Совет 1: Как найти сумму ряда

Из курса высшей математики известно определение – числовым рядом называется сумма видаu1 + u2 + u3 + … + un + … = ∑un, n – натуральные числагде u1, u2, …, un, … - члены некоторой бесконечной последовательности, при этом un – называется общим членом ряда, который задаётся некоторой формулой определяющей всю последовательность.Чтобы посчитать сумму ряда, необходимо ввести понятие частичной суммы.
Как найти сумму ряда
Инструкция
1
Рассмотрим сумму первых n членов заданного ряда и обозначим Sn
Sn = u1 + u2 + u3 + … + un = ?un, n – натуральные числа.
Сумма Sn называется частичной суммой ряда.
Перебирая n начиная с 1 до бесконечности, получим последовательность вида
S1, S2, …, Sn, …
которая называется последовательностью частичных сумм.
2
Таким образом, сумму ряда можно определить следующим способом.
Заданный ряд будет называться сходящимся, если последовательность его частичных сумм Sn сходится, т.е. имеет конечный предел S
lim Sn = S,
тогда число S будем суммой заданного ряда
?un = S, n – натуральные числа.
Если же последовательность частичных сумм Sn не имеет предела или имеет бесконечный придел, то заданный ряд называется расходящимся и соответственно не имеет суммы.
Источники:
  • найти суммы рядов в 2019

Совет 2 : Как исследовать на сходимость ряд

Одной из наиболее важных задач математического анализа является исследование ряда на сходимость ряда. Эта задача является решаемой в большинстве случаев. Самое важное - знать основные признаки сходимости, уметь применять их на практике и выбирать для каждого ряда нужный.
Бесконечная лестница - визуальный аналог расходящегося ряда
Вам понадобится
  • Учебник по высшей математике, таблица признаков сходимости
Инструкция
1
По определению ряд называется сходящимся, если существует такое конечное число, которое заведомо больше суммы элементов этого ряда. Другими словами, ряд сходится, если сумма его элементов конечна. Выявить тот факт, является сумма конечной или бесконечной помогут признаки сходимости ряда.
2
Одним из самых простых признаков сходимости является признак сходимости Лейбница. Его мы можем использовать, если рассматриваемый ряд является знакопеременным (то есть каждый последующий член ряда меняет знак с "плюса" на "минус"). По признаку Лейбница, знакопеременный ряд является сходящимся в случае, если последний член ряда по модулю стремится к нулю. Для этого в пределе функции f(n) устремляем n к бесконечности. Если этот предел равен нулю, то ряд сходится, в противном случае - расходится.
3
Еще один распространенный способ проверить ряд на сходимость (расходимость) - использование предельного признака Даламбера. Для его использования мы делим n-ый член последовательности на предыдущий ((n-1)-ый). Это отношение мы вычисляем, его результат берем по модулю (n снова устремляем к бесконечности). Если мы получаем число меньшее единицы - ряд сходится, иначе - ряд расходится.
4
Радикальный признак Даламбера чем-то похож на предыдущий: мы извлекаем корень n-ой степени из n-ого ее члена. Если мы получаем в результате число, меньшее единицы, то последовательность сходится, сумма ее членов - конечное число.
5
В ряде случаев (когда мы не можем применить признак Даламбера) выгодно воспользоваться интегральным признаком Коши. Для этого заносим функцию ряда под интеграл, дифференциал берем по n, расставляем пределы от нуля до бесконечности (такой интеграл называется несобственным). Если численное значение этого несобственного интеграла равно конечному числу, то ряд является сходящимся.
6
Иногда для того чтобы узнать, к какому типу относится ряд, необязательно пользоваться признаками сходимости. Можно просто сравнить его с другим сходящимся рядом. Если ряд меньше заведомо сходящегося ряда, то он также является сходящимся.
Источники:
  • Главный математический портал России

