Совет 1: Как найти стороны, если известен периметр

Периметром плоской фигуры называют сумму длин всех ее сторон. Но найти стороны фигуры, зная только периметр - не всегда выполнимая задача. Часто требуются дополнительные данные.
Как найти стороны, если известен периметр
Инструкция
1
Для квадрата или ромба задача найти стороны из периметра решается очень просто. Известно, что у этих двух фигур по 4 стороны и все они равны между собой, поэтому периметр p квадрата и ромба равен 4a, где a - сторона квадрата или ромба. Тогда длина стороны равна одной четвертой периметра: a = p/4.
2
Легко разрешима эта задача и для равностороннего треугольника. У него три одинаковых по длине стороны, поэтому периметр p равностороннего треугольника равен 3a. Тогда сторона равностороннего треугольника a = p/3.
3
Для остальных фигур понадобятся дополнительные данные. Например, можно найти стороны прямоугольника, зная его периметр и площадь. Предположим, что длина двух противолежащих сторон прямоугольника равна a, а длина двух других сторон - b. Тогда периметр p прямоугольника равен 2(a+b), а площадь s равна ab. Получим систему уравнений с двумя неизвестными:
p = 2(a+b)
s = ab.Выразим из первого уравнения а: а = p/2 - b. Подставим во второе уравнение и найдем b: s = pb/2 - b². Дискриминант этого уравнения D = p²/4 - 4s. Тогда b = (p/2±D^1/2)/2. Отбросьте тот корень, который будет меньше ноля, и подставьте в выражение для стороны a.
Источники:
  • Найти стороны прямоугольника

Совет 2 : Как находить периметр треугольника

Треугольник - это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр?
Как находить периметр треугольника
Инструкция
1
Периметр треугольника - это сумма длин всех его трех сторон.

Обозначим стороны треугольника а, b, c. Периметр в математических формулах обозначается латинской буквой Р. Значит, исходя из правила, Р = а + b + c

Допустим, наши стороны треугольника имеют такие длины: а = 3 см, b = 4 см, с = 5 см

Чтобы найти периметр данного треугольника - нужно сложить длины всех его сторон.

Т.е. Р = 3 + 4 + 5

Р = 12 см

Не сложная задача, ведь правда?
Видео по теме

Совет 3 : Как узнать периметр треугольника

Периметр треугольника, как и любой другой плоской геометрической фигуры, составляет сумма длин ограничивающих его отрезков. Поэтому, чтобы вычислить длину периметра, надо знать длины его сторон. Но в силу того, что длины сторон в геометрических фигурах связаны определенными соотношениями с величинами углов, может оказаться достаточным знание лишь одной или двух сторон и оного или двух углов.
Как узнать периметр треугольника
Инструкция
1
Сложите все длины сторон треугольника (A, B, C), если они известны - это самый простой из возможных способов нахождения длины периметра (P): P=A+B+C.
2
Если известны величины двух углов треугольника (β и γ) и длина стороны между ними (A), то, исходя из теоремы синусов, можно узнать длины двух других сторон. Каждая из них будет равна частному от операции деления, где делимым будет произведение длины известной стороны на синус угла между известной и искомой сторонами, а делителем - синус угла, равного разности между 180° и суммой двух известных углов. То есть, неизвестная сторона B будет вычисляться по формуле B=A∗sin(β)/sin(180°-α-β), а неизвестная сторона C - по формуле C=A∗sin(γ)/sin(180°-α-β). Тогда длину периметра (P) можно определить, сложив эти два выражения с длиной известной стороны A: P = A + A∗sin(β)/sin(180°-α-β) + A∗sin(γ)/sin(180°-α-β) = A∗(1 + sin(β)/sin(180°-α-β) + sin(γ)/sin(180°-α-β)).
3
Если треугольник - прямоугольный, то его периметр (P) можно вычислить, зная длины лишь двух сторон. Если известны длины обоих катетов (A и B), то длина гипотенузы, в соответствии с теоремой Пифагора, будет равна квадратному корню из суммы квадратов длин известных сторон. Если к этой величине прибавить сумму известных сторон, то станет известна и длина периметра: P=A+B+√(A²+B²).
4
Если в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы (C) и одного из катетов (A), то из той же теоремы Пифагора длину недостающего катета можно определить, как квадратный корень из разницы квадратов длин гипотенузы и известного катета. К этой величине останется добавить длины известных сторон, чтобы вычислить периметр треугольника: P=A+C+√(C²-A²).
5
Если известна длина одного из катетов прямоугольного треугольника (A) и величина угла (α), лежащего напротив него, то этого достаточно, чтобы вычислить недостающие стороны и длину периметра (P): P=A∗(1/tg(α)+1/sin(α)+1).
6
Если кроме длины одного из катетов прямоугольного треугольника (A) известна величина прилежащего к нему острого угла (β), то и этого хватит для расчета периметра (P): P=A∗(1/сtg(β)+1/cos(β)+1).
7
Если известна величина одного из острых углов прямоугольного треугольника (α) и длина его гипотенузы (C), то периметр (P) можно высчитать по формуле: P=C∗(1+sin(α)+cos(α)).
Видео по теме

