно упрощаются, если речь идет о пирамиде правильной формы.
Как вычислить площади граней пирамиды
Инструкция
1
Из условий задачи может быть известна апофема (h) боковой грани и длина одного из составляющих ее боковых ребер (b). В треугольнике этой грани апофема является высотой, а боковое ребро - стороной, примыкающей к той вершине, из которой проведена высота. Поэтому для вычисления площади (s) разделите пополам произведение этих двух параметров: s = h*b/2.
2
Если известны длины обоих боковых ребер (b и c), образующих нужную грань, а также плоский угол между ними (γ), площадь (s) этой части боковой поверхности пирамиды тоже можно рассчитать. Для этого найдите половину произведения длин ребер друг на друга и на синус известного угла: s = ½*b*c*sin(γ).
3
Знание длин всех трех ребер (a, b, c), составляющих боковую грань, площадь (s) которой нужно рассчитать, позволит использовать формулу Герона. В этом случае удобнее ввести дополнительную переменную (p), сложив все известные длины ребер и поделив результат пополам p = (a+b+c)/2. Это полупериметр боковой грани. Для вычисления искомой площади найдите корень из его произведения на разности между ним и длиной каждого из боковых ребер: s = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).
4
В прямоугольной пирамиде вычислить площади (s) каждой из граней, прилегающих к прямому углу, можно по высоте многогранника (H) и длине общего ребра (a) этой грани с основанием. Перемножьте эти два параметра и поделите результат пополам: s = H*a/2.
5
В пирамиде правильной формы для вычисления площади (s) каждой из боковых граней достаточно знать периметр основания (P) и апофему (h) - найдите половину их произведения: s = ½*P*h.
6
При известном числе вершин (n) в многоугольнике основания, площадь боковой грани (s) правильной пирамиды можно рассчитать по длине бокового ребра (b) и величине угла (α), образуемого двумя смежными боковыми ребрами. Для этого определите половину произведения числа вершин многоугольника основания на возведенную в квадрат длину бокового ребра и синус известного угла: s = ½*n*b²*sin(α).
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500