Совет 3 : Как определить сходимость ряда

Числовым рядом называют сумму членов бесконечной последовательности. Частичными суммами ряда называют сумму первых n членов ряда. Ряд будет являться сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм.
Как определить сходимость ряда
Вам понадобится
  • Умение вычислять пределы последовательностей.
Инструкция
1
Определите формулу общего члена ряда. Пусть дан ряд x1+x2+…+xn+…, его общий член имеет вид xn. Воспользуйтесь признаком Коши определения сходимости ряда. Посчитайте предел lim((xn)^(1/n)) при n стремящимся к ∞. Пусть он существует и равен L, тогда если L<1, то ряд сходится, если L>1, то ряд расходится, а если L=1, то необходимо дополнительно исследовать ряд на сходимость.
2
Рассмотрите примеры. Пусть дан ряд 1/2+1/4+1/8+…, общий член ряда представляется в виде 1/(2^n). Найдите предел lim((1/(2^n)^(1/n)) при n стремящимся к ∞. Этот предел равен 1/2<1 и, следовательно, ряд 1/2+1/4+1/8+… сходится. Или, например, пусть имеется ряд 1+16/9+216/64+…. Представьте общий член ряда в виде формулы (2×n/(n+1))^n. Посчитайте предел lim(((2×n/(n+1))^n)^(1/n))=lim(2×n/(n+1)) при n стремящимся к ∞. Предел равен 2>1, то есть данный ряд расходится.
3
Определите сходимость ряда по признаку Даламбера. Для этого посчитайте предел lim((xn+1)/xn) при n стремящимся к ∞. Если этот предел существует и равен M<1, то ряд сходится, если M>1, то ряд расходится. Если M=1, то ряд может быть сходящимся и расходящимся.
4
Изучите несколько примеров. Пусть дан ряд Σ(2^n/n!). Посчитайте предел lim((2^(n+1)/(n+1)!)×(n!/2^n))=lim(2/(n+1)) при n стремящимся к ∞. Он равен 0<1 и данный ряд является сходящимся. Пусть теперь дан ряд Σn!×(6/n)^n. Вычислите предел lim((n+1)!×6^(n+1)×n^n)/((n+1)^(n+1)×n!×6^n)=lim (6/(1+1/n)^n)=6/e>1 и значит данный ряд расходится.
5
Воспользуйтесь признаком Лейбница для знакочередующегося ряда при условии, что xn>x(n+1). Посчитайте предел lim(xn) при n стремящимся к ∞. Если этот предел равен 0, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда. Например, пусть дан ряд 1−1/2+1/3−1/4+…. Заметьте, что 1>1/2>1/3>…>1/n>…. Общий член ряда будет 1/n. Посчитайте предел lim(1/n) при n стремящимся к ∞. Он равен 0 и, следовательно, ряд сходится.
Обратите внимание
Знак ^ обозначает возведение в степень.

Совет 4 : Как решать ряды

Ряды являются основой математического анализа. Именно поэтому так важно научиться их правильно решать, так как в дальнейшем вокруг них будут крутиться остальные понятия.
как решать ряды
Инструкция
1
При первом знакомстве с рядами порою весьма трудно понять, как они устроены. Тем более проблематично решать их. Но со временем вы наберетесь опыта и будете ориентироваться в данном вопросе.
Первым делом необходимо начать с самого элементарного, а именно с изучения сходимости и расходимости числовых рядов. Данная тема является основополагающей, тем фундаментом, без которого дальнейшее продвижение будет невозможно.
2
Далее нужно определиться с понятием частичной суммы ряда. Соответствующая последовательность существует всегда, но надо суметь ее не только увидеть, но и правильно составить. Затем вам потребуется найти предел. Если он существует, то ряд будет сходящимся. В противном случае - расходящимся. Это и будет решением ряда.
3
Весьма часто на практике встречаются ряды, которые образованы из элементов геометрической прогрессии. Они называются геометрическими рядами. В этом случае, решением послужит один немаловажный факт. При условии, что знаменатель геометрической прогрессии меньше единицы, ряд будет сходящимся. Если он больше либо равен единицы, то расходящимся.
4
Если же решение найти не удалось, вы можете воспользоваться необходимым признаком сходимости рядов. Он гласит, что если числовой ряд сходится, то предел частичных сумм будет равен нулю. Признак не является достаточным, поэтому в обратном направлении не действует. Но встречаются примеры, в которых предел частичных сумм окажется равным нулю, а значит, решение найдено, то есть сходимость ряда будет обоснована.
5
Данная теорема не всегда применима в сложных ситуациях. Может оказаться, что все члены ряда положительные. Для того, чтобы отыскать его решение, вам потребуется найти область значения ряда. А затем, если последовательность частичных сумм будет ограничена сверху, ряд будет сходящимся. В противном случае - расходящимся.
Обратите внимание
1) Если числовой ряд сходится, то он будет сходится и в случае, если каждый член последовательность будет умножен на константу(то есть на постоянную).