Совет 4 : Как найти периметр равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник наряду с квадратом является, пожалуй, самой простой и симметричной фигурой в планиметрии. Разумеется, все соотношения, справедливые для обычного треугольника, верны также и для равностороннего. Однако для правильного треугольника все формулы становятся намного проще.
Как найти периметр равностороннего треугольника
Вам понадобится
  • калькулятор, линейка
Инструкция
1
Чтобы найти периметр равностороннего треугольника измерьте длину одной из его сторон и умножьте результат измерения на три. В виде формулы это правило можно записать следующим образом:

Прт = Дс * 3,

где:

Прт – периметр равностороннего треугольника,
Дс – длина любой из его сторон.

Периметр треугольника получится в тех же единицах измерения, что и длина его стороны.
2
Пример.
Длина стороны равностороннего треугольника равна 10 мм. Требуется определить его периметр.
Решение.
Прт = 10 * 3 = 30 (мм)
3
Так как равносторонний треугольник обладает высокой степенью симметрии, то для вычисления его периметра достаточно одного из параметров. Например, площади, высоты, радиуса вписанной или описанной окружности.
4
Если известен радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, то для вычисления его периметра воспользуйтесь следующей формулой:

Прт = 6 * √3 * r,

где: r - радиус вписанной окружности.
Это правило следует из того, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника выражается через длину его стороны следующим соотношением:
r = √3/6 * Дс.
5
Чтобы вычислить периметр правильного треугольника через радиус описанной окружности, примените формулу:

Прт = 3 * √3 * R,

где: R - радиус описанной окружности.
Данная формула легко выводится из того факта, что радиус описанной окружности правильного треугольника выражается через длину его стороны следующим соотношением: R = √3/3 * Дс.
6
Для вычисления периметра равностороннего треугольника через известную площадь воспользуйтесь следующим соотношением:
Sрт = Дст² * √3 / 4,
где: Sрт – площадь равностороннего треугольника.
Отсюда можно вывести: Дст² = 4 * Sрт / √3, следовательно: Дст = 2 * √(Sрт / √3).
Подставляя это соотношение в формулу периметра через длину стороны равностороннего треугольника, получаем:

Прт = 3 * Дст = 3 * 2 * √(Sрт / √3) = 6 * √Sст / √(√3) = 6√Sст / 3^¼.
Видео по теме

Совет 5 : Как найти периметр треугольника

Периметр фигуры – сумма длин всех ее сторон. Соответственно, чтобы найти периметр треугольника, надо знать, чему равна длина каждой из его сторон. Для поиска сторон используются свойства треугольника и основные теоремы геометрии.
Как найти периметр треугольника
Инструкция
1
Если все три стороны треугольника уже даны в условии задачи, просто сложите их. Тогда периметр будет равен: P = a + b + c.
2
Пусть даны две стороны a, b и угол между ними γ. Тогда третью сторону можно найти по теореме косинусов: c² = a² + b² - 2 • a • b • cos(γ). Помните, что длина стороны может быть только положительной.
3
Частный случай теоремы косинусов – теорема Пифагора, которая применима для прямоугольных треугольников. Угол γ в данном случае равен 90°. Косинус прямого угла обращается в единицу. Тогда c² = a² + b².
4
Если в условии дана только одна из сторон, но при этом известны углы треугольника, две другие стороны можно найти по теореме синусов. Кстати, углы могут быть заданы не все, поэтому полезно помнить, что сумма всех углов треугольника равна 180°.
5
Итак, пусть дана сторона a, угол γ между a и b, β между a и c. Третий угол α между сторонами b и c легко найти из теоремы о сумме углов треугольника: α = 180° - β – γ. По теореме синусов, a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2 • R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника. Чтобы найти сторону b, можно выразить ее из этого равенства через углы и сторону a: b = a • sin(β) / sin(α). Аналогично выражается и сторона c: c = a • sin(γ) / sin(α). Если, например, дан радиус описанной окружности, но не дана длина ни одной из сторон, задачу также возможно решить.
6
Если в задаче дана площадь фигуры, надо записать формулу для площади треугольника через стороны. Выбор формулы зависит от того, что еще известно. Если, помимо площади, заданы две стороны, поможет применение формулы Герона. Площадь можно выразить также через две стороны и синус угла между ними: S = 1/2 • a • b • sin(γ), где γ – угол между сторонами a и b.
7
В некоторых задачах может быть задана площадь и радиус окружности, вписанной в треугольник. В таком случае выручит формула r = S / p, где r – радиус вписанной окружности, S – площадь, p – полупериметр треугольника. Полупериметр из этой формулы выразить легко: p = S / r. Осталось найти периметр: P = 2 • p.
Видео по теме
Источники:
  • как находить периметр треугольника

