Совет 1: Как найти высоту в правильной пирамиде

Частный случай конуса называется пирамидой, если в основании фигуры лежит многоугольник. Если этот многоугольник является выпуклым, все его стороны имеют одинаковую длину, а вершина многогранника проецируется в центр основания, пирамиду называют правильной. Боковые грани такой геометрической фигуры имеют форму равнобедренного треугольника. Расчет высоты правильной пирамиды - задача относительно несложная.
Инструкция
1
Если в условиях задачи приведена площадь основания (s) и объем (V) пирамиды, формула для вычисления высоты многогранника (H) будет очень проста - разделите утроенный объем на площадь: H = 3*V/s.
2
При квадратном основании пирамиды с известной длиной стороны (a) и заданном объеме (V) замените площадь в формуле расчета из предыдущего шага на возведенную в квадрат длину стороны: H = 3*V/a².
3
Формулу из первого шага можно трансформировать для вычисления высоты (H) правильной пирамиды c основанием любой формы. Исходные данные, которые в ней должны быть задействованы - объем (V) многогранника, длина ребра в основании (a) и количество вершин при основании (n). Площадь правильного многоугольника определяется четвертью произведения количества вершин на квадрат длины стороны и котангенс угла, равного соотношению 180° и количества вершин: ¼*n*a²*ctg(180°/n). Подставьте это выражение в формулу из первого шага: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)).
4
Апофема (h) любой боковой грани правильной пирамиды образует с радиусом вписанной в основание окружности (r) и высотой правильной пирамиды (H) прямоугольный треугольник. Если радиус и апофема известны, используйте в расчетах теорему Пифагора. Так как искомая величина здесь - катет, из теоремы вытекает, что вам нужно извлечь квадратный корень из разности между квадратом апофемы (гипотенузы) и квадратом радиуса (второго катета): H = √(h²-r²).
5
При известной апофеме (h) и угле наклона (α) боковой грани к основанию правильной пирамиды в формуле вычисления высоты (H) можно использовать определение синуса через острые углы прямоугольного треугольника. Рассмотрите тот же треугольник, что и в предыдущем шаге. Синус угла наклона апофемы к основанию по определению равен отношению длины противолежащего катета (высоты пирамиды) к гипотенузе (апофеме). Из этого вытекает, что для расчета искомой величины достаточно умножить апофему на синус угла наклона: H = h*sin(α).

Совет 2: Как найти высоту правильной треугольной пирамиды

Пирамида - это объемная фигура, каждая из боковых граней которой имеет форму треугольника. Если и в основании тоже лежит треугольник, а все ребра имеют одинаковую длину, то это - правильная треугольная пирамида. У этой объемной фигуры четыре грани, поэтому часто ее называют «тетраэдром» - от греческого слова «четырехгранник». Перпендикулярный основанию отрезок прямой линии, проходящей через вершину такой фигуры, называется высотой пирамиды.
Инструкция
1
Если известна площадь основания тетраэдра (S) и его объем (V), то для вычисления высоты (H) можно задействовать общую для всех типов пирамид формулу, связывающую эти параметры. Делите утроенный объем на площадь основания - полученный результат и будет высотой пирамиды: H = 3*V/S.
2
Если площадь основания неизвестна из условий задачи, а даны лишь объем (V) и длина ребра (a) многогранника, то недостающую переменную в формуле из предыдущего шага можно заменить ее эквивалентом, выраженным через длину ребра. Площадь правильного треугольника (он, как вы помните, лежит в основании пирамиды рассматриваемого типа) равна одной четверти от произведения квадратного корня из тройки на возведенную в квадрат длину стороны. Подставьте это выражение вместо площади основания в формулу из предыдущего шага, и получите такой результат: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3).
3
Поскольку объем тетраэдра тоже можно выразить через длину ребра, то из формулы вычисления высоты фигуры можно вообще убрать все переменные, оставив лишь сторону ее треугольной грани. Объем этой пирамиды вычисляется делением на 12 произведения квадратного корня из двойки на возведенную в куб длину грани. Подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага, и получите в результате: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a*√⅔ = ⅓*a*√6.
4
Правильную треугольную призму можно вписать в сферу, а зная только ее радиус (R) можно вычислить и высоту тетраэдра. Длина ребра равна учетверенному соотношению радиуса и квадратного корня из шестерки. Замените этим выражением переменную a в формуле из предыдущего шага и получите такое равенство: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
5
Аналогичную формулу можно получить и зная радиус (r) вписанной в тетраэдр окружности. В этом случае длина ребра будет равна двенадцати соотношениям между радиусом и квадратным корнем из шестерки. Подставьте это выражение в формулу из третьего шага: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.