2) Если два ряда сходятся, то и ряд, полученный при помощи их сложения, также будет сходиться.
Полезный совет
1) Помните, что всякий ряд является последовательностью. Поэтому зачастую удобно при решении переходить к числовой сумме. Если вы найдете решение последовательности, то вам не составит труда отыскать решение ряда.

2) При решении геометрического ряда вам не нужно досконально его исследовать. Всего лишь потребуется найти знаменатель геометрической прогрессии и сравнить его с единицей. Этот факт нужно запомнить.

Совет 5 : Как решать числовые ряды

Из названия числового ряда очевидно, что это последовательность чисел. Применяется этот термин в математическом, а также комплексном анализе как система приближений к числам. Понятие числового ряда неразрывно связано с понятием предела, а основной характеристикой является сходимость.
Как решать числовые ряды
Инструкция
1
Пусть есть числовая последовательность вида a_1, a_2, a_3, …, a_n и некоторая последовательность s_1, s_2, …, s_k, где n и k стремятся к ∞, а элементы последовательности s_j представляют собой суммы некоторых членов последовательности a_i. Тогда последовательность a является числовым рядом, а s - последовательностью его частичных сумм:
s_j = Σa_i, где 1 ≤ i ≤ j.
2
Задачи на решение числовых рядов сводятся к определению его сходимости. Говорят, что ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм и абсолютно сходится, если последовательность модулей его частичных сумм сходится. И наоборот, если расходится последовательность частичных сумм ряда, то он расходится.
3
Чтобы доказать сходимость последовательности частичных сумм, необходимо перейти к понятию ее предела, который называют суммой ряда:
S = lim_n→∞ Σ_(i=1)^n a_i.
4
Если этот предел существует и он конечен, то ряд сходится. Если он не существует или бесконечен, то ряд расходится. Есть еще один необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Это общий член ряда a_n. Если он стремится к нулю: lim a_i = 0 при I → ∞, то ряд сходится. Это условие рассматривают в совокупности с анализом других признаков, т.к. оно недостаточное, однако если общий член не стремится к нулю, то ряд однозначно расходится.
5
Пример1.
Определите сходимость ряда 1/3 + 2/5 + 3/7 + … + n/(2*n+1) + ….
Решение.
Примените необходимый признак сходимости – стремится ли общий член к нулю:
lim a_i = lim n/(2*n+1) = ½.
Итак, a_i ≠ 0, следовательно, ряд расходится.
6
Пример2.
Определите сходимость ряда 1 + ½ + 1/3 + … + 1/n + ….
Решение.
Стремится ли общий член к нулю:
lim 1/n = 0. Да, стремится, выполнен необходимый признак сходимости, однако этого недостаточно. Теперь с помощью предела последовательности сумм попробуем доказать, что ряд расходится:
s_n = Σ_(k=1)^n 1/k = 1 + ½ + 1/3 + … + 1/n. Последовательность сумм, хоть и очень медленно, но очевидно стремится к ∞, следовательно, ряд расходится.
7
Признак сходимости Даламбера.
Пусть существует конечный предел отношения последующего и предыдущего членов ряда lim (a_(n+1)/a_n) = D. Тогда:
D 1 – ряд расходится;
D = 1 – решение неопределенно, нужно воспользоваться дополнительным признаком.
8
Радикальный признак сходимости Коши.
Пусть существует конечный предел вида lim √(n&a_n) = D. Тогда:
D 1 – ряд расходится;
D = 1 – нет однозначного ответа.
9
Эти два признака можно использовать в совокупности, однако признак Коши более сильный. Существует также интегральный признак Коши, согласно которому для определения сходимости ряда необходимо найти соответствующий определенный интеграл. Если он сходится, то сходится и ряд, и наоборот.
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500