Совет 6 : Как определить периметр треугольника

Периметр треугольника – сумма длин его сторон. Найти периметр треугольника часто требуется как в задачах начальной геометрии, так и в более трудных заданиях. При их решении недостающие величины находят из других данных. Основные зависимости периметра треугольника от его других измерений отражены в данной инструкции.
Как определить периметр треугольника
Вам понадобится
  • - ручка;
  • - бумага для записей.
Инструкция
1
Самый простой случай – найти периметр треугольника, если все три стороны его известны. Сложите длины всех сторон.
2
Если в треугольнике даны две стороны и угол между ними, найдите длину третьей стороны из теоремы косинусов: a2= b2+ c2- 2bc*cosа, где a, b, c – стороны треугольника, cosa – косинус угла между сторонами b и с.
3
Третий случай – примените теорему синусов, если известна одна сторона и два угла треугольника: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R. Где a, b, c – стороны треугольника; sina, sinb, sinc – синусы углов, противолежащих этим сторонам; R – радиус окружности, которую можно описать вокруг треугольника. Третий угол найдите вычитанием из 180о двух известных в условии углов. Определите неизвестные стороны b, c: b = sinb*a/sina; c = sinc*a/ sina.
4
Эту же теорему используйте, если у вас имеется треугольник, вписанный в окружность с известным радиусом. Даны также углы треугольника. Найдите стороны треугольника: a = 2R*sina; b = 2R*sinb; с = 2R*sinc.
5
Пятый пример – рассчитайте периметр прямоугольного треугольника, если известны его гипотенуза и один из катетов. Вычислите длину второго катета из теоремы Пифагора: b = (c^2-a^2)^1/2, где a, b – катеты прямоугольника; с – его гипотенуза.
6
Шестой пример – дан прямоугольный треугольник, у которого известна сторона и острый угол. В задаче должно быть указано, является известная сторона катетом или гипотенузой. Чему равен его периметр?
7
Найдите недостающие данные для вычисления периметра, используя тригонометрические зависимости: a = с*siny; b = с*cosy; a = b*tgy. Где a, b – катеты, с - гипотенуза, y – угол, противолежащий катету а.
8
Седьмой пример – даны подобные треугольники, у которых известны размеры их сходственных сторон или коэффициент подобия. Указаны длины трех сторон или периметр одного из них. Требуется найти периметр второго.
9
Для решения найдите коэффициент подобия: k = a’/a, где a’ и а – сходственные стороны треугольников, т.е. стороны, противолежащие одинаковым углам. Затем найдите периметр одного треугольника. Если стороны треугольника не заданы прямо, вычислите их, применив шаг 2, 3 или 4. Вычислите периметр второго треугольника: P = P’/k, где P, P’ – периметры подобных треугольников.
Видео по теме