Совет 3: Как найти площадь грани в пирамиде

Пирамида – одна из самых мистических фигур в геометрии. С ней связывают потоки космической энергии, многие древние народы избирали именно эту форму для строительства своих культовых сооружений. Тем не менее, с точки зрения математики, пирамида – это всего лишь многогранник, с многоугольником в основании, а гранями являются треугольники с общей вершиной. Рассмотрим, как найти площадь грани в пирамиде.
Вам понадобится
  • калькулятор.
Инструкция
1
Пирамиды бывают следующих типов: правильная (в основании - правильный многоугольник, а проекция вершины пирамиды на основание – его центр), произвольная (в основании лежит любой многоугольник, а проекция вершины необязательно совпадает с его центром), прямоугольная (одно из боковых ребер составляет с основанием прямой угол) и усеченная. В зависимости от того, сколько сторон имеет многоугольник в основании пирамиды, ее называют трех-, четырех-, пяти или, к примеру, десятиугольной.
2
Поскольку боковая грань любой пирамиды (кроме усеченной) - это треугольник, нахождение площади грани сводится к определению его площади. В усеченной пирамиде боковая грань – трапеция. Итак, разберемся, как найти площадь грани пирамиды в каждом отдельном случае.
3
Для всех видов пирамид, кроме усеченной:Перемножьте длины основания треугольника и опущенной на него высоты из вершины пирамиды. Разделите полученное произведение на 2 – это и будет искомая площадь боковой грани пирамиды.
4
Усеченная пирамидаСложите оба основания трапеции, являющейся гранью такой пирамиды. Разделите полученную сумму на два. Умножьте полученное значение на высоту грани-трапеции. Полученная в результате величина – площадь боковой грани пирамиды данного типа.
Видео по теме
Полезный совет
Площадь боковой поверхности и основания, периметр основания пирамиды и ее объем связывают между собой определенные формулы. Это порой дает возможность вычислить значения недостающих данных, необходимых для определения площади грани в пирамиде.

Объем любой не усеченной пирамиды равен трети от произведения высоты пирамиды и площади основания. Для правильной пирамиды справедливо: площадь боковой поверхности равна половине периметра основания умноженного на высоту одной из граней. При расчете объема усеченной пирамиды, вместо площади основания подставляется величина, равная сумме площадей верхнего, нижнего основания и квадратного корня из их произведения.
Источники:
  • Стереометрия
  • как найти боковую грань пирамиды

