Как найти фазу колебания

Частота и фаза колебания жестко связаны между собой. Частота равна производной от фазы. В обратную сторону следует интеграл от частоты. Самая простая из задач, которые возникают при этом – измерение постоянной начальной фазы гармонического колебания. Решение будет произведено методами статистической радиотехники.

Инструкция

1. Рассмотрите простейшую математическую модель гармонического сигнала S(t,ψ)=Acos(ωt-ψ). Считайте, что это представление радиоимпульса с детерминированными амплитудой А и частотой ω, а также заданной длительностью τ. Измерению подлежит неизвестная (но постоянная) начальная фаза ψ. Оптимальное измерение (или оценивание) параметра сигнала в статистической радиотехнике базируется на критерии максимума логарифма функционала правдоподобия F(ψ) (см. рис. 1).
   
2. Проанализируйте структуру подынтегральной функции, приведенной на рис. 1. (ξ-S)^2=ξ^2-2ξS+S^2. Интеграл от квадрата принятой реализации ξ(t) не содержит фазу в явном виде и не может повлиять на положение максимума F(ψ). Сама фаза относится к не энергетическим параметрам. Поэтому интеграл от квадрата сигнала, равный его энергии, величина постоянная (может быть отнесен к коэффициенту). Следовательно, все сведения о максимуме сосредоточиваются во взаимно корреляционном интеграле y(ψ) (рис. 1). Обратите также внимание на принятую модель помехи n(t). Это нормальный белый шум нулевым средним и математической спектральной плотностью N/2. Кроме того, истинное значение фазы обозначено φ.
3. Вспомните, что речь идет об определении оценки, то есть приблизительного значения фазы наиболее близкого к истинному, содержащемуся в принятой реализации. Значит это величина случайная. Величина, которая позволяет достаточно точно выбрать оценочное значение фазы ψ* - это взаимно корреляционная функция y(ψ). Такое устройство уже можно реализовать технически с помощью корреляционного приемника (см. рис. 2). На его выходе формируется пикообразное напряжение (что повышает помехоустойчивость).
   
4. Выбор ψ* осуществите путем использования нескольких корреляционных приемников, подключенных параллельно. Сигналы с их выходов направьте на схему сравнения, в которой будет установлено, с какой «линейки» поступило максимальное напряжение и принято решение об «измеренной» величине оценки фазы, как о ее значении в опорном сигнале (см. рис. 3).