Совет 7 : Как вычислить площадь и периметр треугольника

Треугольник составляют три стороны, суммарная длина которых называется периметром. Замкнутую ломаную линию, образованную сторонами этой фигуры, тоже называют периметром. Она ограничивает участок поверхности определенной площади. Длины сторон, периметр, площадь, а также углы в вершинах - все это связано между собой определенными соотношениями. Использование этих соотношений позволит вычислить недостающие параметры фигуры, например, ее периметр и площадь.
Как вычислить площадь и периметр треугольника
Инструкция
1
Если длины каждой из сторон приведены в условиях задачи или у вас есть возможность самостоятельно измерить их, вычислить длину периметра будет очень просто - сложите размеры трех сторон.
2
При наличии в исходных условиях информации лишь о двух сторонах (А и В), а также о величине угла между ними (γ), начните вычисление периметра (Р) с нахождения длины недостающей стороны. Сделайте это с применением теоремы косинусов. Сначала возведите в квадрат длины известных сторон и сложите результаты. Затем отнимите от полученной величины произведение длин этих же сторон друг на друга и косинус известного угла. В общем виде формулу расчета неизвестной стороны можно записать так: √(A²+B²-A*B*cos(γ)). К полученной этим способом длине третьей стороны прибавьте известные из условий длины двух других и рассчитайте периметр: Р = √(A²+B²-A*B*cos(γ)) + А + В.
3
Узнав в процессе вычисления периметра или из условий задачи длины всех сторон фигуры (А, В и С), можно приступать к вычислению ее площади (S). Эти параметры - площадь и длины сторон - связывает между собой формула Герона. Поскольку на предыдущем шаге вы уже получили формулу расчета периметра, найдите его численное значение и используйте полученную величину для упрощения формулы. Поделите периметр пополам и присвойте это значение дополнительной переменной, обозначив ее буквой p. Затем найдите разности между полупериметром и длиной каждой из сторон - всего должно получиться три значения. Эти величины перемножьте между собой и умножьте на полупериметр, а затем извлеките из рассчитанного значения квадратный корень: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
4
Можно использовать более простую формулу вычисления площади (S), если к полученным на предыдущих шагах длинам сторон (А, В, С) добавить радиус (R) описанной около треугольника окружности. Составьте эту формулу из произведения длин всех трех сторон, добавив к нему операцию деления на учетверенный радиус. Получиться у вас должно такое тождество: S=A∗B∗C/(4∗R).

Совет 8 : Как найти периметр сторон треугольника

Треугольник имеет 3 стороны. Сумма длин этих сторон и называется периметром. Найти этот показатель можно и не имея всех данных на руках. Достаточно выучить несложные правила.
Как найти периметр сторон треугольника
Вам понадобится
  • - Ручка;
  • - лист бумаги;
  • - линейка;
  • - карандаш.
Инструкция
1
Стандартная формула нахождения периметра выглядит так: Р = a + b + c. В этой формуле а, b, c являются длинами каждой стороны треугольника. Эта формула может быть применена к любому виду треугольников.
2
Например, если у вас имеется треугольник и его стороны равны 6 см, 4 см и 10 см, то периметр будет вычисляться так: P=6+4+10=20 см. Вместо этих величин, можно поставить длины сторон, данные в вашей задаче.
3
Если же у вас имеется прямоугольный треугольник и вы знаете только величины двух сторон, то это не становится большой проблемой, чтобы найти периметр. Достаточно вспомнить теорему Пифагора, в которой говорится о том, что сумма квадратов сторон, прилегающих к углу 90 градусов, будет равна квадрату стороны противолежащей прямому углу. Прилегающие стороны называются катетами, а противолежащая — гипотенуза. Гипотенуза будет также и самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Благодаря этой формуле можно найти любую неизвестную сторону и потом уже вставить данные и вычислить периметр треугольника.
4
Например, у вас дан треугольник, катеты которого равны 3 и 4 см. Тогда получается, что третья сторона будет равна корню из 25. Соответственно гипотенуза такого треугольника будет равна 5 см, а периметр равен 12 см.
5
Если в задаче даны длины двух сторон и угла между ними и нужно найти периметр, но треугольник не является прямоугольным, то на помощь приходит теорема косинусов. В ней говорится, что квадрат стороны будет равен сумме квадратов двух других сторон минус косинус угла, лежащего между известными сторонами, умноженного на 2. Как только третья сторона будет найдена, то с легкостью можно найти периметр по стандартной формуле.
6
Например, если стороны равны 4 и 5 см, а угол между ними равен 58 градусам, то третья сторона будет равна корню 16+25-2*0,529. Получается, неизвестная сторона равна корню из 39,942 и будет равна 6,31 см. А периметр такого треугольника будет равен 15,31 см.
Обратите внимание
Не забывайте указывать единицы измерения. Также важно, чтобы при внесении в формулу все величины были в одинаковых единицах измерения.
Полезный совет
Перед выполнением каждой геометрической задачи нарисуйте треугольник и отметьте все имеющиеся данные. Таким образом, станет наглядно понятно, каких данных не хватает для того, чтобы найти периметр треугольника.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500