Совет 4: Как найти объем прямоугольной пирамиды

Прямоугольной называется пирамида, одно из ребер которой перпендикулярно ее основанию, то есть стоит под углом 90˚. Это ребро является одновременно и высотой прямоугольной пирамиды. Формулу объема пирамиды впервые вывел Архимед.
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
В прямоугольной пирамиде высотой будет ее ребро, которое стоит под углом 90˚ к основанию. Как правило, площадь основания прямоугольной пирамиды обозначают как S, а высоту, которая одновременно является ребром пирамиды, − h. Тогда, чтобы найти объем этой пирамиды, необходимо площадь ее основания умножить на высоту и разделить на 3. Таким образом, объем прямоугольной пирамиды вычисляется с помощью формулы: V=(S*h)/3.
2
Прочитайте условие задачи. Допустим, дана прямоугольная пирамида ABCDES. В ее основании лежит пятиугольник, площадь которого 45 см². Длина высоты SE равна 30 см.
3
Постройте пирамиду, следуя заданным параметрам. Ее основание обозначьте латинскими буквами ABCDE, а вершину пирамиды - S. Так как чертеж получится на плоскости в проекции, то для того, чтобы не запутаться, обозначьте уже известные вам данные: SE=30см; S(ABCDE)=45 см².
4
Вычислите объем прямоугольной пирамиды, используя формулу. Подставив данные и сделав подсчеты, получится, что объем прямоугольной пирамиды будет равен: V=(45*30)/3=см³.
5
Если в условии задачи нет данных о площади основания и высоте пирамиды, то нужно провести дополнительные вычисления для получения этих величин. Площадь основания будет вычисляться в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.
6
Высоту пирамиды узнаете, если известна гипотенуза любого из прямоугольных треугольников EDS или EAS и угол, под которым наклонена боковая грань SD или SA к ее основанию. Вычислите катет SE по теореме синусов. Он и будет являться высотой прямоугольной пирамиды.
Обратите внимание
Проводя вычисления таких величин, как высота, объем, площадь, следует помнить, что каждая из них имеет свою единицу измерения. Так, площадь измеряется в см², высота – в см, а объем - в см³.
Кубический сантиметр – это единица объема, которая равна объему куба с длиной ребер в 1см. Если подставить данные в нашу формулу, получим: см³= (см²*см)/3.
Полезный совет
Как правило, если в задаче требуется найти объем прямоугольной пирамиды, то все необходимые данные известны – как минимум для того, чтобы найти площадь основания и высоту фигуры.
Источники:
  • Объем пирамиды

Совет 5: Как найти котангенс угла

Котангенсом называют одну из тригонометрических функций - производную от синуса и косинуса. Это нечетная периодическая (период равен числу Пи) и не непрерывная (разрывы в точках, кратных числу Пи) функция. Рассчитать ее значение можно по величине угла, по известным длинам сторон в треугольнике, по значениям синуса и косинуса и другими способами.
Инструкция
1
Если вам известна величина угла, вычислить значение котангенса можно, например, с использованием стандартного калькулятора ОС Windows. Для его запуска раскройте главное меню, наберите с клавиатуры «ка» и нажмите Enter. Затем переведите калькулятор в «инженерный» режим - выберите пункт с таким названием в разделе «Вид» меню программы или воспользуйтесь сочетанием клавиш Alt + 2.
2
Введите величину угла в градусах. Отдельной кнопки для функции котангенс здесь не предусмотрено, поэтому сначала найдите тангенс (щелкните по кнопке tan), а затем разделите на полученное значение единицу (кликните кнопку 1/x).
3
Если значение тангенса нужного угла дано в условиях задачи, для вычисления котангенса знать величину этого угла не обязательно - просто разделите единицу на число, выражающее тангенс: ctg(α) = 1/tg(α). Но можно, конечно, сначала определить градусную меру угла с использованием обратной тангенсу функции - арктангенса, а затем уже вычислить котангенс известного угла. В общем виде это решение можно записать так: ctg(α) = arctg(tg(α)).
4
При известных из условий значениях синуса и косинуса нужного угла тоже нет необходимости определять его величину. Чтобы найти котангенс разделите второе число на первое: ctg(α) = cos(α)/sin(α).
5
Если в условиях задачи для нахождения котангенса предоставлено только одно значение (синус или косинус), преобразуйте формулу предыдущего шага, исходя из связывающего их соотношения sin²(α) + cos²(α) = 1. Из него можно выразить одну функцию через другую: sin(α) = √(1-cos²(α)) и cos(α) = √(1-sin²(α)). Подставьте соответствующее равенство в формулу: ctg(α) = cos(α)/√(1-cos²(α)) или ctg(α) = √(1-sin²(α))/sin(α).
6
Без информации о величине угла или соответствующих ему значениях тригонометрических функций тоже можно рассчитать котангенс при наличии некоторых дополнительных данных. Например, это можно сделать, если угол, котангенс которого нужно рассчитать, лежит в одной из вершин прямоугольного треугольника с известными длинами катетов. В этом случае рассчитайте дробь, в числитель которой поставьте длину того из катетов, который примыкает к нужному углу, а длину второго поместите в знаменатель.
Источники:
  • найдите котангенс угла аов
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500